九年级培优班数学资料(分专题-分知识点归类)

第1章：圆的基本性质（1）

典肉制折

霆»利用圆中半径相等的性质解题

听课笔记:

◎例1如图12-2,CD是OO的直径，点A在DC的延长线

上,AE交。0于点B,E.A8=OD，NOOE=72",求NA的度数，

图12-2

【变式题组】1.（2012,日照）如图12-3,过D,A,C三点的圆

的圆心为点E,过B,E,F三点的圆的圆心为点D,如果NA=63°,

那么NB=.

2.如图12-4,点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC,DEOF,

HMNO均为矩形.设BC=a,EF=6,NH=c，则下列各式中正确

图12-3

的是（）.

A..〃＞方＞〃Ra=b=cC.ObD.b>c>a

3.如图12-5,AB为（DO的一固定直径，它把。。分成上下两个半圆，自上半圆上一点C

作弦CD_LAB，/OCD的角平分线C尸交00于点P,当点C在上半圆（不包括A,B两点）上

移动时，点P（）.

A.到的距离保持不变B.位置不变

c.等分SbD.随C点移动而移动

类型二,＞垂径定理

听课笔记:

◎例2（2013,黄冈）如图12-6,M是CD的中点,EM_LCD,若CD=4,E

EM=8,则Wb所在圆的半径为./

【变式题组】4.（2013,潍坊）如图12-7,©0的直径AB=12,CD是。。（

的弦垂足为P,且BP:AP=1：5,则CD的长为（

图12-7图12-8图12-9

5.《2013,黄石）如图12-8,在Rt/VLBC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,

CA为半径的圆与AB交于点D,则AD的氏为（）.

AAR24C.旦D—

凡555,2

6.（2011.安徽）如图12-9,G）O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知

CE=1,ED=3,则0O的半径是.

类型二A运用垂径定理进行证明

C

。例3如图12-10,AB是©0的直径,C为半圆周上一点,M是

念的中点,MN_LAB于点N,试猜想MN与AC的数量关系并证明你

的结论.

图12-10

【变式题组】7.如图12-11,A,B,C是20上的三个点,连接&和命的中点。,E的弦交

AB,AC于点F,G,试判断^AFG的形状.

8.如图12-12,AB是。O的直径，弦CD在AB同一侧,CE_LCD交AB于E,DF±CD交

AB于F.求证:AE=BF.

图12-12

类型四»运用垂径定理计算线段的长

◎例4（2013,牡丹江）在半径为13的。0中，弦AB〃CD,弦AB和CD的距离为7,若

AB=24,则C。的长为（）.

A.10B.4沟C.10或4侬D.10或2/麻

【变式题组】9.已知圆内接^ABC中,AB=AC,圆心O到BC的距离为3cm,圆的半径

为7cm,则腰AB的长为,

10.在半径为I的®。中，弦AB,AC的长分别为&和々，则NBAC的度数为.

类型泥＞垂径定理的综合运用

O例J5（2010,芜湖;如图12-14,在。。内有折线OABC,其中OA二

8,AB=12，NA=/ABC=60二则BC的长为（）.

A19B.6C.18D.20

【变式题组】11.（2013,舟山）如图12-15,00的半径0口1_弦八8于点

C,连接AO并延长交。。于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长为

（）.

A.2/15B.8

C.2710D.2713

困12-15

12.如图12-16,某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度

（弦AB的长）为止等米，大棚顶点C离地面的高度为2,3米.

（D求该圆弧所在圆的半径；\

（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动/

的范围有几米？A1-------------

图12-16

研材乐勘例6如图12-18,已知射线与射线ON互相垂直,A是

直径PQ为2cm的半圆铁片上一点，且弧AQ的度数为60°,动点P从点O

沿射线QM开始滑动，同时动点Q在ON上滑动.当点Q滑至点。停止时,CKP)-*M

点A所经过的路程是一,图12-18

能力予台

1.（2012,黄冈）如图,AB为。0的直径，弦CD_LAB于点E,

2.（2010,毕节；，如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小

正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）.

A.（4+痣）cmR9cm

C.475cmD.6^/2cm

3.点A到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则此圆的

半径为（）.

