八年级下册《菱形》课件与练习

第十八章

平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第1课时

菱形的性质学习目标1.经历平行四边形的变化过程,观察菱形的本质属性,培养学生的数学抽象能力.2.经历探索菱形性质的过程,掌握菱形的性质,培养学生的逻辑推理能力.学习重点：菱形的定义及性质.学习难点：菱形性质的应用.学习重难点回顾复习思考：回顾矩形与平行四边形的区别与联系.矩形的性质有哪些？矩形的性质与判定有什么联系？思考还有没有特殊的平行四边形？从哪方面入手研究？导入新课观察下列图片中抽象出来的图形，它们有什么共同特征？探究新知学生活动一【一起探究】有一组邻边相等定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.平行四边形“导入新课”中的图形叫做菱形，你能试着给菱形下一个定义吗？菱形探究新知学生活动二【探究性质】思考：平行四边形的性质菱形具有吗？为什么？菱形还有它特殊的性质吗？从哪几个方面进行研究？菱形具有平行四边形的所有性质.菱形的特殊性质可以从边、对角线两个方面来考虑.探究新知猜想:1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.思考:如图,观察图形,猜想菱形的边、对角线有哪些特殊的性质.探究新知已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O.求证:(1)AB=BC=CD=DA；证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AD=BC.∵AB=AD,∴AB=BC=CD=DA.探究新知(2)AC⊥BD;证明:∵四边形ABCD是菱形,∴BO=DO.∵AB=AD,∴AC⊥BD.探究新知(3)∠BAO=∠DAO=∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO.

证明:

∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO,BO=DO,∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC.∵AB=BC=CD=DA,∴∠BAO=∠DAO=∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO.

探究新知你能用三种语言表达菱形的边和对角线的性质吗？文字语言菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角图形语言符号语言∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∠BAO=∠DAO,∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO,∠ADO=∠CDO

探究新知学生活动三【应用性质】例1如图,菱形ABCD的周长为16cm,∠ABC=120°.求对角线BD和AC的长.

探究新知例2

如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.

探究新知归纳菱形的面积公式：（1）底×高;（2）对角线乘积的一半.探究新知

D拓展应用

B拓展应用

B拓展应用3.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=6cm,BD=8cm,AE⊥BC,垂足为E,求AE的长.

回顾反思1.在探寻菱形的定义及性质时，你经历了怎样的研究过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？2.请预测菱形后续还会研究哪些内容？怎样研究？当堂训练1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是()A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等C.对角线互相平行D.对角线互相垂直D当堂训练2.如图,四边形ABCD是菱形,A,B两点的坐标分别为(0,4),(-3,0),则点D的坐标为

,点C的坐标为

.（-3,-5）（0,-1）当堂训练3.如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证:CE=CF.证明:如图,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠DAB

，∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF.当堂训练4.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=BC,连接CE.(1)求证:BD=EC.证明:在菱形ABCD中,AB∥CD,即BE∥CD,BC=CD,∵BE=BC,∴BE=CD.∴四边形BECD为平行四边形.∴BD=EC.当堂训练(2)求证:S菱形ABCD=S△AEC.证明:由题意易知S△ADC=S△ABC=S△BEC.∵S菱形ABCD=S△ADC+S△ABC,S△AEC=S△ABC+S△BEC,∴S菱形ABCD=S△AEC.1.有一组邻边

的平行四边形叫做菱形.2.菱形的四条边都

.3.菱形的两条对角线

,并且每一条对角线

一组对角.4.菱形的面积公式:(1)

;(2)

.知识梳理相等相等互相垂直平分对角线乘积的一半底×高课后作业

D课时学业质量评价A3.如图,菱形ABCD中,∠D=140°,则∠1的度数是(

)A.10° B.20° C.30° D.40°4.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长是

.B52证明:∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴∠BEC=∠DFC=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,BC=CD.∴△BEC≌△DFC(AAS).∴CE=CF.5.已知在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F.(1)求证:CE=CF;

(2)若E是边AB的中点,AE=2,求CE的长.第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形《第1课时菱形的性质》同步练习菱形的概念1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,则四边形ODEC是

.

菱形基础通关菱形的四条边相等2.【原创题】如图,已知菱形ABCD的周长为20cm,对角线AC,BD相交于O点,∠CBA=120°,DH⊥AB于点H,连接OH,则OH的长为

cm.

2.53.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.(1)求证:AE=AF;证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D,又∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE=AF.(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.解:∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°.∵∠B=60°,∴∠BAD=120°.又∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°.由(1)知,△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°.

∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.∵AE=AF,∴△AEF等边三角形.∴∠AEF=60°.

D5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为

.

6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.求证:(1)△ADE≌△CDF.

求证：(2)ME=NF.

菱形的面积公式7.如图,将矩形ABCD对折,使边AB与DC,BC与AD分别重合,展开后得到四边形EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为 (

)A.2 B.4 C.5 D.6B8.[教材第57页练习第2题改编]已知菱形的周长为8,一条对角线的长为2,则菱形另一条对角线的长为

,菱形的面积为

.

9.如图,菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,若AC=12,菱形ABCD的面积为96,EO∥AD,则EO的长为 (

)A.6 B.5 C.10 D.8能力突破B10.【易错题】如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心、AC长为半径画弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是

.

10°或80°

(2)求证:四边形BEFD是矩形;证明:∵CE=CD,CF=BC,∴四边形BEFD是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,∴BF=DE.∴四边形BEFD是矩形.(3)四边形BEFD的周长为

.

12.

在菱形ABCD中,∠ABC=60°中,P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随点P的位置变化而变化.(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE.①BP与CE的数量关系是什么?请写出结论并证明.素养达标解:BP=CE.证明:如图所示,连接AC.∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AB=AC,∠BAC=60°.∵△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°.∴∠BAP=∠CAE.∴△ABP≌△ACE(SAS).∴BP=CE.②CE与AD的位置关系是什么?请写出结论并证明.

(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理).解:(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD

仍然成立.选择题图3进行证明.证明:如图所示,连接AC,设CE交AD于点H.∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴△ABC和△ACD都是等边三角形.∴AB=AC,∠BAD=120°,∠BAP=120°+∠DAP.∵△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°.∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP.∴∠BAP=∠CAE.∴△ABP≌△ACE(SAS).∴BP=CE,∠ACE=∠ABD=30°.∴∠DCE=30°.∵∠ADC=60°,∴∠DCE+∠ADC=90°.∴∠CHD=90°.∴CE⊥AD.∴(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD

仍然成立.第十八章

平行四边形18.1特殊的平行四边形18.2.2菱形第2课时

菱形的判定学习目标1.经历探索菱形判定定理的过程,掌握菱形的判定定理,培养学生的合情推理与演绎推理的能力.2.通过对比平行四边形、矩形判定的学习方法,体会证明过程中类比、转化、由一般到特殊的数学思想方法,发展学生的数学思维.学习重点：菱形的判定定理.学习难点：菱形判定定理的应用.学习重难点回顾复习思考:回顾平行四边形、矩形的判定定理是怎样研究的.平行四边形及矩形的性质与判定有什么联系？菱形有哪些性质？如何研究菱形的判定？说一说你的研究思路.导入新课思考：你知道的判定菱形的方法是什么？菱形还有其他的判定定理吗？根据你的经验作出猜想.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.探究新知学生活动一【一起探究】菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分

一组对角.请写出上述定理的逆命题，并对菱形的判定提出猜想.探究新知1.菱形的性质1：菱形的四条边都相等.条件

结论逆命题：四条边相等的四边形是菱形.条件结论探究新知猜想：四条边相等的四边形是菱形.请画图验证上述猜想.发现:如图,作AB=BC=CD=AD,得到的四边形ABCD是菱形.探究新知证明:四条边相等的四边形是菱形.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.

求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.

∵AD=AB,∴▱ABCD是菱形.探究新知由此可得菱形的判定定理1:四条边相等的四边形是菱形.你能用三种语言表达这一判定定理吗？1.文字语言：四条边相等的四边形是菱形.2.图形语言：3.符号语言：∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形.探究新知2.菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直.条件

结论逆命题：两条对角线互相垂直的（平行）四边形是菱形.条件结论探究新知猜想：两条对角线互相垂直的四边形是菱形.请画图验证上述猜想.发现：如图,AC⊥BD,但四边形ABCD不是菱形,故上述猜想错误.再次猜想：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.探究新知证明:∵在▱ABCD中,AO=CO,且AC⊥DB.∴AD=CD.∴▱ABCD是菱形.证明:两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,

AC⊥DB.求证:▱ABCD是菱形.探究新知由此可得菱形的判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能用三种语言表达这一判定定理吗？1.文字语言：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.图形语言：3.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AC⊥BD，

∴▱ABCD是菱形.

