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文档简介

§3泰勒公式多项式函数是最简单函数.用多项一、带有佩亚诺型余项泰勒公式三、在近似计算中应用二、带有拉格朗日型余项泰勒公式要内容,也是数学研究课题之一.式来迫近普通函数是近似计算重返回第1页在处可导,当充分小时,能够由一次多项式近似地代替,其误差为.一、带有佩亚诺型余项泰勒公式问题:是否存在一个n次多项式使得第2页设则即第3页设f(x)在x0处n阶可导.称多项式为f(x)在点x0

n阶泰勒多项式,称为泰勒系数.则不难得到:第4页定理6.8设f(x)在x=x0处有n阶导数，则即第5页定理6.6则第6页也不能说明一定是f(x)n阶泰勒多项式.比如注1附近满足注2若f(x)在点x0有n阶导数,则只有惟一多项式(泰勒多项式Tn(x))满足:第7页注3能够证实对任意一个n次多项式存在使得这也就是说,是迫近最正确n次多项式.在以后应用中,公式(3)中x0常被取作0,形此式称为(带有佩亚诺型余项)麦克劳林公式.式变为第8页麦克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,苏格兰)

泰勒(Taylor,B.1685-1731,英国)

第9页例1验证以下公式第10页第11页例2求麦克劳林公式,并求例3求在点泰勒公式.解第12页利用泰勒公式来求极限.例4求解因为第13页所以第14页定理6.9(泰勒定理)若函数上存在直到n阶连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)阶导数,则或者其中阶泰勒多项式.泰勒公式二、带有拉格朗日型余项第15页定理6.5(柯西中值定理)设函数,在区间上满足:(i)f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续;(iii)(iv)则在开区间内必定(最少)存在一点,使得(ii)f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导;第16页证设不妨设上连续,在上可导,且第17页由柯西中值定理,得因为所以第18页为

f(x)在点x0

n阶拉格朗日型余项,公式(5)

于是就得到我们称称为

f(x)在点

x0带有拉格朗日型余项

n阶泰勒公式.第19页当时,公式(5)成为公式(6)称为带有拉格朗日型余项麦克劳林公式。第20页例5把例1中公式改写为带有拉格朗日型余项公式:第21页第22页于是第23页从而有第24页例5(1)计算e值,使其误差不超出(2)证实e是无理数.解由例5可知三、泰勒公式在近似计算中应用第25页于是下证

e是无理数.这是因为其误差不超出.第26页矛盾.所以e是一个无理数.那么不是整数.而由(7)式得到整数整数

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