A.2.5cmB.2.5cm或6.5cm

C.6.5cmD.5cm或13cm

4.（2013,乐山;如图,圆心在？轴的负半轴上，半径为5的。B与

》轴的正半轴交于点A（0,l），过点P（0,-7）的直线2与。B相

交于GD两点.则弦CD长度的所有可能的整数值有（）.

A1个B.2个C.3个D.4个

5.（2011,南京）如图，在平面直角坐标系中,。P的圆心是（2,a）

（a>2）,半径为2,函数y=z的图象被（DP截得的弦AB的

长为2•，则a的值是（）.

A.2伍B,2+2V2

C.2+虑'D.2十^

6JQ：；、盐城，如图，将。。沿弦AB折叠,使&经过圆心O,

则NQAB=.

偌感皂迅:

7.（2013,吉林）如图,AB是。O的弦,OC_LAE于点C,连接

OAQB.悬P是半径OB上任意一点，连接AP,若=

5cm,OC=3cm,则AP的长度可能是（写出一个

符合条件的数值即可）.

8.如图,。。的直径为10,弦AB=8,M是弦AB上的动点，则

Jr4m彳岫J匕…H的J而估IXXT拈=雨Z旦*»•

9.如图,AB是半圆。的直径,NCAB=30°,AC=AD,8=2,

则点O到CD的距离OE=______.

10.如图，AB是。0的弦，P是AB上一（一"、

点，若AB=10cm,PB=4cm,OP=/、

5cm,则00的半径等于________cm.I?I

11.如图，在。O中，直径MN=10,正方形k_____4

A8CD的四个顶点分别在半径OM,

OP以及00上，并且NPOM=45°.求第10题图

正方形的边长AB.

第11题图

12.如图，直线I经过0O的圆心O,且与。O交于A,B两点,

命题之祀

点C在。0上，且NAOC=30°,点P是直线I上的一个动

点（与圆心O不重合），直线CP与。。相交于点Q.问:是

否存在点P,使得QP=QO?（用“存在”或“不存

在”填空）.若存在,满足上述条件的点有几个？求出相应

的NOCP的大小;若不存在，请简要说明理由.

13.如图，在四边形ABCD中,AB〃CD,AB=AC=ADqa,

BC=6,求B。的长.

14.如图,半径为2的。O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，

连接op,若OP=1,求AB2+CD2的值.

第14题图

第2章：圆的基本性质（2）

典肉制折

类型一:，弧、弦、圆心角之间的关系

听课笔记:

寒例1如图13-2,已知A,B,C,D是。0上的点则下列

结论中时耍（…

①命=&②宛）=盒③AC=BD；④/BOD=NAOC.

Al个B.2个C.3个D.4个

【变式题组】1.如图13-3,在。。中，&=2念，那么（）.

A.AB=ACB.AB<2AC

图13-2

C.AB=2ACD.AB>2AC

B

图13-4

2.如图13-4,AB为。0的直径，点C,D^-^OA,OB的中点，点E,F都在。。上,

CEJ_AB,DFJ_AB,下列结论:①CE=DP；②前=余二途;③AF=2CE；④四边形CDFE为

正方形，其中正确的是（）.

A.②③④R①②•C.①②③D.①③④

类型二,运用弧、弦、圆心角的关系进行计算、证明

3例2已知:如图13-5,/AOB三90°,点C,。是彘的三等分点,

AB分别交OC,OD于点E,F.求证:AE=BF=CD.

【变式题组】3.如图1女,在我中,AB是直径,8_LAB,点D是

CO的中点,DE〃AB.求证:俞=2BE.

4.义图13-7,已知时的半径为R,C,D是直径AB同侧圆周上的

两点，命的度数为96。，俞的度数为36°,动点P在AB上，则CP+PD

的最小值为.

图13-7

圆周角定理

听课笔记:

>例3（2013,临沂）如图13-8,在。。中，NCBO=45°,NCAO=

15°,则/AOB的度数是（）.

A.75°R60°C.450D.30°

【变式题组】5.（2⑴3,兰州）如图13-9,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重

合，其中量角器O刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3

度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第24秒时，点E在量角器上对应的读数是

6.如图13-10,点O是。O的圆心，点A,B,C在00上,AO〃3C,ZAOB-38°,则NOAC

的度数是..

