专题训练：数列综合应用30题（解析版）

专题训练：数列综合应用30题1．（2023·河北·高二石家庄市第四中学校考期中）是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中最小的项．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，当时，，满足上式，所以.（2）,,当时,,即,所以;当时,,即,所以;所以列中最小的项为.2．（2023·山东·高二青岛二中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求的最小值，并指出取何时取得最小值.【答案】（1）；（2）的最小值为，对应或【解析】（1）设等差数列的公差为，依题意，，，解得，所以.（2）由，解得，所以当或时取得最小值，且的最小值为.3．（2023·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考期中）已知为等差数列，，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若为递增数列，，设的前项和为，求取最小时的值.【答案】（1），或，；（2）4【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，则，，∵，，成等比数列，∴，即，化简整理，得，解得，或，则当公差时，，，当公差时，，，∴，或，；（2）依题意，由等差数列为递增数列，可知，，则，故数列是以为首项，为公差的等差数列，∵等差数列的公差，∴数列是递增的等差数列，又，∴当时，前项和取得最小值，故取最小时的值为4.4．（2023·云南·高二下关第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且．（1）求证：是等比数列；（2）若，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）当时，，解得，当时，由，得，两式相减并整理得，即，∴是首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）可得：，，当时，，则，所以，，∴，所以.5．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知数列满足，，且当时，有，（1）求；（2）若数列中，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为当时，有，可知数列为等差数列，设公差为d，由题意可得：，解得，所以.（2）由（1）可得：，当时，则，即，且也满足上式，所以.6．（2023·湖南·高二校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，解得．当时，由，得，则，则．因为，所以，所以是以2为首项，4为公差的等差数列，则．（2）由（1）可知，则．7．（2023·福建·高二南平第一中学校考阶段练习）已知数列满足：.（1）求数列的通项公式．（2）记，数列的前项和．若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因为①，当时，，当时，有②，①②得：，所以，经检验符合上式，所以，，（2），所以，因为，所以不等式恒成立，则，解得：或.故实数的取值范围为.8．（2023·湖北黄石·高二校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，记数列的前项和为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）设已知数列的公差为d，依题意有，解得，，.（2）由（1）可得，，∴，，，，，累加相消得.故.9．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列为非零数列，且满足.（1）求及数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，且满足，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为①所以当时，，解得，当时，②，由①②得，即，又满足上式，所以.（2）证明：因为，所以.10．（2023·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期中）已知数列满足．（1）求的通项公式．（2）记，数列的前n项和为，是否存在实数m，使得数列为等差数列？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）①中，令得，，解得，当时，②，①-②得，，故，当时，，满足要求，综上，的通项公式为（2），，，假设存在实数m，使得数列为等差数列，故当时，，只有当，即时，为常数，其他值均不合要求，故当时，是等差数列.11．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）在数列中，且.（1）求的通项公式；（2）设，若的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由，两边同除以，可得，即，因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，可得，所以，即数列的通项公式为.（2）由，可得，所以数列的前项和为，因为，可得，即.12．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知为数列的前n项和，，.（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，若关于m的不等式恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，∴，两式相减得，又，符合上式，∴，，，∴是以5为首项，公比为2的等比数列，∴，∴；（2）法一：∴易得为递增数列，当时，有最小值.若关于m的不等式恒成立，则恒成立，解得.法二：，，则，为数列的前n项和，则数列为递增数列，当时，有最小值.若关于m的不等式恒成立，则恒成立，解得.13．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由得，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）知，，所以所以，.14．（2023·江苏盐城·高二响水中学校考期中）已知数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为数列的前项和满足，当时，，两式相减得：，即，当时，，解得：，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）可知：，所以，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，设，因为，所以单调递减，则，所以，则，所以实数的取值范围是．15．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）得，所以，所以.16．（2023·山西·高二大同一中校考阶段练习）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；；；（2）【解析】（1）由题意知显然为偶数，则，，所以，即，且，所以是以为首项，为公差的等差数列，于是，，．故数列的通向公式为.（2）由题意知数列满足，，，，所以．所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；由知数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列．从而数列的前项和为：.故的前项和为.17．（2023·山西吕梁·高二校联考阶段练习）在数列中，,对任意正整数（1）记,证明：为等比数列；（2）求的通项公式及其前项和．【答案】（1）证明见解析；（2），【解析】（1）因为，且，则，可得，且，可知，所以是以4为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）可得,所以，所以，又以为，则，所以，则，所以．18．（2023·江苏苏州·高二苏州实验中学校考阶段练习）设等比数列的首项为2，公比为，前项的和为，等差数列满足.（1）求；（2）若，，求数列前项的和.【答案】（1）或1；（2）【解析】（1）∵为等差数列，∴，而，，，∴，解得或1.（2）由（1），∵，∴，∴，，∴，当为奇数时，，，，当为偶数时，，，，∴，∴.19．（2023·甘肃定西·高二临洮中学校考期中）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，．（1）求和的通项公式；（2）设，（），求数列的前2n项和；（3）设（），求数列的前2n项和．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由题可知数列是公差为1的等差数列，且，则，解得，所以，设等比数列的公比为q，且，，则，解得，所以，所以和的通项公式为，（2）由（1）得为，则，所以数列的前项和（3）由（1）得为，，所以，因为当为奇数时，则，所以求列的前项和为故20．（2023·福建福州·高二闽侯县第一中学校考阶段练习）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前10项和.【答案】（1）；（2）50【解析】（1）证明：由知，由知：，∴数列是以512为首项，为公比的等比数列，∴，∴；（2）由（1）知，设的前项和为，，∴当时，，，故21．（2023·山西吕梁·高二校联考阶段练习）在等差数列中，是和的等比中项．（1）求的通项公式；（2）若，求的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设数列的公差为d,由，得,因为是和的等比中项，所以,化简，得,解得,或（舍），所以．（2）由（1）得，所以，两边同乘以，得，两式相减，得，所以．22．（2023·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，所以数列为等差数列，设数列的公差为，因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）由题意知，当为奇数时，；当为偶数时，，所以.23．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知非零数列满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意，且，且，所以，因为，所以，所以是首项为9，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，因为，所以，所以.24．（2023·河北沧州·高二吴桥中学校考阶段练习）已知数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）法一：因为，所以，所以，所以是常数列，所以，所以．法二：因为所以，①所以，②②-①，得，所以，所以是等差数列，由中令得，又，故，所以等差数列的公差，所以．（2），当为偶数时，．当为奇数时，，所以或.25．（2023·广东东莞·高二东莞中学松山湖学校校考期中）已知数列，满足，为数列的前项和，，（），记的前项和为，的前项积为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】（1）因为，，且，所以，又，所以，因为，所以．因为也适合，所以，所以．（2）由（1）代入得，，所以26．（2023·北京·高二校考阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的通项满足，求数列的前项和的最小值及取得最小值时的值；（3）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）当时，取的最小值；（3）【解析】（1）设等比数列的公比为q，且，则，解得，所以（2）因为，所以，所以，则当时，取的最小值（3）因为，由等差、等比求和公式得.27．（2023·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考阶段练习）设数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为数列的前项和为，且，，当时，，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，又因为，所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，所以，.（2）由（1）可得，所以，.28．（2023·河北·校联考模拟预测）已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意得，，，，解得（舍去）则，解得，所以.则，设等差数列的公差为，则，所以.（2）.所以，两式相减得，.29．（2023·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，由，得；当时，因为，所以，则，可得.故是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.（2），则，两边都乘以，得