湖南省益阳市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题 含解析

益阳市年下学期普通高中期末质量检测高二数学注意事项：､多项选择题､填空题和解答题四部分，共4页，考试用时分钟，满分分.答题前，考生务必将自己的姓名､考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置，请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据一般式中斜率的计算公式即可求解.【详解】的斜率为，故选：B2.过点且与直线平行的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】与直线平行的直线可设为，带点即可解出.【详解】设与直线平行的直线可设为，因为点在上，所以，所以方程为.第1页/共18页故选：A.3.已知两个向量，则的值是（）A.B.C.1D.5【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】根据可得，解得，故选：D4.已知等差数列的前项和为，则（）A.36B.64C.72D.88【答案】C【解析】【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.【详解】由可得，故，进而可得，故，故选：C5.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】根据渐近线的斜率为即可求解.【详解】由于双曲线的两条渐近线互相垂直，故渐近线的斜率为，即，故，故选：A第2页/共18页6.已知圆.过点的直线与交于的方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】当直线时，弦的长最短，利用即可求出直线的斜率.【详解】因为圆的半径为，设原点到直线的距离为，则有，可知当最大时弦的长最短，所以当直线时，弦的长最短，设直线的斜率为，则有，因，所以，所以，直线的方程为.故选：D.7.在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式.第3页/共18页【详解】因为为的中点，则，即，所以，，因为、分别为、的中点，同理可得，故选：C.8.已知点、及直线上有且仅有个点是直角三角形，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对各内角为直角进行分类讨论，分析可知直线与圆相切，结合点到直线的距离公式可求得的值.【详解】当为直角时，直线方程为，此时，直线与直线有一个公共点，当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，由题意可知，在直线上有且只有一个点，使得为直角，此时，，则点在以线段为直径的圆上，且该圆的圆心为原点，半径为，且圆的方程为，所以，直线与圆相切，直线的一般方程为，则，解得.第4页/共18页故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知直线，则（）A.的倾斜角为B.在轴上的截距为C.原点到的距离为1D.与坐标轴围成的三角形的面积为2【答案】ABC【解析】ABC到直线的距离公式求解；选项D，利用直线与坐标轴的围成面积求解即可.【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确；选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确；选项C：原点到的距离为，故选项C正确；选项D：与坐标轴围成三角形的面积为，故选项D错误.故选：ABC.10.已知数列的前项和为，且，则（）A.B.C.D.数列为等比数列【答案】AB【解析】【分析】因为，所以数列是等比数列，即可求出，利用分组求和即可求出，进而即可判断CD.【详解】因为，所以，所以数列是以首项为，第5页/共18页公比为2的等比数列，所以，故A正确；数列的前项和为，故B正确；因为，故C错误；令，所以数列为等差数列，故D错误.故选：AB.在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动点，则（）A.在线段上存在一点，使得B.三棱锥的体积为C.与平面所成角的余弦值的最小值为D.若平面，则平面与正方体的截面面积是【答案】BCD【解析】A角的正弦判断BC中点并作出过点垂直于该截面并求出面积判断D.【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，第6页/共18页则，设点，对于A，，当时，与不共线，当时，与不共线，因此不平行，A错误；对于B，，设平面的法向量为，则，令，得，点到平面的距离，，，则，，因此三棱锥的体积，B正确；对于C，，设与平面所成的角为，则，当且仅当时取等号，此时取得最小值，C正确；对于D，，取中点，过点的平面截正方体的截面为正六边形，，则，，于是，平面面与的交点为，因此平面，截面正六边形的面积为，D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.第7页/共18页12.已知两个向量，则__________.【答案】【解析】【分析】根据模长公式即可求解.【详解】,故答案为：13.已知圆，直线与交于两点，则的面积等于__________.【答案】【解析】【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可根据面积公式求解.【详解】的圆心为半径为，故圆心到直线的距离为，弦长，故，故答案为：14.