7.（2012,安徽）如图1311,点A,B,C,D在。。上,O点在/D的内部，四边形OA3C为

平行四边形,则N（MD+NOCD=.

类型四圆周角定理推论及运用

听课笔记:

◎例4（2013,内江）如图13-12,半圆O的直径AB=10cm,弦

AC=6cm,AD平分/BAC,则AD的长为（）cm.

A.475B.3HC.5西D.4

［变式题组］8.如图13-13,在/\/记。中,AB>AC,/BAC的平分

线交外接圆于点D,DEJ_AB于点E,DM±AC于点M.

(1)求证:BE=CM；

(2)求证:AB-AC=2BE.

图13-13

^例5(2012,随州)如图13-14,AB是00的直径，若NBAC=

35°,则NADC=（）.图13-14

A.35°B.550C.70°D.110°

【变式题组】9.如图1315,AADC的外接圆直径AB交CD于点

E,已知/C=65°,/D=40°,求/CE8的度数.

国陟构造直径或直角解题

蒙例6如图13-16,Z\ABC的外接圆。O的半径为1,点D,E分

别为AB,人C的中点,B尸为AC边上的高，若A3=&■，则线段BF的长

等于（）.

A.2DEB.72DEC.AFD.闻E

【变式题组】10,如图13-17,AABC内接于0O,ADJ_BC于点D,

8瓦LAC十点E,AD,BE相交于点“，若BC=6,AH=4,则OO的半径

为（）.

A.5R2/13C.713D.苛

类型汽＞圆心角、弧、弦关系定理及圆周角定理的综合运用

◎例7如图13-18,AB是00的直径,C是命的中点,CEJ_AB

于点E,BD交CE于点F.

⑴求证：CF=BF；

（2）若CD=6,AC=8,求。。的半径和CE的长.

图13-18

【变式题组】11.如图13-19,已知A,B两点的坐标分别为

(26,0),(0,2),尸是ZkAOB外接圆上的一点，且/AOP=45°,则点

P的坐标为.

图13-19

图13-20

【变式题组】12.（2012,鄂州）如图13-21,OA=QB=OC且NAC6=30°,则/AOB的大

小是().

A.4O0B.50°C.60°D.70°

13.如图13-22,长为1的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,AB=2,M是ST的中

点，过S作SP_LAB于P点,则/SPM=.

研西乐国

O例9如图13-23,已知AB是。。的直径,CD平分/ACB,求

证:AC+BCMCD.

图13-23

DDDD

能力予台

密鉴.皂祀，

1.（2。13,苏州）如图,AB是半圆的直径，点D是弧AC的申

点,NABC=50°,则/DAB等于（）.

2.（2013,安徽）如图，点P是等边△ABC外接圆®O上的点,

在以下判断中不正确的是（）.

A.当弦PB最长时,ZiAPC是等腰三角形

R当aAPC是等腰三角形时,PO_LAC

C.当FO_LAC时,NACP=30°

D.当NACP=30°时,△BPC是直角三角形

3.如图,AB是®。的直径,AD=OE,AE与8D交于点C,则

图中与NBCE相等的角有（）.

A.2个R3个C.4个D.5个

4.如图,00的直径AB的长为10,弦AC长为6,ZACB的平

分线交00于D点,则8的长为（）.

A.7B.7T2C.8V2D.9

在AB的延长线上,BD=BC,则.

6.（2012，淄博）如图,AB,CD是。。的弦,AB_LCD,BE是

00的直径,若AC=3,则DE=.

7.如图,AB为。O的直径,AB=AC,BC交。O于点D,AC交

。。于点E,N8AC=45°.给出下列5个第论:①N绊C=

22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧靠是劣弧会的2

倍;⑤AE=BC其中正确的结论的序号是.

8.如图,A,B,C三点都在©0上，点D是AB延长线上一点,

ZAOC=140°,ZCBD的度数是•

9.如图，已知。O的直径AB和弦CD,且

AB1CD于点E,F为QC延长线上一

点，连接AF交。O于点M求证:

NAMD=NFMC.

