2024-2025学年高中数学第3章指数函数和对数函数3指数函数第2课时指数函数的图像和性质的应用学案北师大版必修1

PAGE7-第2课时指数函数的图像和性质的应用学习目标核心素养1.理解并驾驭指数函数的图像与性质．(重点)2．驾驭函数图像的简洁变换．(易混点)3．能运用指数函数的有关性质去探讨指数型函数的性质．(难点)1.通过函数图像的简洁变换，培育直观想象素养．2．通过运用指数函数的有关性质的应用，培育数学抽象素养.函数图像与性质的应用阅读教材P73从“问题提出”～P76“练习2”结束这部分内容，完成下列问题．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(a>0，左移a个单位长度),\s\do14(a<0，右移|a|个单位长度))y＝f(x＋a)．特征：左加右减；②上下平移：y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(b>0，上移b个单位长度),\s\do14(b<0，下移|b|个单位长度))y＝f(x)＋b.特征：上加下减．(2)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(关于x轴),\s\do14(对称))y＝f(－x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(关于y轴),\s\do14(对称))y＝－f(x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(关于原点),\s\do14(对称))y＝－f(－x)．(3)翻折变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(y轴左侧部分去掉，保留y轴右侧部分，把y轴),\s\do14(右侧部分以y轴为对称轴翻折到y轴左侧))y＝f(|x|)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(x轴下侧部分去掉，保留x轴上侧部分，把x轴下侧),\s\do14(部分以x轴为对称轴翻折到x轴上侧))y＝|f(x)|.思索：(1)如何由y＝2x＋1的图像通过变换得到y＝2x的图像？(2)2x肯定小于3x吗？[提示](1)先考虑由y＝2x的图像得到y＝2x＋1的图像，可向左平移1个单位长度；依据运动的相对性；由y＝2x＋1的图像得到y＝2x的图像，只需向右平移1个单位长度．(2)当x>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up20(x)<1，∴2x<3x；当x＝0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up20(x)＝1，∴2x＝3x，当x<0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up20(x)>1，∴2x>3x.1．函数y＝2|x|的图像是()B[y＝2|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x<0))，故选B.]2．2.3－0.28________0.67－3.1.(填“>”，“＝”，或“<”)<[2.3－0.28<2.30＝1＝0.670<0.67－3.1.]3．已知0.2x<25，则x的取值范围是________．x>－2[由0.2x<25，得5－x<52，∴－x<2，∴x>－2.]4．若2a>1，则a的取值范围是________．(0，＋∞)[y＝2x在R上为增函数，因为2a>1＝20，所以a>0.]与指数函数图像有关的图像变换【例1】已知f(x)＝2x，利用图像变换作出下列函数的图像．(1)f(x－1)；(2)f(x)－1；(3)f(－x)；(4)－f(x)．[思路探究]视察变换前后函数解析式之间的关系，确定变换的方法，再画出图像．[解](1)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(右移1个),\s\do14(单位长度))y＝f(x－1)，如图(1)．(2)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(下移1个),\s\do14(单位长度))y＝f(x)－1，如图(2)．(3)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(关于y轴),\s\do14(对称))y＝f(－x)，如图(3)．(4)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(关于x轴),\s\do14(对称))y＝－f(x)．如图(4)．1．平移规律分左、右平移和上、下平移两种，遵循“左加右减，上加下减”．若已知y＝ax的图像，把y＝ax的图像向左平移b(b>0)个单位长度，则得到y＝ax＋b的图像；把y＝ax的图像向右平移b(b>0)个单位长度，则得到y＝ax－b的图像；把y＝ax的图像向上平移b(b>0)个单位长度，则得到y＝ax＋b的图像；向下平移b(b>0)个单位长度，则得到y＝ax－b的图像．2．对称规律函数y＝ax的图像与y＝a－x的图像关于y轴对称；y＝ax的图像与y＝－ax的图像关于x轴对称；函数y＝ax的图像与y＝－a－x的图像关于坐标原点对称．1．函数y＝|2x－2|的图像是()B[y＝2xeq\o(→,\s\up7(下移2个单位长度))y＝2x－2eq\o(→,\s\up14(x轴上方的部分不变),\s\do14(x轴下方的部分翻折到x轴上方))y＝|2x－2|.故选B.]指数函数图像的应用【例2】探讨关于x的方程|2x－1|＝k解的个数．[思路探究]将其转化为函数y＝|2x－1|与y＝k交点的个数来求解．[解]函数y＝|2x－1|的图像如图：由图可知，当k<0时，方程无解；当k＝0或k≥1时，方程有唯一解；当0<k<1时，方程有两个解．1．(变条件)探讨关于x的方程|2|x|－2|＝k解的个数．[解]函数y＝|2|x|－2|的图像如图：由图可知，当k<0时，方程无解；当k＝0或k>1时，方程有两个解；当k＝1时，方程有三个解；当0<k<1时，方程有四个解．2．(变结论)函数y＝|2x－1|在区间(－∞，k]上单调递减，求k的取值范围．[解]函数y＝|2x－1|的图像如图：由图知，函数y＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]，∴(－∞，k]⊆(－∞，0]，∴k≤0.方程fx＝k解的个数可转化为函数y＝fx与y＝k交点的个数来求解.有几个交点就有几个解.指数函数性质的应用[探究问题]1．求不等式2x>1的解集．提示：2x>1，即2x>20，又y＝2x是R上的增函数，则x>0，所以，不等式2x>1的解集是(0，＋∞)．2．求不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(2x－1)>9－eq\f(x,2)的解集．提示：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(2x－1)>9eq\s\up18(-\f(x,2))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(2x－1)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(x)又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(x)是R上的减函数，则2x－1<x，解得x<1.所以，原不等式的解集为(－∞，1)．【例3】求不等式a5x>ax＋8(a>0，且a≠1)的解集．[思路探究]分a>1或0<a<1两种状况，分别依据指数函数的单调性去掉底数a.[解]当a>1时，由a5x>ax＋8，得5x>x＋8，解得x>2.当0<a<1时，由a5x>ax＋8，得5x<x＋8，解得x<2.综上所述，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|x<2}．解af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为：2．已知ax＋5>ax＋8，则a的取值范围是________．0<a<1[∵x＋5<x＋8，∴y＝ax是减函数，∴0<a<1.]1．比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn.2．指数型函数单调性的应用(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，假如两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；假如两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．(2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay⇔x>y；当0<a<1时，ax>ay⇔x<y.1．思索辨析(1)要得到函数y＝f(x＋1)的图像，需将函数y＝f(x)的图像向右平移1个单位．()(2)将函数y＝f(x)的图像向下平移1个单位，得到函数y＝f(x)－1的图像．()(3)函数y＝3x与y＝－3x的图像关于x轴对称．()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>bD[∵y＝0.8x是R上的减函数，∴0.80.7>0.80.9，即a>b.又1.20.8>1.20＝1＝0.80>0.80.7，即c>a，则c>a>b.]3．关于x的不等式(2＋a2)|x|<(2＋a2)2的解集是________．(－2,2)[∵2＋a2>1，∴y＝(2＋a2)x是R上的增函数，∴|x|<2，∴－2<x<2]4．在同一坐标系内，画出y＝0.5