2.2 简谐运动的描述（解析版） -2025年高二物理同步培优讲练（人教版选择性必修第一册）

2.2简谐运动的描述0101学习目标物理素养学习目标1.物理观念：①知道简谐运动的振幅、周期、频率和相位的概念，理解全振动。②知道周期和频率的关系。2.科学思维：知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。3.科学探究：通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。4.科学态度与责任：通过观察了解有关简谐运动的物理量，培养学生学习物理的兴趣。1.理解振幅、周期和频率的概念，能用这些概念描述、解释简谐运动。2.经历测量小球振动周期的实验过程，能分析数据、发现特点、形成结论。3.了解相位、初相位。4.会用数学表达式描述简谐运动。重点关注：①振幅、周期、频率②相位及相位差③简谐运动的公式002思维导图003知识梳理（一）课前研读课本，梳理基础知识一、描述简谐运动的物理量1．振幅①概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。②意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。2．周期和频率①全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。②周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。③频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。④周期和频率的关系：。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。⑤圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为，ω＝2πf。3．相位①概念：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。②意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。③相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。二、简谐运动的表达式，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。（二）辨析1.振幅就是指振子的最大位移吗?【答案】提示不是。振幅是标量,最大位移是矢量,它们在数值上相等。2.物体两次通过平衡位置的过程是一个完整的振动过程吗?【答案】(1)不一定。振动物体连续两次沿同一方向通过平衡位置的过程是一次全振动,因此,物体两次通过平衡位置的过程不一定是一个完整的振动过程。3.一弹簧振子在B、O、C间做简谐运动,如图所示,若弹簧振子从0向右运动时开始计时。则怎样的过程表示一个完整的振动过程?【答案】(2)从小球第一次经0点向右运动到小球下次回到0点且向右运动的过程,即0→C→0→B→0。4.简谐运动的表达式一定是正弦函数吗?【答案】不一定,还可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。5.试写出表达式中各物理量的含义。【答案】①表示简谐运动的振幅。②是简谐运动的圆频率。它也表示简谐运动振动的快慢,。③代表简谐运动的相位,是时的相位,称作初相位,或初相。004题型精讲【题型一】描述简谐运动的物理量【点拨】【点拨】1．对全振动的理解(1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。(2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。(3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系(1)位移和振幅①最大位移的数值等于振幅。②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。③位移是矢量，振幅是标量。④特别提示振幅大,振动物体的位移不一定大,但其最大位移一定大。(2)路程与振幅①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4A。②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2A。(3)周期与振幅：一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。3.eq\f(1,4)个周期内路程与振幅的关系(1)振动物体在eq\f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，eq\f(1,4)个周期内的路程才等于一个振幅。(2)当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若开始时质点运动的方向指向平衡位置，则质点在eq\f(1,4)个周期内的路程大于A，若开始时质点运动的方向远离平衡位置，则质点在eq\f(1,4)个周期内的路程小于A。4．振动物体通过路程的计算方法(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据:①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅,则在n个周期内通过的路程必为n·4A。②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。③振动物体在T/4内通过的路程可能等于一倍振幅,还可能大于或小于一倍振幅,只有当初始时刻在平衡位置或T最大位移处时，T/4内通过的路程才等于一倍振幅。(2)计算路程的方法是:先判断所求时间内有几个周期,再依据上述规律求路程。【典型例题1】（2024·北京通州·一模）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为。下列说法正确的是（

