湖南省长沙市2024-2025学年高二上册模块测试数学检测试题（含解析）

湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期模块测试数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则(

)

A. B.

C. D.2.圆的圆心到直线的距离为A. B.2 C.3 D.3.已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是A.内切 B.相交 C.外切 D.相离4.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是A. B. C. D.5.如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，则点到平面的距离等于

A. B. C. D.6.当点到直线l：为任意实数的距离取最大值时，则A. B. C. D.7.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是(

)A. B. C. D.8.已知圆C：的圆心为点C，直线l：与圆C交于M，N两点，点A在圆C上，且，若，则A.1 B.2 C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下面三条直线：，：，：不能构成三角形，则实数m的取值可以是A. B. C. D.410.已知圆O：，则A.圆O与直线必有两个交点

B.圆O上存在4个点到直线l：的距离都等于1

C.若圆O与圆恰有三条公切线，则

D.已知动点P在直线上，过点P向圆O引两条切线，A，B为切点，则的最小值为811.已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是(

)A. B.平面

C.AM与所成角的余弦值为 D.动点P的轨迹长为三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。12.已知，方程表示圆，则__________.13.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为在满足条件①，②的所有圆中，圆心到直线l：的距离最小的圆的方程为____________________.四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.本小题12分

正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在侧棱上存在一点N，使得，则________.15.本小题12分在平面直角坐标系xOy中，圆C：，直线l：若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标；若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值．16.本小题12分已知平面直角坐标系中三点，，求直线AB的斜率和倾斜角；若点A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；若点是线段AC上一动点，求的取值范围．17.本小题12分如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点求证：平面EDB；求证：平面EFD；求平面CPB与平面PBD的

夹角的大小.18.本小题12分如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，当时，求三棱柱的体积;设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.

19.本小题12分古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．求点P的轨迹的方程；过点B作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在y轴上．过点B作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；设轨迹与y轴正半轴的交点为C，直线OP，CQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程．

答案和解析1.【正确答案】B

【分析】本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．

由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案．

解：由题意

又，，

故选2.【正确答案】D

【分析】

本题考查了根据圆的一般方程求圆心以及点到直线距离，属于基础题.

求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

解：由题意得

，即

，则其圆心坐标为

，则圆心到直线

的距离为

.故选：3.【正确答案】B

【分析】本题考查直线和圆的位置关系及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键，属于中档题．

根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．解：圆的标准方程为M：，

则圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

圆M：截直线所得线段的长度是，

，

即，即，，

则圆心为，半径，

圆N：的圆心为，半径，

则，

，，

，

即两个圆相交．

故选：4.【正确答案】A

【分析】

本题主要考查了向量法求直线与直线所成角，属于基础题.

建立空间直角坐标系，利用向量法求解出与所成角.

解：如图建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，

，

故选5.【正确答案】C

【分析】

本题主要考查利用空间向量求点面之间的距离，属于基础题.

建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量进行求解即可.

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，

设平面的一个法向量为，

则有

令，则，

又，

点到平面的距离

故选6.【正确答案】C

【分析】

本题主要考查经过定点的直线，两直线垂直的性质，属于中档题.

将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，即可求出

解：直线，

可将直线方程变形为，

解得，，

由此可得直线系恒过点，

则P到直线l的最近距离为0，此时直线过

P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于

，直线l的斜率为，

，7.【正确答案】B

【分析】本题考查了直线与圆得位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题.

先求出圆心和半径，比较半径和，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．

解：圆，整理为，

圆心坐标为，半径为，

要求圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，

则圆心到直线的距离应小于等于，

，

，

，，

，

设直线l的倾斜角为，则，

即

直线l的倾斜角的取值范围是，

故选8.【正确答案】C

【分析】

本题考查圆的方程、平面向量的数量积、直线与圆的位置关系，属于中档题.

利用圆的知识与向量数量积，即可求解.

解：设弦MN的中点为B，由题可知圆C的半径为，因为，，故，

所以，

，

可得

，

解得9.【正确答案】ACD

【分析】

本题考查三条直线不能构成三角形的条件，三条直线中有两条直线平行或者三直线经过同一个点，属于中档题.

三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数m的值.

解：①当直线：平行于：时，，

②当直线：平行于：时，，

③当：平行于：时，，m无解，

④当三条直线经过同一个点时，把直线

与的交点代入：得

，解得或，

综上，满足条件的m为4、或、或、或

故选10.【正确答案】ACD

【分析】本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及与圆有关的最值问题，属于难题.

