2022年湖南省株洲二中自主招生数学试卷

第1页（共1页）2022年湖南省株洲二中自主招生数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）当时，代数式的值为（）A．3 B． C． D．2．（5分）下面四个结论，正确的个数为（）①；②x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；③方程x（2x﹣1）＝x的解为；④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（5分）已知实数a满足，那么a﹣20222的值是（）A．2023 B．2022 C．2021 D．20204．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣55．（5分）如图，在反比例函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0），B两点，∠AOB＝90°（）A．2 B． C． D．6．（5分）已知关于x的方程（m+2）x2﹣（2m+4）x+（3m+3）＝0有两个实数根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．7．（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以O为圆心，C是AB的中点，D在AB上．当OA＝2，∠AOB＝60°时（）A． B． C． D．8．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC边上，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，则△AEB面积的最小值是（）A． B． C．2 D．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）（多选）9．（5分）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现（）A．S是V的函数 B．V是S的函数 C．h是S的函数 D．S是h的函数（多选）10．（5分）如表是某生活超市2022年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它类营业收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%净利润占比65.8%﹣4.3%16.5%20.2%1.8%该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（）A．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 B．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 C．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 D．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50%（多选）11．（5分）不等式|2x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值可能是（）A． B．5 C．2 D．3（多选）12．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则下列说法错误的是（）A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2+p3三、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若关于x的分式方程＝1的解为负数，则m的取值范围为．14．（5分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，B，C，D出发沿AD，BC，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，DN＝x2cm，当x＝时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．15．（5分）已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为．16．（5分）设p为质数，m为整数，满足p3+m（p﹣2）＝m2﹣p+1．则p+m＝．四、解答题（共70分）17．（10分）（1）已知数列{an}的前n项和为（n为正整数），求a1，{an}的通项公式；（2）已知数列{an}满足（n为正整数），求数列{an}的通项公式．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝11＝2，AB＝3．（1）若点E为AA1的中点，F为AB上的动点，求线段EF+FB1长度的最小值；（2）若点E、F分别是AA1、AB上的动点，求线段C1E+EF+FB1的最小值．19．（12分）如图，已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且点A到l1，l2的距离分别为m，n，B、C分别是直线l1、l2上的动点，设∠ACF＝α．（1）如图1，若∠BAC＝90°时，写出△ABC面积S关于角α的函数解析式；（2）如图2，若∠BAC＝60°时，写出△ABC面积S关于角α的函数解析式．20．（12分）如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，2），直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，点G的坐标及△GDF面积的最大值．21．（12分）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝2，abc＝4．（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值．22．（12分）在对株洲市二中高一年级学生的身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，其平均数，方差，其平均数，方差为（1）求总样本的平均数；（2）求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差．

