河北省部分学校2023-2024学年高三上学期摸底考试数学试题

2023——2024学年河北省部分学校高三摸底考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，，则集合为A. B. C. D.2.已知直线、、与平面、，下列命题正确的是A.若，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为A. B. C. D.4.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为A. B. C. D.5.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为A. B. C. D.6.已知圆：，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则A. B. C. D.7.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为A.3.5 B.4 C.4.5 D.58.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：.已知点在圆：上，点在直线：上，则的最小值为A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。9.设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有A. B. C. D.10.已知二项展开式，下列说法正确的有A.的展开式中的常数项是56B.的展开式中的各项系数之和为0C.的展开式中的二项式系数最大值是70D.，其中为虚数单位11.在中，若，则A.对任意的，都有 B.对任意的，都有C.存在，使成立 D.存在，使成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知单位向量，满足，则______.13.定义两个点集、之间的距离集为，其中表示两点、之间的距离，已知，，，若，则的值为______.14.已知：，过点倾斜角为的直线交于、两点（在第一象限内），过点作轴，垂足为，现将所在平面以轴为翻折轴向纸面外翻折，使得，则几何体外接球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值.16.（15分）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）令，为数列的前项积，证明：.17.（15分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次.记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为.（1）证明：；（2）某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由.18.（17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直.（1）若，求异面直线和所成角的余弦值；（2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19.（17分）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.（1）判断函数，是否具有性质；（直接写出结论）（2）已知函数，判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.

2023—2024学年河北省部分学校高三摸底考试数学试题评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.C2.D3.A4.B5.D6.A7.D8.D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。9.BD10.BC11.AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12. 13. 14.四、解答题：本题共5小题，共77分。15.解：（1）的定义域为，当时，，当，解得：，当，解得：.∴在上为增函数；在上为减函数；（2）的定义域为，当时，令，得，令时，得，∴的递增区间为，递减区间为，.16.解：（1）由是首项为、公差为的等差数列，故，即，当时，，故，当时，，符合上式，故；（2）由，故，则，由，故，则.17.解：（1）由题意，故，，分布列如下：12345678所以的数学期望，记，作差可得，，则（2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元，18.解：（1）由椭圆的定义知：，所以的周长，所以，又椭圆离心率为，所以，所以，由题意，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为；（2）①由直线：与，联立求得，（因为点在轴上方）以及，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.记异面直线和所成角为，则；②设折叠前，，折叠后，在新图形中对应点记为，，，，由，，故，将直线方程与椭圆方程联立，得，，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系，，所以，（i）又所以，（ii）由（i）（ii）可得，因为，所以，即，所以，解得，因为，所以.19.解：（1）因为，则，又，所以，故函数具有性质；因为，则，又，，故不具有性质.（2）若函数具有性质，则，即，因为，所以，所以；若，不妨设，由，得，只要充分大时，将大于1，而的值域为，故等式不可能成立，所以必有成立，即，因为，所以，所以，则，此时，则，而，即有成立，所以存在，使函数具有性质.（3）证明：由函数具有性质及（2）可知，，由可知函数是以为周期的周期函数