）A．MN间距离为5cmB．振子的运动周期是0.2sC．时，振子位于N点D．时，振子具有最大速度【答案】B【详解】A．MN间距离为2A=10cm，选项A错误；B．振子的运动周期是选项B正确；C．时，x=0，则振子位于O点，选项C错误；D．时振子位于N点，具有最大加速度，最小速度，选项D错误。故选B。【对点训练1】（23-24高二下·河南郑州·期中）如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过О点时开始计时，经过0.3s首次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（）A．小球振动的周期一定为12sB．小球振动的振幅为0.3mC．弹簧振子振动方程可能为mD．0.6s末，小球一定在平衡位置【答案】D【详解】A．小球经过O点时开始计时，经过0.3s首次到达B点，若小球计时是向右运动，则小球振动的周期T=1.2s；若小球计时是向左运动，则s小球振动的周期T=0.4s小球振动的周期可能为1.2s或0.4s，故A错误；B．由题意可知2A=30cm小球振动的振幅为A=0.15m故B错误；C．当T=0.4s时，有可知弹簧振子的振动方程为当时，有可知弹簧振子的振动方程为故C错误；D．周期若为0.4s，则小球经运动到平衡位置；周期若为1.2s，则小球经运动到平衡位置，所以小球都在平衡位置，故D正确。故选D。【题型二】简谐运动表达式的理解和应用【点拨】【点拨】简谐运动的表达式(1)x:表示振动质点相对平衡位置的位移。(2)A:表示振幅,描述振动的强弱。(3)ω:表示圆频率,它与周期、频率的关系为。可见ω、T、f描述的都是振动的快慢。(4)wt+φ:表示相位,描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于三角函数中的角度，相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。(5)φ:是t=0时的相位,表示t=0时振动质点所处的状态,称为初相位或初相。2.简谐运动的表达式的理解和应用(1)由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A、圆频率ω和初相φ。根据或可求出周期T或频率f，,还可以求出某一时刻质点的位移x。(2)相位差:即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω的简谐运动,设其初相分别为φ1和φ₂,其相位差△φ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。它反映出两个简谐运动的步调差异。(3)关于两个相同频率的简谐运动的相位差的理解△φ=42-41①取值范围:-π≤△φ≤π。②△φ=0,表明两振动步调完全相同,称为同相。△φ=±π,表明两振动步调完全相反,称为反相。③△φ>0,表示振动2比振动1超前。△φ<0,表示振动2比振动1滞后。【典型例题1】（23-24高二下·河南郑州·期中）有两个简谐运动，振动方程分别为和，下列有关它们的说法正确的是（）A．它们的振幅之比为 B．它们的周期之比为C．它们的频率均为 D．它们的相位差【答案】C【详解】对简谐运动而言，其振幅，角速度，则周期频率初相位为。同理，对简谐运动而言，其振幅，角速度，则周期频率初相位为。两者相比可知，它们的振幅之比为它们的周期之比为它们的频率均为；它们的相位差故选C。【对点训练1】（23-24高二下·河南信阳·期中）有两个简谐运动：和，则下列说法正确的是（

）A．两者的振幅之比B．两者的周期之比为C．两者的初相位之比D．的相位比的相位落后【答案】D【详解】A．由表达式可以看出两简谐振动的振幅分别为4a和8a，则故A错误；B．因角速度均为，则周期满足，故B错误；CD．初相位分别为，，，故C错误，D正确。故选D。【题型三】简谐运动的周期性与对称性【点拨】【点拨】1.简谐运动的对称性简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。(1)时间的对称①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。(2)速度的对称①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。(3)位移的对称①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。2.简谐运动的多解性(1)周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。(2)对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。【典型例题1】（21-22高二上·重庆·阶段练习）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始时时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（）A．0.6s B．0.8s C．1.2s D．1.8s【答案】B【详解】如图甲所示若振子从O点开始向右振动，则振子的振动周期为如图乙所示若振子从O点开始向左振动，令从O到M的时间为t，则有则可解得振子的振动周期为故选B。【对点训练1】（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，振幅为0.1m，依次通过相距0.2m的A、B两点。质点经过A点时开始计时，t₁=1s时经过B点，t2=3s时也刚好经过B点，则该振动的周期可能是（）A．1.8s B．1s C．0.4s D．s【答案】C【详解】振幅A=0.1m，在时间内根据简谐振动的周期性有，（）在时间内根据简谐振动的周期性有，（）综合解得（）当n=2时故选C。005强化训练【基础强化】1．（20-21高二下·陕西宝鸡·期中）弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2s（0.2s小于振子的四分之一振动周期）时，振子第一次经过P点，又经过了0.2s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为（）A．0.4s B．0.8s C．1.0s D．1.2s【答案】D【详解】由题意可知，振子从O开始向右运动，设振子向右运动的最远点为Q，根据对称性可知振子从P向右运动到Q的时间为0.1s，则振子从O向右运动到Q的时间为0.3s，所以振子的周期为1.2s，故D正确。故选D。2．（12-13高二下·浙江宁波·期末）如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1s，质点通过N点后再经过1s又第2次通过N点，在这2s内质点通过的总路程为12cm。则质点的振动周期和振幅分别为（）