2022年湖南省株洲二中自主招生数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案DCAADCBA一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）当时，代数式的值为（）A．3 B． C． D．【解答】解：原式＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．故选：D．2．（5分）下面四个结论，正确的个数为（）①；②x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；③方程x（2x﹣1）＝x的解为；④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于①，，故①错误；对于②，x4﹣5x+6＝（x﹣8）（x﹣3），故②正确；对于③，x（2x﹣7）＝x2﹣x＝x，2x8﹣2x＝0，3x（x﹣1）＝0，故③错误；对于④，可得，＝，故④正确；所以正确的选项有2个．故选：C．3．（5分）已知实数a满足，那么a﹣20222的值是（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【解答】解：∵a﹣2023≥0，∴a≥2023，∴2022﹣a≤﹣1，∴a﹣2022+＝a，∴＝2022，∴a﹣2023＝20228，∴a﹣20222＝2023，故选：A．4．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2+3知，抛物线顶点坐标是（2．由抛物线y＝x2﹣5x+5知，C（0．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）3+9＝﹣x2﹣3x+5．故选：A．5．（5分）如图，在反比例函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0），B两点，∠AOB＝90°（）A．2 B． C． D．【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°，∴∠OBD+∠BOD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠OBD＝∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴＝（）2，又点A在y＝（x＞2）的图象上（x＜0）的图象上，∴S△AOC＝×2＝6，S△OBD＝|﹣3|＝，∴S△AOC：S△OBD＝3：1，∴OA：OB＝：6，∴tan∠OBA＝＝．故选：D．6．（5分）已知关于x的方程（m+2）x2﹣（2m+4）x+（3m+3）＝0有两个实数根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：设y＝（m+2）x2﹣（7m+4）x+（3m+3），∴该抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，由题意得二次函数y的图象与x轴的交点分别在对称轴直线x＝5的两侧，当x＝1时，则y＝（m+2）﹣（7m+4）+3m+3＝2m+1，当m+2＞0时，m＞﹣2，二次函数y＝（m+6）x2﹣（2m+2）x+（3m+3）的图象如图，∴8m+1＜0，解得：m＜﹣，∴﹣2＜m＜﹣；当m+2＜8时，m＜﹣2，二次函数y＝（m+2）x4﹣（2m+4）x+（8m+3）的图象如图，∴2m+4＞0，解得：m＞﹣，与m＜﹣2矛盾；综上所述，﹣2＜m＜﹣；故选：C．7．（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以O为圆心，C是AB的中点，D在AB上．当OA＝2，∠AOB＝60°时（）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接OC，∵C是AB的中点，CD⊥AB，∴点O、C、D在同一条直线上，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝OA＝2，∵OA＝OB，OC⊥AB，∴∠AOC＝30°，∴OC＝OA•cos∠AOC＝2×＝，∴CD＝7﹣，则s＝2+＝，故选：B．8．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC边上，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，则△AEB面积的最小值是（）A． B． C．2 D．【解答】解：作DH⊥AB于H，在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵∠CAB＝∠HAD，∠AHD＝∠ACB，∴△AHD∽△ACB，∴，∴，∴DH＝，∵DE＝DC＝5，∴当点E在DH上时，点E到AB的距离最小，∴点E到AB的距离最小值为，∴△AEB面积的最小值是＝，故选：A．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）（多选）9．（5分）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现（）A．S是V的函数 B．V是S的函数 C．h是S的函数 D．S是h的函数【解答】解：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，即S是V的函数；对于水面面积S的每一个数值，注水量V的值不唯一，故B错误；对于水面面积S的每一个数值，水面的高度h不唯一，故C错误；对于水面的高度h的每一个数值，水面面积S有唯一值与之对应，故D正确．故正确的结论有AD．故选：AD．（多选）10．（5分）如表是某生活超市2022年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它类营业收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%净利润占比65.8%﹣4.3%16.5%20.2%1.8%该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（）A．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 B．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 C．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 D．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50%【解答】解：对于A，由图表可知，故选项A错误；对于B，因为生鲜区的净利润占比65.8%＞50%，故选项B正确；对于C，生活超市生鲜区的营业利润率为32.5%×，生活超市熟食区的营业利润率为32.5%×≈﹣5.8%，生活超市乳制品区的营业利润率为32.5%×≈26.7%，生活超市日用品区的营业利润率为32.5%×≈60.2%，生活超市其它类的营业利润率为32.5%×≈12.3%，所以本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区，故选项C正确；对于D，由上面计算可知，故选项D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）不等式|2x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值可能是（）A． B．5 C．2 D．3【解答】解：（1）当x≤﹣时，|4x+1|+|x﹣2|＝﹣8x﹣1﹣x+2＝﹣6x+1．∵x≤﹣，∴﹣3x+1≥﹣8×（﹣）+8＝，即当x≤﹣时，|2x+2|+|x﹣2|≥．