数学-江苏省泰州市2024-2025学年高三下学期开学调研测试试题和解析

江苏省泰州市2025届高三下学期开学调研测试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)2.已知集合，则3.已知复数z满足=i(i为虚数单位)，则z的虚部为4.已知随机变量ξ服从二项分布Bn,.若D(3ξ+2)=36，则n=A.144B.48C.24D.165.已知函数=tan，则“x0=2kπ+，k∈Z”是“f的图像关于点(x0,0)对称”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线x2=2py(p>0)，单位圆O分别相切于A，B两点，当|AB|最小时，p=A.237.对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有A.89种B.55种C.54种D.34种8.已知a∈R，a≠−1，函数f则A.当a>0时，函数f(x)在其定义域上单调递减B.当a<0时，函数f(x)在其定义域上单调递增C.存在实数a，使函数f(x)的图像是轴对称图形D.当a≠0时，函数f(x)的图像恒为中心对称图形二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知正数x，y满足+=1，则下列选项中正确的是A.xy≤3B.x2+y2≥C.(x+4)y的最大值为12D.8x+16y的最小值为12810.假设某种细胞分裂和死亡的概率相同，每次分裂都是一个细胞分裂成两个．如果一个种群从这样一个细胞开始变化，假设A为种群灭绝事件，S为第一个细胞成功分裂事件，F为第一个细胞分裂失败事件．若P(A)=p，则B.P(A|F)≠1C.P(A|S)=p2D.p≠111.若球C在四棱锥的内部，且与四棱锥的四个侧面和底面均相切，则称球C为四棱锥的“Q”球．在四棱锥P−ABCD中，AB=a，四边形ABCD为矩形，△PAD是边长为1的正三角形．若二面角P−AD−B的大A.当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变B.当a变化时，PB与平面PAD所成角的最大值为60∘C.当a=1时，四棱锥P−ABCD不存在“Q”球D.存在a，使得四棱锥P−ABCD有半径为的“Q”球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}为等差数列，a1=10，公差d=−3.若Cn=，则Cn的最小值为.13.已知w>0，函数f(x)=cos(2wx+在区间0,上单调递减，则w的最大值为.14.已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆+y2=1上三个不同的点(A,B,C依次逆时针排列).若∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘,则|OA|2+|OB|2+|OC|2的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，C.若点D在边BC上，∠ADB=2B，(1)求角A的大小；(ⅰ)求cosB的值；(ⅱ)求AD的长.16.(本小题15分)在三棱锥P−ABC中，△ABC与△PAC都是边长为6的等边三角形，PB=9.点D为PB的中点，点E在线段AB上，BE=2EA.(1)求证：PB⊥AC；(2)求DE的长(3)求直线DE与平面PAC所成角的正弦值.17.(本小题15分)已知a∈R，f(x)=ln(x+1)，g(x)=ax.(1)若a=−2，曲线y=f(x)上一点P处的切线与直线y=g(x)垂直，求点P坐标；(2)若g(x)≥f(x)恒成立，求a的值.18.(本小题17分)在平面直角坐标系中，点M到定点F(4,0)的距离与点M到直线l：x=1的距离之比为2，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点P(1,m)，m≠0，A，B为曲线C的左、右顶点．若直线PA，PB与曲线C的右支分别交于点D，E.(ⅰ)求实数m2的取值范围；EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(A),D)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(-),P)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up2147483643(-),P)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(B),E)的最大值.19.(本小题17分)设数列{an}的前n项和为sn，2sn=n2+5n.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=n⋅2n，求数列的前n项和Tn；答案和解析1.【答案】DEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)所以x=4，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)故选D.2.【答案】A故选A.3.【答案】B解：已知等式两边同时乘以3z−4，可得z−2=i(3z−4)整理得z−3iz=2−4i，得z(1−3i)=2−4i，所以则z的虚部为.故选B.4.【答案】D【解析】解：因为ξ∽B(n,)，所以故选D.5.【答案】A=tan即f(x)的对称中心(+kπ,0)，k∈Z，∴"x0=2kπ+，k∈Z"是“f的图象关于点(x0,0)对称的”充分不必要条件，故选A.6.【答案】C解：令A，则|AB|=y=，y′=，则k=，切线为y−y0=即2x0x−2py−x直线又与单位圆相切，则=1即p=当且仅当即y=3，即y0=时取“=n。故选C.7.【答案】B【解析】解：8个格子涂色，相邻都不涂红色，包含的情形如下：,8个格子都涂蓝色，共1个结果;,8个格子有7个格子涂蓝色有CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(7),8)=8个结果;,8个格子有6个格子涂蓝色，2个涂红色，红色不相邻，插空CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),7)=21个结果;4∘,8个格子有5个格子涂蓝色，3个涂红色，红色不相邻，插空CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(3),6)=20个结果;5∘,8个格子有4个格子涂蓝色，4个涂红色，红色不相邻，插空CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),5)=5个结果.故选B.8.【答案】D当=a2，即m=为定值lna2，则f关于对称.故选D.9.【答案】ABD x2+y2表示直线—1=0上的点与原点的距离，则距离的最小值B对；矛盾，C错；8x+16y≥223x故选ABD.10.【答案】AC【解析】解：对于A，显然正确.对于或由第一个细胞分裂失败，后面不会有新的细胞产生，故必然种族灭绝，B错.