根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线l的距离可判断B；

将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；

由，且当PO最小时最小时可判断

解：对于A，将直线整理得，由知，，所以直线过定点，因为，所以该定点在圆内，故A正确；

对于B，圆的圆心到直线l：的距离为，所以过圆心且与直线l平行的直线与圆相交有两个点到直线l的距离为1，与直线l平行且与圆相切，并且与直线l在圆心同侧的直线到l的距离为1，所以只有三个点满足题意，故B错误；对于C，将圆化成标准形式为，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，解得，故C正确；对于D，连接OP，OA，OB，

因为A，B为切点，所以，，所以，且当PO最小时，最小，所以当PO与直线垂直时，，又因为半径为2，所以，，所以，故D正确．

故选11.【正确答案】BCD

【分析】本题考查线面平行、线线垂直的向量表示，直线与直线所成角的向量求法，属于中档题.

建立空间直角坐标系，利用向量方法逐一分析求解即可.

解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则，，，，，

所以，，，

由平面，得，即，

化简可得：，所以动点P在直线上，

对于选项A：，，

，

所以与不垂直，所以A选项错误；

对于选项B：，平面，

平面，所以平面，B选项正确；

对于选项C：，

，C选项正确；

对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，

则P在线段上，，

所以，D选项正确；

故选12.【正确答案】

【分析】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.

只有在时，二元二次方程才表示圆，求解时应注意这个隐含条件.

解：由得或2，

当时，方程为，

得，表示圆，满足条件；

当时，方程为，

即，

得，不表示圆，不满足条件，

故，

故13.【正确答案】，或

【分析】本小题主要考查求圆的方程，属于中档题.

圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为，设圆的圆心为，圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：

的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．

解：圆的圆心为，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为，由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为，知圆P截x轴所得的弦长为，故，

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有

从而得

又点到直线的距离为，

所以

，

当且仅当时上式等号成立，此时，从而d取得最小值．

由此有

解此方程组得或

由于知

于是，所求圆的方程是，或14.【正确答案】

【分析】本题主要考查线线垂直的判定，属于基础题。

首先建立空间直角坐标系，由题设分别写出M，N，A，B四点的坐标，利用垂直关系即可求解.

解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

则，，，设，，则，，，，解得，故15.【正确答案】解：

设切点N为，则有，解得：

或，

所以切点N的坐标为或圆C：的圆心，半径，设，由题意可得，由四边形APCQ为正方形，可得，即，

由题意直线，圆C：，

则圆心到直线的距离，

可得，，解得

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.设切点坐标，由切点和圆心连线与切线垂直以及切点在圆上建立关系式，求解切点坐标即可；

由圆的方程可得圆心坐标及半径，由APCQ为正方形，可得可得圆心到直线的距离为，可得m的值．16.【正确答案】解：直线AB的斜率为，

设倾斜角为，则，

，

直线AB的倾斜角为

如图，

当点D在第一象限时，，

设，则，

解得，，故点D的坐标为

由题意得为直线BE的斜率.

当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，

当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，

故直线BE的斜率的取值范围为，即的取值范围为

【分析】本题考查直线的斜率、倾斜角，直线斜率的应用，属于中档题.

有过两点的直线的斜率求得AB的斜率；由倾斜角的正切值为斜率，求得倾斜角；

由图知，当点D在第一象限时，，，设，得，求得x，y，得点D的坐标；

由题意得为直线BE的斜率，当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小；当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，得直线BE的斜率的取值范围，即的取值范围.17.【正确答案】解：侧棱底面ABCD，而AD，底面ABCD，故，，

底面ABCD是正方形，故，

故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设

.依题意得

，

，

，

.所以

，

，

.设平面EDB的一个法向量为

，则有

即

取

，则

，因为

平面EDB，因此

平面解：依题意得

，因为

，所以

.由已知

，且

，EF，平面EFD，所以

平面解：依题意得

，且

，

.设平面CPB的一个法向量为

，则

即

，取

.同理可得PBD的

一个法向量为

，所以

⟨⟩

.所以平面CPB与平面PBD的夹角为

.

本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的向量求法，考查空间角的向量求法，属于中档题.

以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EDB的一个法向量为

，由

证明；由

，结合

，利用线面垂直的判定定理证明；求得平面CPB的一个法向量为

，同理可得平面PBD的一个法向量为

，由

求解.18.【正确答案】解：如图，取BC的中点为O，

由于和为正三角形，

则，，且，，

所以，所以

又，BC、平面ABC，所以平面ABC，

所以三棱柱的体积

如上图，在中，，，

由余弦定理可得，所以

由知，，又，所以平面