A．3s、6cm B．4s、6cm C．4s、9cm D．2s、8cm【答案】B【详解】简谐运动的质点，先后以同样的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等，那么平衡位置O到N点的时间因过N点后再经过质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位置的时间因此，质点振动的周期是这2s内质点总路程的一半，即为振幅，所以振幅故选B。3．（2024高三下·甘肃·学业考试）如图所示是某质点沿x轴做简谐运动的振动图像，简谐运动的频率为0.5Hz，在t=0时，位移是3cm，且向x轴负方向运动，则简谐运动的振动方程为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】简谐运动振动方程的一般表达式为x=Asin（ωt+φ）根据题给条件有：A=6cm，ω=2πf=π得x=6sin（πt+φ）cm将t=0时x=3cm代入得3=6sinφ解得初相或因为t=0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取；即所求的振动方向为x=6sin（πt+）cm故选C。4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图所示，弹簧振子以点为平衡位置，在两点间做简谐运动，点为的中点。振子从左向右经过点时开始计时，经过后振子第一次返回到点，再经过振子从左向右经过点。求：（1）该振子的振动周期；（2）该振子做简谐运动的圆频率。【答案】（1）；（2）【详解】（1）设振子自点从左向右运动到点所用时间为，根据运动的对称性有，解得（2）振子做简谐运动的圆频率解得5．（23-24高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）某个质点的简谐运动图像如图所示。求振动的振幅和周期。【答案】，【详解】根据图像可知振动的振幅为周期为【素养提升】6．（21-22高二下·吉林白城·阶段练习）一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，时刻振子的位移；时刻；时刻。该振子的振幅和周期不可能为（  ）A．0.1m， B．0.1m,8sC．0.2m， D．0.2m，8s【答案】B【详解】A．若振子的振幅为0.1m，根据简谐运动的周期性和对称性，如图甲所示有则周期的最大值为A正确，B错误；C．若振子的振幅为0.2m，由简谐运动的周期性和对称性可知，振子由运动到时，如图乙所示有所以最大周期为且时刻，C正确；D．若振子的振幅为0.2m，振子由运动到，需时间再经到，如图丙所示则根据简谐运动的周期性有所以最大周期为且时刻，，D正确；故选B。7．（23-24高二下·陕西渭南·期中）如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为的小球，小球静止时弹簧伸长量为。现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间变化的规律如图乙所示，重力加速度取。（1）写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；（2）求出小球在内运动的总路程和时刻的位置；【答案】（1）；（2），平衡位置（）【详解】（1）由振动图像可知，，则则小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式为代入得（2），则小球在内运动的总路程为时刻小球的位置坐标，即小球在平衡位置处。【能力培优】8．（23-24高二下·上海普陀·期中）艺术体操运动员以频率f=4Hz上下抖动长绸带的一端，绸带自左向右呈现波浪状起伏。t=0时刻，绸带形状如图所示（符合正弦函数图像特征）。P为绸带上的一点，其偏离平衡位置的位移x随时间t的变化可表示为（

）A