10.（2013,温州）如图,AB为。。的直径，

点C在。O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与

00的另一个交点为点E,连接AC,CE.

⑴求证:NB=/D；

(2)若A8N4,13C-AC=2,

求CE的长.

第3章：直线和圆的位置关系

典例制祈

类型一乃点和圆的位置关系

听课笔记:

◎例1(2011,上海，在矩形八BCD中,AB=8,BC=3同，点

尸在边AB上，且5P-3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半

径的圆，那么下列判断中正确的是().

A.点B,C均在圆P外

B.点B在圆P外，点C在圆P内

C.点0在圆尸内，点C在圆P外图14-2

D.点B,C均在圆尸内

【变式题组】1.如图14-3,已知矩形ABCD的边AB=3cm,BC=AD

4cm.

(D以点A为圆心,4cm为半径作。A,则点B,C,D与0A的位置关

系如何？Q---------------

(2)若以点A为圆心作。人使三点中至少有一点在0A内，

且至少有一点在。人外，求©A的半径r的取值范围,

类型二A三角形的外心及其性质

听课笔记:

。例2在Rt/VWC中,AB=6,BC=8,那么这个三角形外接圆的直径是.

【变式题组】2.如图14-4,ZVWC的三个顶点的坐标分别

为人（-1,3）,8（—2,-2）,。（4,一2）.则4/止。外接圆半径的民

度为________•

3.如nJ4-5,Z\ABC内接于。O,AB为直径，弦CEJ_A8于

点F,C是卷的中点,连接BD并延长交EC的延长线于点G,连

接AD,分别交CE,BC于点P,Q.求证:点尸是ZXACQ的外心.

图14-4

类型三比直线和圆的位置关系

听课笔记:

◎例13在平面直角坐标系”为中，以点M(-3,4)为圆心,4为半径的圆().

A,与工轴相交，与y轴相切B.与彳轴相离，与〉轴相交

C.与n轴相切,与a轴相交D.与才轴相切，与y轴相离

【变式题组】4.设00的半径为R,圆心。到直线/的距离为d,若d,R是方程一一6工+

/n=0的两根，则直线I与。0相切时,m的值为•

5.在RtzMBC中,AC=3,BC=4,若以点。为圆心,R为半径作圆，若圆与斜边AB只有

一个公共点时，则R的取值范围是•

类型四►切线的性质

听课笔记:

0例4(20i2,丽水)如图14-6,AB为的直径,EF切OO于

点D,过点B作］3HJ_EF于点H,交。。于点C,连接BD.

(1)求证:BD平分/ABH;

(2)如果AB=12,BC=8,求圆心。到BC的距离.

图14-6

【变式题组】6.（2013,毕节）如图14-7,在等腰直角AABC中,

AB=AC=4,点。为BC的中点，以O为圆心作®。交BC于点M,N,

。。与AB,AC相切,切点分别为点D,E,则。0的半径和/MN。的

度数分别为（）.

图H-7

A.2,22.5°R3,30°

C.3,22.5°D.2,30°

7.（2013,鞍山）如图14-8,点在。0上，直线AC是的切线,OC_£O6,连接AB交

OC于点D.

（DAC与CD相等吗？为什么？

⑵若AC=2,AO=^，求OD的长度.

类型互＞切线的判定

听课笔记:

O例J5如图14-9,在AABC中,/ABC=90°,以AB为直

径的。。交AC边于点E,点D是BC的中点，连接DE.

(1)求证:DE与。O相切；

(2)若。0的半径为JW,DE=3,求AE的长.

【变式题组】8.(2013,东营)如图14-10,AB为。0的直径，点C为⑥O上一点，若NBAC

=NCAM,过点C作直线垂直于射线AM,垂足为点D.

(D试判断CD与OO的位置关系，并说明理由；

(2)若直线与AB的延长线相交于点E,。。的半径为3,并且NCAB=30°,求CE的长.

图14-10

9.如图14-11,A是。0上一点，半径0C的延长线与过A点的直线

十TrjF-nd一r>/^»Ak一]on

乂丁Q点，—2

(1)求证:AB是。。的切线；

(2)若NACD=45二0C=2,求弦CD的长.

