2025年图伊迈达（Tuymaada）数学竞赛试题_第1页
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文档简介

题1.三角形数是指形如1+2+…+n的数，其中n为正整数，即1,3,6,10,...。求最大的非三角形正整数，满足该数不能表示为不同的三角形数之和。题2.我们称一个刺猬图为一个图中有一个顶点与其他所有顶点相连，且没有其他边；这个图的顶点数称为刺猬的大小。给定一个n个顶点的图G(其中n>1)。对于每条边e,我们用s(e)表示图G中包含该边的最大刺猬的大小。证明以下不等式(对所有边求和):跑。当运动员到达跑道的某一端时，立即转身并继续朝相反方向跑。一段时间后，三名运动员在起点相遇并结束训练。求最大的S,使得我们可以确定在某个时刻，三名运动员之间的两两距离之和至少为S。的外接圆上，且满足三角4×4的子棋盘，被标记的部分至少占子棋盘的一半。求整个棋盘中被标记的小方格的个数的最小值。的延长线与其外接圆相交于点N。为底边且顶角等于角ABC的等腰三角形BDC。证明CM⊥DN。证明f和g有一个共同的根。题8.一家玩具工厂生产几种粘土玩具。玩具被涂成k种颜色。一种颜色的多样性是指该颜色的不同玩具种类的数量。(例如，如果有5只蓝色的猫和7只蓝色的老鼠，且没有其他蓝色玩具，则蓝色的多样性为2。)涂色协议要求每种颜色都被使用，并且任意两种颜色的多样性不同。商店中的玩具可以按照协议涂色。然而，在涂色之前，一批粘土切布拉什卡玩具到达了商店(之前没有切布拉什卡玩具)。切布拉什卡的数量不少于任何其他种类玩具的数量。所有玩具(包括切布拉什卡)的总数至少为。证明现在可以将玩具涂成k+1种颜色，并符合协议要求。题2.奇普和戴尔在一个100×100的棋盘上玩游戏。开始时，棋盘左上角放置一个国际象棋的“王”。每一步玩家可以将“王”向右、向下或向右下对角线移动一格。玩家不能使用对手上一步移动的方向。奇普先手，无法移动的玩家输掉游戏。哪位玩家有必胜策略?题3.将所有完全平方数以及所有完全平方数乘以2所得的数按递增顺序排列成一个数列。设f(n)为该数列中的第n个数。(例如，f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=8。)是否存在一个整数n,使得以下所有数f(n)题4.给定三角形ABC。连接AB和AC上的旁切圆切点的线段与角C的平分线相交于点X。连接BC和AC上的旁切圆切点的线段与角A的平分线相交于点Y。证明XY的中点4×4的子棋盘，被标记的部分至少占子棋盘的一半。求整个棋盘中被标记的小方格的个数的最小值。注：本题目与初级组第5题相同。题7.给定两个具有实数系数的100次多项式f和g。对于

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