对于D，一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中每个细胞灭绝的概率均为p，:P=+p2→p2—2p+1=0，p=1，D错.对于=p2，C正确.故选：AC.11.【答案】ACD【解析】解：取AD中点为E，BC中点为F，连接PE、EF、PF，则EF//AB，EF丄AD，因为△PAD是等边三角形，所以PE丄AD，以点E为坐标原点，直线EF、ED分别为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，则A0,−,0)，Ba,−,0)，Ca,,0)，D0,,0)，P(,0,，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)设平面PAB的法向量为EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),n)-EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),1)=(x1,y1,z1)，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),n)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),1)设平面PAD的法向量为EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),n)-EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),2)=(x2,y2,z2)，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-),n)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),2)可知平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值不变，为，则当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变，故A正确；设PB与平面PAD所成角为θ,则当时，sinθ取得最大值显然θ的最大值大于60∘,故B错误；若四棱锥P−ABCD存在“Q”球，设球心为H，可知平面PAB与平面PCD关于平面PEF对称，根据对称性，球心H在平面PEF内，因为AD丄平面PEF，ADC平面PAD，所以平面PEF丄平面PAD，平面PEF丄平面ABCD，又平面PEF∩平面PAD=PE，平面PEF∩平面ABCD=EF，则点H到直线PE、PF的距离即为点H到平面PAD、平面ABCD的距离，可知点H在匕PEF的角平分线上，又匕PEF=60o，则匕HEx=30o，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),B)设平面PBC的法向量为EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),n)-EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),3)=(x3,y3,z3)，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-),n)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),3))，则点H到平面PAD和平面ABCD的距离为m，球的半径也为m，点H到平面PAB的距离为点H到平面PBC的距离为可得(8m3)a=43m(2m1)(*)，显然a=1和m=不同时满足等式(*)，即当a=1时，四棱锥P—ABCD不存在“Q”球，故C正确；即当时，存在正实数a满足等式(*)，故存在a，使得四棱锥P—ABCD有半径为的“Q”球，故D正确.【解析】解：由已知，得an=10+(n−1)(−3)=−3n+13，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(3n),3n)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(10),13)故答案为：−2.13.【答案】【解析】解：已知x∈[0,]，w>0，那么2wx∈[0,]，所以2wx+∈[,+].因为函数y=cost在[0,π]上单调递减，而函数f(x)=cos(2wx+)在[0,]上单调递减，所以[,+]⊆[0,π].由此可得不等式组则w的最大值为故答案为：.14.【答案】【解析】解：设|OA|=P1，|OB|=P2，|OC|=P3，C(P3cos(θ+240∘)，P3sin(θ+240∘))，+PEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up1(2),1)sin2θ=1PEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),3)cos2(θ+240∘)22∘ +PEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up1(2),1)sin2θ=1PEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),3)cos2(θ+240∘)22∘ sin2θ+sin2(θ+120∘)+sin2当且仅当时取“=”，应填：.15.【答案】解：(1)由条件得=1⇒sinsinB=sinsinB=2cosAsinB，∵sinB>0，∴cosA=；(ii)如图所示：由已知，sin∠ADB=sin2B=2sinBcosB=2×在△ABD中，由正弦定理⇒⇒AD=【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】解：(1)(1)取AC中点M，连接BM，PM，:AC丄平面PBM，“PBC平面PBM，如图建立空间直角坐标系.:P(—,0,)，B(3,0,0)，:D(,0,)，E(3,2,0)，设平面PAC的一个法向量EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),n)=(x,y,z)，设直线DE与平面PAC所成角为θ,【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】解：(1)因为f′(x)=，设点p(x0,ln(x0+1))，则点P处切线的斜率k=，由曲线y=f(x)上一点P处的切线与直线垂直，得=−1，所以x0=1，即点P坐标为(1,ln2)；(2)设ℎ(x)=g(x)−f(x)=ax−ln(x+1)，x>−1，因为g(x)≥f(x)恒成立，所以ℎ(x)≥0恒成立，x>−1，且ℎ(0)=0，当x∈(0,+∞)时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，与ℎ(x)≥0恒成立矛盾，11所以ℎ(x)在区间(−1,−1)上单调递减，ℎ(x)在区间(−1,+∞)上单调递增，当x∈(−1,0)时，ℎ(x)<