O例6如图14-12,在直角梯形ABCD中,/A=NB=90°,AD〃BC,E为AB上一点,

DE平分/ADGCE平分NBCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？

图14-12

【变式题组】10.如图14-13,点。在NAPB的平分线上,00与PA相切于点C.

Q)求证:直线PB与。O相切；

(2)尸。的延长线与©O交于点E,若。。的半径为3,PC=4,求弦CE的长.

图14-13

O例7(2013,铁岭)如图14-14,△ABC内接于

00,A8是直径，。0的切线PC交BA的延长线于点

P,OF//BC交AC于点E,交PC于点F,连接AF.

(D判断AF与。O的位置关系并说明理由；

(2)若。O的半径为4,AF=3,求AC的长.

图14-14

【变式题组】11.(2013,珠海)如图14-15,。0经过菱形ABCD的三个顶点A,CD,且与

AB相切于点A.

(D求证:BC为。。的切线;

(2)求NB的度数.

图14-15

12.如图14-16,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,与

大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点力，且。O平分NACR

(D试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；

(2)试判断线段AC,AD,BC之间的数量关系,并说明理由；

⑶若AB=8cm,BC-10e,求大圆与小圆围成的圆环的面积(结果保留

图14-16

研材乐园

锚例8(2012,随州)如图14-17,已知直角

梯形八8。。,/3=90°,40〃比,并且4。+8。一

CD,。为AB的中点.

(D求证:以AB为直径的OO与斜腰CD相切；

(2)若OC=8cm,OD=6cm,求CD的长.

图14-17

【变式题组】13.已知。是乙钻。边AC上的点,AD：DC=2：1,/C=45°，NAD5=

60°.求证:AB是△BCD外接圆的切线.

能力予台

1.（2013,黔西南州）如图，线段AB是。O的直径，点D是。。

上一点,NCDB=20",过点C作◎。的切线交AB的延长线

于点E,则NE等于（）.

2.（2013,济宁〉如图，以等边AABC的BC边为直径画半圆，

分别交ABAC于点E,D.DF是圆的切线，过点F作BC的

垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为（）.

A.4B.373C.6D.273

3.（2012,黄石）如图，直线CD与以线段AB为直径的OO相

切于点。，并交BA的延长线于点C,且A8=2,AD=1,P

点在切线CO上移动，当NAPB的度数最大时,NABP的

度数为（）.

A.15°R30°C.60°D.90°

4.如图，已知A,B两点的坐标分别为（2,0）,（0,2）,©C的圆

心坐标为（一1,0）,半径为1.若D是0c上的一个动点，线

段DA与y轴交于点E,则△ABE的面积的最小值是

（）.

A.2R1仁2一堂D.2-s/2

5.（2011,宁波）如图，。Oi的半径为1,正方形ABCQ的边长偌皂祀，

为点为正方形ABCD的中心，于点,

6,Q01aJ_ABP

OiQ=8.若将。Oi绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转

过程中，。勒与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况

一共出现（L

；若/BOC=100°,则NBAC=

7.如图，已知0P的半径为2,圆心P在抛物线y=

上运动，当。尸与坐标轴相切时，圆心P的坐标是

8.（2013,咸宁）如图，在RtAAOB中,OA=OB=3笈,。。的

半径为1,点P是AB边上的动点，过点尸作。O的条切

线PQ（点Q为切点）,则切线PQ的最小值为.

9.如图，已知在"BC中,AC=BC=6,/C=90°,O是AB的

中点,00与AC,BC分别相切于点D,E,点F,H是。O与

AB的两个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G,则

CG=.

10.如图，已知P是。O的直径AB

的延长线上的一点，PC与。O

相切于点C,/APC的平分线/.

交AC于点Q,则/PQC=从OBP

第io题图

IL(2012,福州J如图,AB为。0的直径,C为。。上一点,AD翁殿皂祀:

和过C点的切线互相垂直,垂足为D,AD交。。于点

(1)求证:AC平分NDAB；

(2)若NB=60°,CD=26■，求AE的长.

第11题图

12.(2012,陕西)如图，PA,PB分别与。。相切于点A,8,点

M在PB上，且OM〃AP,MNJ_AP,垂足为N.