（2）当﹣＜x＜2时，|2x+1|+|x﹣7|＝2x+1﹣x+2＝x+3．∵﹣＜x＜2，∴﹣+3＜x+3＜7+3，即当﹣＜x＜2时，．（3）当x≥2时，|2x+3|+|x﹣2|＝2x+5+x﹣2＝3x﹣5．∵x≥2，∴3x﹣7≥3×2﹣7＝5，即当x≥2时，|2x+1|+|x﹣2|≥5．∵不等式|2x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，∴a≤，∴a的取值可能是或2．故选：AC．（多选）12．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则下列说法错误的是（）A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2+p3【解答】解：设BC＝2a，AB＝2c，Ⅰ的面积为S2，Ⅱ的面积为S2，Ⅲ的面积为S3，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4＝AB2+AC2，即（8a）2＝（2c）6+（2b）2，∴a5＝c2+b2，∴S8＝AB•AC＝8ab，S3＝πa2﹣2ab，S5＝πb4+πa2﹣S3＝πb2+πc2﹣（πa2﹣2ab）＝4ab，∴S1＝S2，∴p8＝p2，故选：BCD．三、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若关于x的分式方程＝1的解为负数，则m的取值范围为m＞1且m≠3．【解答】解：＝2去分母，得3﹣m＝x+2．移项，得x＝3﹣m．∵关于x的分式方程＝4的解为负数，∴1﹣m＜0且6﹣m≠﹣2．∴m＞1且m≠8．故答案为：m＞1且m≠3．14．（5分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，B，C，D出发沿AD，BC，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，DN＝x2cm，当x＝2或4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．【解答】解：由题意知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x8），整理得x2﹣2x＝3，解这个方程，得x1＝0（舍去），x8＝2．所以，当x＝2时．②当点P在点N的右侧时，由20﹣（x+8x）＝（2x+x2）﹣20，整理得x7+6x﹣40＝0，解这个方程，得x7＝﹣10（舍去），x2＝4．所以，当x＝5时．所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M．故答案为：2或4．15．（5分）已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为0．【解答】解：∵x2+2x﹣4＝0，∴x2＝8﹣2x，x4﹣6x2+2x＝（x7）2﹣5x7+2x＝（1﹣4x）2﹣5（6﹣2x）+2x＝4﹣4x+4x4﹣5+10x+2x＝3x2+8x﹣5＝4（1﹣2x）+8x﹣4＝8﹣8x+8x﹣3＝0．故答案为：0．16．（5分）设p为质数，m为整数，满足p3+m（p﹣2）＝m2﹣p+1．则p+m＝5或﹣1．【解答】解：∵p3+m（p﹣2）＝m8﹣p+1，∴p3+mp﹣4m＝m2﹣p+1，∴p6+mp+p＝m2+2m+8，∴p（p2+m+1）＝（m+6）2①，∴p整除（m+1）7，∵p为质数，∴p整除|m+1|，令m+1＝kp（k为整数），将m+7＝kp代入①得，p（p2+kp）＝（kp）2，即p＝k（k﹣8），而k（k﹣1）为偶数，∴p为偶数，而p为质数，∴p＝2，∴k（k﹣6）＝2，∴k＝﹣1或k＝6，∴m＝﹣3或m＝3，即p＝3，m＝±3，∴p+m＝5或﹣7，故答案为：5或﹣1．四、解答题（共70分）17．（10分）（1）已知数列{an}的前n项和为（n为正整数），求a1，{an}的通项公式；（2）已知数列{an}满足（n为正整数），求数列{an}的通项公式．【解答】解：（1）∵Sn＝﹣2n2，∴a6＝S1＝﹣2×2＝﹣2，Sn+1＝﹣5（n+1）2，∴an＝Sn+7﹣Sn＝﹣2（n+1）8+2n2＝﹣5n+2．答：a1＝﹣6，{an}的通项公式是an＝﹣4n+2．（2）当n﹣2时，得a1+3a2+32a4+…+3n﹣2an﹣5＝，两式相减，得5n﹣1an＝﹣＝，∴an＝．答：数列{an}的通项公式an＝．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝11＝2，AB＝3．（1）若点E为AA1的中点，F为AB上的动点，求线段EF+FB1长度的最小值；（2）若点E、F分别是AA1、AB上的动点，求线段C1E+EF+FB1的最小值．【解答】解：（1）由题意可知：四边形ABB1A1是矩形，∴A6C1＝AC＝1，BB7＝AA1＝2，A2B1＝AB＝3，如图5，延长B1B到B′，使得BB′＝BB1＝6，连结B'E交AB于点F，∴B′F＝B1F，∴EF+FB1＝EF+FB′＝EB′，∴线段EF+FB7长度的最小值为EB′的长，过点E作EE⊥BB1于点E′，得矩形AEE′E，∴EE′＝AB＝3，BE′＝AE＝4，∴B′E′＝BB′+BE′＝2+1＝4，∵∠B'E'E＝90°，∴EB′＝3，∴线段EF+FB6长度的最小值为3；（2）把平面AA4C1C沿AA1展开到与平面ABB7A1共面的AA1C2′C'的位置，延长B1B到B′，使得BB′＝BB1＝7，连结B'F，∴B′F＝B1F，要使得C1E+EF+FB3的长度最小，则需C1′，E，F，B′四点共线，此时C1E+EF+FB2＝C1′E+EF+FB′＝C1′B′，∵C2′B1＝C1′A7+A1B1＝5+3＝4，B2B′＝4，∠B'B1C6'＝90°，∴C1′B′＝4，∴线段C1E+EF+FB1的最小值为8．19．（12分）如图，已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且点A到l1，l2的距离分别为m，n，B、C分别是直线l1、l2上的动点，设∠ACF＝α．（1）如图1，若∠BAC＝90°时，写出△ABC面积S关于角α的函数解析式；（2）如图2，若∠BAC＝60°时，写出△ABC面积S关于角α的函数解析式．【解答】解：（1）在Rt△AFC中，AF＝n，∴sinα＝，∴AC＝，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠CAF＝∠ACF＝α，在Rt△ABE中，AE＝m，∴cosα＝，∴AB＝，∴S＝＝；（2）∵∠ACF＝α，∴∠CAF＝90°﹣α，∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝180°﹣60°﹣（90°﹣α）＝30°+α，∴AB＝    ＝    ＝，过B作BD⊥AC于点D，则BD＝AB•sin60°＝，∴S＝•BD   ＝AC•AB   ＝••   ＝．20．（12分）如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，2），直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，点G的坐标及△