已知双曲线的左右焦点分别为的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点与的内切圆的半径之和的最小值等于______.【答案】2【解析】【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得、，从而求得双曲线的方程，结合三角形内切圆第8页/共18页性质得，设直线的倾斜角为，则，进而求得，，最后利用基本不等式求解最小值即可.【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，所以，所以，，，双曲线的方程为：，如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设，，与圆分别相切于点，，，由切线长定理得，第9页/共18页而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，轴，所以的横坐标为，同理可求得的横坐标为，则，设直线的倾斜角为，由双曲线渐近线为，倾斜角分别为，要使直线与双曲线的右支交于两点，则，有，在，中，有，，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立．故答案为：的左右焦点分别为，则的内切圆圆心横坐标为，的内切圆圆心横坐标为.四､解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求；（2）若，记，求的值.【答案】（1）（2）【解析】第10页/共18页1）设等差数列公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2求和公式可求得的值.【小问1详解】设等差数列公差为，则，解得，.所以数列的通项公式是.【小问2详解】由题意知，则，数列是首项为，公比为的等比数列，又因为，所以，.16.已知抛物线的焦点为，点在上.（1）求焦点的坐标及的值；（2）设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程.【答案】（1）的坐标为，（2）【解析】1）根据焦点坐标即可求解，代入点到抛物线方程中即可求解，（2）设圆一般式方程，代入三点坐标即可求解.【小问1详解】由题意可得焦点的坐标为.点在上，.解得.第11页/共18页【小问2详解】由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知.设过三点的圆的方程为，代入点得，解得.所以，过三点的圆的方程为（或者）.17.如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点.（1）若，求证：平面；（2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）根据面面垂直可得线面垂直，进而可得，即可根据勾股定理求解长度证明，即可求解，（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解.【小问1详解】证明：正三棱柱平面平面.第12页/共18页为正三角形，为中点，.又平面平面平面.又平面，..所以，..又平面,故平面.【小问2详解】以为坐标原点，以及过点且垂直平面的垂线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，可取.设平面的一个法向量为，第13页/共18页则，可取.平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆过点，且的离心率为.（1）求的方程；（2）设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点.①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距；②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.【答案】（1）（2）①；②证明见解析【解析】1）代入坐标以及离心率公式即可联立方程求解，（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式列出方程，求解即得在轴上的截距；根据斜率公式化简，将韦达定理代入计算即可求得定值.【小问1详解】由题意可知解得.第14页/共18页故的方程为.【小问2详解】①由题意知.则直线的方程为.设平行于直线的直线的方程为.联立，消去得：.，解得：.设与椭圆的交点坐标为，..又直线与直线的距离，由于以线段为直径的圆与直线相切，则，即.解得.经检验：，故在轴上的截距为；②由第15页/共18页.为定值.【点睛】关键点点睛：以线段为直径的圆与直线相切，则，根据求出的值即得；对于定值问题，一般需要等价转化，利用韦达定理代入，推理计算可得.19.若各项均为正整数的数列，对任意的，均有成立，则称数列为“下凸正整数数列”.（1）若数列是“下凸正整数数列”，求出所有的数对；（2满足，且是否为“下凸正整数数列”，并说明理由；（3）已知“下凸正整数数列”中，，，，，求的最大值.【答案】（1）、（2）是，理由见解析（3）【解析】第16页/共18页1、的取值范围，求出正整数值，进而可得出正整数的值，即可得出数对；（2）由已知化简得出，利用累加法求出数列的通项公式，再结合题中定义验证即可得出结论；（3）由“下凸正整数数列”的定义可得出，可得出用累加法结合不等式的基本性质可得出解不等式，可得出，然后取，验证，即可得出结果.小问1详解】因为数列为“下凸正整数数列”，则，所以，，可得，又、，当时，或，当时，不符合题意.即所求的数对有、.【小问2详解】数列是“下凸正整数数列”，理由如下：因为，所以，.对任意的，所以，，即，且.则当时，，，，，，累加得，则，也满足，故对任意的，.①由可知