(1)求证：OM—AN；

⑵若。O的半径R=3,PA=9,求的长.

第12题图

13.如图，在△ABC中,AB=AC,点0在AB上，©0过点B

且分别与BC,AB交于D,E两点，与AC相切于点G,

DF_LAC于F点.

(1)判断DF与00的位置关系,并证明；

(2)若。。的半径为3,CF=L求AG的长.

第13题图

14.(2012,河北)如图，点A(—5,0),B(—3,0),点C在y轴的

正半轴上,NCBO=45°,CD〃AB，NCDA=90°,点P从点

Q(4,0)出发，沿工轴向左以每秒1个单位长度的速度运

动，运动时间为z秒.

(1)求点C的坐标；

⑵当NBC尸一15"时，求t的值；

(3)以点P为圆心,PC为半径的。P随点P的运动而变

化，当。P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相

切时，求r的值.

第14题图

第4章：切线长定理和三角形的内切圆

典肉制祈

类型一，切线长定理

听课笔记:

◎例1（2012,荷泽）如图15-3,PA,PB是。。的切线,A,B为

切点,AC是。O的直径，若NP=46°,RIJZBAC_•

［变式题组】1.（2012,连云港）如图15-4,圆周角/BAC=55°,分别过61两点作。。的

切线，两切线相交于点P,则NBPC-•

2.如图15-5,半圆O的直径在梯形ABCD的底边A3上,且与其余三边BC,CD,DA相

切，若BC=2,DA=3,则AB的长为.

3.如图15-6,AD,AE,8C都是。O的切线，切点分别为D,E,F,若AD-6,/AK40°,则

△ABC的周长为，/BOC=.

类型二,»三角形内切圆

听课笔记:

【变式题组】4.如图15-8,在ZVIBC中，NC—90°,07为^ABC

的内切圆，点O为△ABC的外心,BC=6,AC=8.

(1)求。I的半径；

(2)求01的长.

图15-8

。例3如图1510,在△ABC中,内切圆O和边”C,CA,AB分

别相切于点D,E,W,则下列四个结论中错误的是().

A.点。是△DEF的外心B.NAFE=得(/B+/C)

C.ZBOC=900+4^AD.NDFE=90°-、NB

【变式题组】5.如图15-11,点/为△ABC的内心，点O为AABC

的外心，若NBOC=140°,则/I为.

图15-11

类型二A四边形切圆的问题

听课笔记:

O例4(2012,孝感)如图15-12,AB是。。的直径,AM,

BN分别切G)O于点A,B.CD交AM,BN于点D,C.DO平分

NADC.

(1)求证:CD是＜90的切线；

(2)若AD=4,BC=9,求。。的半径R.

图.15-12

【变式题组】6.如图15-13,AB,BC,CD分别与OO相切于点E,F,G,旦AB〃CD,QB与

EF相交于点M,8与FG相交于点N,连接MN.

⑴求证：OB_LOC；

(2)若OB=6,OC=8,求MN的长.

图15-13

类型1内切圆与几何探究性问题

0例5如图15-14,在直角梯形ABCD中,AD〃

BC,ZB=90°,AB=8cm,AD-=24cm,BC=26cm,AB

为0。的直径.动点尸从点A开始沿AD边向。点以

1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B

以3cm/s的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发，当

其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的

时间为ts,t为何值时，直线PQ与。。分别相切、相交、相离?

【变式题组】7.（2010,南充）如图15-15,直线Zi〃Z2,0O与A

L和乙分别相切于点A和点8点M和点N分别是21和L上的

动点,MN沿八和lz平移,。。的半径为L/1=60°,下列结论中

错误的是（).

473B

A.MN

图15-15

B.若MN与。0相切,则AM=V3

C.若NMON=90°,则MN与。O相切

D.A与lz的距离为2

研诂乐国

A

◎例6（全国竞赛）如图15-16,在等腰△ABC中，已知AB=

AC，ZC的平分线与边AB交于点P,S,M分别为△ABC的内切圆

与边AB,BC的切点，作MD〃AC,交01于点D.证明:PD是。」

的切线.