探究新知3.菱形的性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角.条件

结论逆命题：每一条对角线平分一组对角的（平行）四边形是菱形.条件结论探究新知猜想：1.一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.2.每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.请独立证明上述猜想？探究新知证明：1.一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.已知:如图,在▱ABCD中,AC平分∠DAB和∠DCB.求证:▱ABCD是菱形.证明:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC.∴∠BAC=∠DCA.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠DCA.∴AD=CD.∴▱ABCD是菱形.探究新知证明：2.每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.已知:如图,在四边形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.求证:四边形ABCD是菱形.

探究新知思考：上述猜想是真命题，为什么没有作为判定定理？“一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形”用来证明菱形可以通过角平分线+平行证邻边相等,从而转化成为有一组邻边相等的平行四边形是菱形,于是没有出现这个定理的必要;而“每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形”证明时需要4对角相等,用起来不方便,所以没有作为定理出现.探究新知归纳判定菱形的方法：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边相等的四边形是菱形；3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.探究新知学生活动二【应用判定】例

如图,▱ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.求证:▱ABCD是菱形.证明:∵AB=5,AO=4,BO=3,∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形.拓展应用1.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且点O是BD的中点,若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为(

)

A.40B.24 C.20 D.15B拓展应用2.已知:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求证:四边形AEDF是菱形.证明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.∴∠1=∠3.又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴AE=DE.∴四边形AEDF是菱形.拓展应用3.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形．证明:∵AB∥CD,∴∠CAB=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠CAB=∠DAC.∴∠DCA=∠DAC.∴CD=AD=AB.

∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.拓展应用

回顾反思1.在探寻菱形的判定定理时，你经历了怎样的研究过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？2.矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形是平行四边形角特殊的情况，菱形是平行四边形边特殊的情况，那么还需要考虑平行四边形对角线特殊的情况吗？为什么？平行四边形能否存在边和角同时特殊的情况呢？将要怎样研究呢？当堂训练1.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(

)A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CDB当堂训练2.如图,将▱ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处,则下列结论不一定成立的是(

)A.AF=EFB.AB=EF

C.AE=AFD.AF=BEC当堂训练3.如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是(

)A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形D当堂训练4.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是________(只填写序号).③当堂训练5.如图,在矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形；

当堂训练(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形？请说明理由．解:当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形．理由:∵BE平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABE=60°,∠EBD=∠ABE=30°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∴∠EDB=90°-∠ABD=30°.∴∠EDB=∠EBD=30°.∴EB=ED.又∵四边形BEDF是平行四边形,∴四边形BEDF是菱形．1.定义法:有一组邻边

的

是菱形.2.对角线

的

是菱形.3.四条边

的

是菱形.知识梳理相等平行四边形互相垂直平行四边形四边形相等课后作业1.如图,添加一个数据使四边形ABCD是菱形,下列选项中正确的是(

)A.AB=6

B.BC=6

C.AB=5

D.CD=62.下列关于菱形的说法,正确的是(

)A.四个角相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线相等的平行四边形是菱形C课时学业质量评价C3.如图,在△ABC中,D为BC上一点,DE∥AB,DF∥AC.增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是(

)A.点D在∠BAC的平分线上 B.AB=ACC.∠A=90° D.D为BC的中点4.如图,已知∠A,以点A为圆心、恰当长为半径画弧,分别交AE,AF于点B,D,继续分别以点B,D为圆心、线段AB长为半径画弧交于点C,连接BC,CD,则所得四边形ABCD为菱形,判定依据是

.A四条边都相等的四边形是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.5.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.(1)求证:AC⊥BD;

第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形《第2课时菱形的判定》同步练习定义法1.问题背景:如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形.讨论交流:小明说:“若AB=AC,则四边形ADCE是矩形.”小强说:“若∠BAC=90°,则四边形ADCE是菱形.”下列说法正确的是 (

)

A.小明不对,小强对 B.小明对,小强不对C.小明和小强都对 D.小明和小强都不对C基础通关

菱12对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.在数学课上,老师提出问题:如图1,将锐角三角形纸片ABC(BC>AC)经过两次折叠,得到边AB,BC,CA上的点D,E,F,使得四边形DECF恰好为菱形.小明给出的折叠方法:如图2,①AC边向BC边折叠,使AC边落在BC边上,得到折痕CD交AB于点D;②C点向AB边折叠,使点C与点D重合,得到折痕EF交BC边于点E,交AC边于点F.老师说:“小明的作法正确.”请回答:小明这样折叠的依据是①

是平行四边形;②

是菱形.

对角线互相平分的四边形对角线互相垂直的平行四边形4.如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.(1)证明:△BOF≌△DOE;

(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.证明:∵△BOF≌△DOE,∴ED=BF.又∵ED∥BF,∴四边形EBFD是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形.

D∠B=60°7