湖南省邵阳市2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题 含解析

年邵阳市高三第一次联考试题卷数学本试卷共4页，个小题满分分考试时间分钟.注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名，班级，考号填写在答题卡上将条形码横贴在答题卡上条形码粘贴区作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上.位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效.保持答题卡的整洁考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再应用交集的定义计算即可.【详解】因为集合，集合，则.故选：B.2.已知向量，，与的夹角为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第1页/共20页【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果.【详解】根据向量数量积公式.先求，.再求..所以.根据三角函数诱导公式，所以.故选：C.3.已知复数满足：（，i（）A.5B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简，再利用复数的除法求得复数，从而求出其模长.【详解】∵，∴，∴，∴.故选：C.4.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件结合函数的不等式求解即可.【详解】绘制出的图像，第2页/共20页当时，，当时，.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件能够中奖的产品.若从一箱中随机抽出2件，能中奖的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用组合数求出基本事件数和符合条件的事件数，再结合古典概型公式求解即可.【详解】基本事件共有件，符合条件的有件，且设中奖为事件，即，故B正确.故选：B6.经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果.【详解】，，∴，即，，∴，第3页/共20页联立方程组得，整理得，设，，∴，，.故选：A.7.定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小.【详解】若，，，，构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.第4页/共20页所以，，，，根据单调性有，所以，故选：B.8.已知函数在区间上有且仅有4的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解.【详解】，令，得，.令，由的图象得：，化简得.故选：D.第5页/共20页36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.决定系数越小，模型的拟合效果越好B.若随机变量服从两点分布，，则C.若随机变量服从正态分布，，则D.一组数（）的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大【答案】BC【解析】ABC反例判断D即可.【详解】由决定系数性质得，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A错误，若随机变量服从两点分布，，则，故B正确，若随机变量服从正态分布，，由正态分布性质得，故C正确，我们令，，此时平均数，方差为，插入一个数，此时平均数为，方差为，方差显然变小了，即再插入一个数，则这个数的方差不可能变大，故D错误.故选：BC第6页/共20页10.已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（）A.B.当时，的最小值为C.点到直线的距离的最小值为2D.当时，直线ON的斜率的最大值为【答案】ABD【解析】ABCD抛物线上任意一点的坐标为，将几何问题转化为代数问题进行计算求解.【详解】根据抛物线的定义，的准线为，由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确；对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为，对于B选项，当时，；当时，当且仅当时，等号成立.选项B正确；对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：第7页/共20页到直线的距离，当时，.选项C错误；对于D选项，可根据向量共线作出示意图：根据定义求出抛物线的焦点，由得，当时，；当时，，当且仅当时，等号成立.选项D正确.故选：ABD已知函数，，则下列结论正确的是（）A.当时，为奇函数B.的图象关于直线对称C.当时，，D.若，，则【答案】ACD【解析】ABCD.第8页/共20页【详解】对于A，当时，，，函数是奇函数，A正确；对于B，，B错误；对于C，当时，，，C正确；对于D，由，得，令，，而，，且均在时取等号，则，，因此，D正确.故选：ACD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.若等比数列满足：，，则数列的公比______.【答案】【解析】【分析】由结合已知条件可求得的值.【详解】因为等比数列满足：，，则，解得.故答案为：.13.某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有______（请用数字作答）第9页/共20页【答案】96【解析】【分析】可采用间接法或直接法来求解不同的选取方法数.【详解】方法一：间接法先求出从名男生和名女生共人中选人担任学科代表的所有情况，再减去所选人都是女生的情况，即可得到至少有名男生的情况.从个不同元素中取出个元素的排列数记为，其计算公式为.从人中选人进行全排列，安排到数学、物理、化学三个学科，方法数为种.从名女生中选人进行全排列，安排到三个学科，方法数为种.用总的选法数减去人都是女生的选法数，可得至少有名男生的选法有种.方法二：直接法分两种情况讨论：选名男生名女生和选名男生名女生，然后分别计算这两种情况的选法数，最后将它们相加.情况一：选名男生名女生从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种，然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种.根据组合数公式，可得，.则这种情况下的选法有种.情况二：选名男生名女生从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种，然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种.第10页/共20页，.则这种情况下的选法有种.将两种情况的选法数相加，可得至少有名男生的选法有种.故答案为：14.已知在棱长为3的正方体中，点是底面ABCD内的动点，点为棱BC上的动点，且，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由正切函数定义结合几何位置关系，得到，结合解析几何中的圆的知识，得到三点共线时，取得最小值，得到结果.，.又，.，，，设点.，化简得：（，）则圆心为，，点关于BC的对称点.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）第11页/共20页15.已知在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，点D在边BC上，且，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】1）根据余弦定理可求；（2）根据角的关系可得，求出后者后可得比值.【小问1详解】，.即.由正弦定理得：，，，.【小问2详解】易知，，，，，，..的值为.第12页/共20页16.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得到切线方程即可；（2）利用给定条件求出，再转化为交点问题求解即可.【小问1详解】由题意知，，令，则，.故，，即切点为，所求切线方程为，即.【小问2详解】由题意得，当时，，故函数没有零点；当时，令，得.令，则，，因为有2个零点，所以和有2个交点，令，.令，得.当时，，单调递增；第13页/共20页当时，，单调递减.，当时，；当时，；当时，；当时，且.实数的取值范围为.17.中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）.【解析】1）求出，即可得到，结合，即可得到，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，即可证明；（3与平面所成角为求出，再根据二次函数的性质求出的最大值.【小问1详解】，，所以又，，第14页/共20页又，，，.【小问2详解】在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，.，，，设为平面的一个法向量，令，得，.设平面的一个法向量，则，取.，又平面与平面不重合，平面平面.【小问3详解】当时，为平面的一个法向量，，则，设，第15页/共20页，，设直线与平面所成角为，，当且仅当时，等号成立，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.18.已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上.（1）求的方程；（2直线与C相交于FGE与点F关于EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点距为，求.【答案】（1）（2）直线EG过定点.（3）.【解析】1）设出方程带入点，得到方程.（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程再进行联立，再易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为，最后得到过定点.（3）考虑子圆，两圆的圆心之间的距离，最后得到答案.【小问1详解】第16页/共20页设双曲线的方程为，将点代入得，即，双曲线的方程为【小问2详解】当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，.由消去整理得，依题意得：，且，即且，，.易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为.令，得.直线EG过定点.当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点，综上，直线EG过定点.【小问3详解】考虑以为圆心的“子圆”，由的方程与的方程消去，得关于的二次方程.第17页/共20页依题意，该方程的判别式，.对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上，设，，的半径分别为，，不妨设，的圆心分别为，.则，.两式相减得：，而，.，整理得：.，点.，故.19.已知正项数列（）的前项和为，且.当时，将进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，）.（1）当时，写出所有满足的数列；（2）试判断数列是否为等差数列，并加以证明；（3）当时，数列满足：是公差为且（且）的等差数列，求公差.【答案】（1）2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.第18页/共20页（2）不可能是等差数列，证明见解析（3）.【解析】1以及和或的条件来确定数列.（2）根据等差数列的定义判断数列是否为等差数列.（3范围，再根据是公差为的等差数列，求出，得到满足题意的.【小问1详解】，①当时，，即，.当时，，②由①－②得：，即.，，，即.数列是以1为首项，1为公差的等差数列..由题意可得当且的数列为：2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.【小问2详解】数列不可能为等差数列，证明如下：假设