【变式题组】8.如图15-17,已知AB为。O的直径,CD,CB为。。的

切线,D,8为切点,0C交©O于点E,AE的延长线交BC于点F,连接AD”

BD.给出以下结论:①AD〃0C；②点E为ACDB的内心;③PC-FE其中

正确的是（）.

A.①②RdXDCOG)D.①②③图15-17

能力千台

1.已知他,4。与。0相切于5,。点,/4=50°,点2是圆上

异于B,C的一个动点，则/BPC的度数是（）.

A.65°R115。

C.65"或115°D.130°或50°

2.如图,。。内切于ZVIBC,切点分别为D,E,F.已知/B=50°,

NC=60°,连接OE,OF,DE,DF,那么/EDF等于（）.

A.40*R55*C.65°D.70°

3.（2011,温州：如图，0是正方形A3CD的对角线BD上一

点,。O与边AB,BC都相切，点E,F分别在边AD,DC±.

现将△DEF沿着EF对折»折痕EF.与00相彷,此时点D

恰好落在圆心O处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是

（）.

A.3R4C.24-72D.2g

4.如图，以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O,过点D作

宜线切半圆于点F,交AB边于点E,则△ADE和直角梯形

EBCD周长之比为（）.

A.3«4R4«5C.5«6D,6«7

5.如图,在矩形八3CQ中，连接AC,如果O为AABC的内心,

过点。作OEJ_AD于点E,作OFJ_CD于点F.则矩形

OFDE的面积与矩形ABC：D的面积的比值为（）.

C,4口不能确定

A.4Z-R434

6.如图,在△/!BC中,AB=AC,/A为锐角，CD为AB边上

的高，I为△ACD的内切圆圆心，则/A/B的度数是

（）.

A120°R125°C.135°D.150°

7.（2G12,玉林）如图,的内切圆。0与两直角边AB,

帚超皂祀，

BC分别相切于点D,E,过劣弧DE（不包括端点D.E）上任

一点P作。O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N.若

00的半径为r,则RtZiMBN的周长为（）.

A-rRFTC.2rD.-z-r

8.如图，在zMBC中，NC=9O°,AC=8,AB=1O,点P在AC

上,AP=2,若的圆心在线段BP上，且。。与AB,AC

都相切，则。O的半径为:

9.如图，在△ABC中，NC=90°，NA和/B的平分线相交于

P点，又PE±AB于点E,若BC=2,AC=3,则AE•EB=

10.如图,在梯形ABCD中，AD〃BC,NABC=90°,以AB为

直径的半圆。切CD于点M,若这个梯形

的面积是10cm?，周长是14cm,则半圆O

的半径等于_______cm.0,\

11.（2012,天津）已知。。中，AC为直径，7\

MA,MB分别切。。于点

A.B.B'C

（D如图①，若/BAC=25°,求/八MB的%.八眇㈤

,,第题图

大小；

（2）如图②，过点B作6DJ_AC于点E,交于点D,若

BD=MA,求/AMB的大小.

第■题图

第5章：弧长和扇形面积

典何利祈

类型一正多边形的计算

听课笔记:

©例1（2013,绍兴）小敏在作©O的内接

正五边形时，先做了如下几个步骤：

（D作0O的两条互相垂直的直径，再作OA

的垂直平分线交QA于点M,如图17-6①；

（2）以M为圆心,BM长为半径作圆弧，交CA

于点D,连接BD,如图17-6②.若OO的半径为1,

则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是

房一1

T、•••।■，一一・・・・

A.D1Z="

D.BD2=4^5OD

C.BD2=75OD

【变式题组】l.（2，）13,台州）如图17-7,已知边长为2的正AABC顶点A的坐标为（0,6）,

BC的中点D在y轴上,且在点A下方，点E是边长为2,中心在原点的正六边形的一个顶点，

把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）.

A.3R4-73C4D.6-273

类型二,＞弧长的计算

听课笔记:

◎例2（2012,衡阳）如图17-9,00的半径为6cm,燮AB是

0O的切线，切点为B,弦BC〃AO,若NA=30°,则劣弧R的长为

________cnx

图17-9

【变式题组】3.（2013,恩施）如图17-10,一半径为1的圆内切于一