2024-2025学年高中数学课时分层作业1命题含解析新人教B版选修2-1

PAGE1-课时分层作业(一)命题(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句中，命题的个数为()①空集是任何非空集合的真子集．②起立！③垂直于同一个平面的两条直线平行吗？④若实数x，y满意x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．1B．2C．3D．4B[①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题．]2．下列命题属于假命题的是()A．若ac2>bc2，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若x∈R，则x2＋x＋1>0D．函数y＝sinx是周期函数B[|2|＝|－2|，但2≠－2，所以B项是错误的，故选B.]3．命题“梯形的对角线相互平分”的条件是()A．四边形是梯形 B．对角线C．相互平分 D．对角线相互平分A[命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线相互平分，所以该命题的条件是四边形是梯形，故选A.]4．下列命题中真命题的个数是()①平行于同一平面的两个不同的平面平行；②不等式x＋y－1>0表示的平面区域包含边界x＋y－1＝0；③方程x2＋y2＝3表示一个圆；④程序框图中，循环结构可以不含条件结构．A．1B．2C．3D．4B[①③是真命题，②④是假命题，故选B.]5．已知命题“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)C[因为“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4m<0，解得m二、填空题6．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．①等边三角形是等腰三角形；②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；③大角所对的边大于小角所对的边．①②③①[①是命题且是真命题；②是假命题，若两条直线斜率都不存在时，这两条直线平行；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的状况．]7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________，它是________命题(填“真”或“假”)．a＞0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)真[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]8．设a，b，c是随意的非零平面对量，且相互不共线．有下列四个命题：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中真命题是________．②④[①平面对量的数量积不满意结合律，故①假；②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；③因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－4b·b＝9|a|2－4|b三、解答题9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)实数的平方是正数；(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.[解](1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除，是真命题．(2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题．例如0的平方还是0，不是正数．(3)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．例如y＝4，x＝3也符合条件．10．已知：A：5x－1＞a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．[解]①若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>eq\f(1＋a,5)，则x＞1”，由命题为真命题，可知eq\f(1＋a,5)≥1，解得a≥4；②若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>eq\f(1＋a,5)”，由命题为真命题，可知eq\f(1＋a,5)≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可使得利用A，B构造的命题为真命题，例如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>eq\f(2,5)”．[实力提升练]1．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③D[如图1所示，α，β分别为正方体的上、下底面，明显图中的m∥α，n∥β，且α∥β，但m与n不平行，故①为假命题，可解除A，C.对于命题④，如图2所示，α为正方体的下底面，β为侧面，图中的m∥α，n⊥β，且α⊥β，但m与n不平行，故④为假命题，可解除B.故选D.]图1图22．对于下列四个命题：①若向量a，b满意a·b<0，则a与b的夹角为钝角；②已知集合A＝{正四棱柱}，B＝{长方体}，则A∩B＝B；③在平面直角坐标平面内，点M(|a|，|a－3|)与N(cosα，sinα)在直线x＋y－2＝0的异侧；④偶数的平方仍是偶数．其中真命题是________(将你认为正确的命题的序号都填上)．③④[命题①错误，当a与b反向时，也有a·b＜0；命题②错误，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形，所以A∩B＝A；命题③正确，