北师大版八年级数学上册勾股定理《一定是直角三角形吗》示范课教学课件

一定是直角三角形吗第一章勾股定理八年级数学上册•北师大版……美丽的勾股树按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？

古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。情景导入345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?324252+=思考探究，获取新知下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c5、12、137、24、258、15、17思考：1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？

2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，他们都是直角三角形吗？

3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形吗？实验结果：

①5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;②7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;③8,15,17满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形.思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.有同学认为测量结果可能有误差,不同意这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给出一个更有说服力的理由吗?△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如图，△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′证明结论简要说明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,连接A1B1.在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2.∴A1B1=AB，∴△ABC≌△A1B1C1.（SSS）∴∠C=∠C1=90°，∴△ABC是直角三角形.acbACBbaC1MNB1A1定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：

一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数.因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.勾股数拓展性质的证明：（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数.因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数.4351312ABCD例1

一个零件如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，这个零件符合要求吗？4351312ABCD

解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.同理，△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.例2

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，

b=14，

c=15;解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.(3)a:b:c=3:4:5;解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.

根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳变式1：

已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.先确定AB、BC、AC、的大小变式2：

若三角形ABC的三边a,b,c

满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3,b=4,c=5即a2+b2+c2.∴△ABC直角三角形.1.判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。解：∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴这个三角形是直角三角形练一练(3)a=1b=2c=_________;2.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=9001.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积.拓展练解：如图，连接BD.在Rt△ABD中，在△BCD中，BD2+BC2=52+122=132=CD2.∴△BCD为直角三角形，∠DBC=90°.2.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD.求证∠AEF=90°.证明：设CF=x，则EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，AF2=AD2+DF2=25x2，∴EF2+AE2=25x2=AF2.由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.夯实基础1.小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，三条能够刚好做成的是（）A.3cm，4cm，7cm B.6cm，8cm，12cmC.7cm，12cm，15cm D.8cm，15cm，17cmD课堂训练2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论不正确的是（）A.如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2∶b2∶c2=9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形B3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a-b）=c2，则（）A.∠A为直角 B.∠C为直角C.∠B为直角 D.不是直角三角形A4.有四个三角形，分别满足下列条件：①其中一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3∶4∶5；③三边之比为5∶12∶13；④三边长分别为5，24，25.其中直角三角形有()A.1个B.2个C.3个D.4个B5.一个三角形的三边长分别是5,12,13，则这个三角形的面积是（）A.30B.60C.78D.不能确定6.一个三角形的三边长的平方分别为