2024-2025学年上海市闵行区高二上册9月月考数学学情检测试卷（含解析）

2024-2025学年上海市闵行区高二上学期9月月考数学学情检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.经过点、两点的直线的倾斜角为________.2.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．3.抛物线的焦点坐标是______.4.若直线和直线平行，则的值为_________．5.设两圆与圆的公共弦所在的直线方程是______6.直线关于点对称直线方程是______．7.直线与直线所成夹角的余弦值等于______8.直线与曲线有两个交点，则实数b的取值范围为________．9.双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为_______．10.已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是________.11.双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.12.已知点F是椭圆的右焦点，点到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.“”是直线与圆相交（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分也非必要14.已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（）A.4 B. C.8 D.1615.已知曲线，为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A.曲线关于直线成轴对称图形；B.经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；C.直线与曲线所围成的图形的面积为；D.设直线，当时，直线与曲线有两个公共点.16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点，定义.对于下列两个命题：①设点P是直线上任意一点，则“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”；②设点P是椭圆上任意一点，则.则下列判断正确的是（）A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知向量（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量求实数值.18.在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.（1）求边所在直线的方程;（2）若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.19.如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系.（1）工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由；（2）工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程.20.已知圆，点，为坐标原点.（1）若，求圆过点的切线方程；（2）若直线与圆交于，两点，且，求值；（3）若圆上存在点，满足，求取值范围.21.已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切；（3）设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方方程.2024-2025学年上海市闵行区高二上学期9月月考数学学情检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.经过点、两点的直线的倾斜角为________.【正确答案】【分析】根据两点的坐标求得斜率，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案.【详解】由题意可得直线的斜率，则，解得.故答案为.2.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．【正确答案】【分析】根据题意得，再解不等式即可得答案.【详解】解：因为方程表示一个圆所以，，即，解得或.所以，实数的取值范围是故3.抛物线焦点坐标是______.【正确答案】1,0【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可.【详解】因为抛物线标准方程为，所以焦点坐标为，故答案为.4.若直线和直线平行，则的值为_________．【正确答案】【分析】根据直线平行列方程来求得的值.【详解】由于两直线平行，所以，解得或，当时，两直线方程为、，符合题意.当时，两直线方程为、，即、，两直线重合，不符合题意.所以的值为.故5.设两圆与圆公共弦所在的直线方程是______【正确答案】【分析】利用两圆的方程相减即可求解.【详解】由题意，因为圆，圆，由得，，所以两圆的公共弦所在的直线方程为.故答案为.6.直线关于点对称的直线方程是______．【正确答案】【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.【详解】设对称直线为，则有，解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中故7.直线与直线所成夹角的余弦值等于______【正确答案】【分析】首先得到两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系，设直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，依题意可得，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切代入计算可得.【详解】解：直线，即，则斜率，直线，即，则斜率，所以两直线关于轴对称，设直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，所以，则.故8.直线与曲线有两个交点，则实数b的取值范围为________．【正确答案】【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系求解.【详解】由的为如图所示的半圆，当直线与半圆相切时，解得或（舍），要使直线与曲线有两个交点，则，故答案为:.9.双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为_______．【正确答案】【分析】根据直线与双曲线的位置关系求得的关系，结合离心率公式，即可容易求得离心率范围.【详解】双曲线的渐近线方程为，若双曲线与直线无公共点，等价为双曲线的渐近线的斜率，即，即，即，即，则，则，，离心率满足，即双曲线离心率的取值范围是.故答案为.10.已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是________.【正确答案】【分析】由圆的方程可得圆心与半径，整理直线方程为一般式，求得圆心到直线的距离，结合题意，可得答案.【详解】由圆，则圆心，半径为，由直线，则一般式为，圆心到直线的距离，由题意可知，解得.故答案为.11.双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.【正确答案】4【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可.【详解】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距，由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，中，由余弦定理，，即，得，.故4.12.已知点F是椭圆的右焦点，点到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于__________．【正确答案】##【分析】设，求得表达式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质、椭圆的定义来求得的最大值.【详解】设，则，即且．因为，而，即，所以，当，即时，当时，取得最大值，．又因为椭圆的离心率，因此当时，e最大．设椭圆的左焦点为，则，因此，所以当Q在的延长线上时，取得最大值，，因此的最大值为．当，即时，当时，取得最大值，，由解得，即．又因为椭圆的离心率，因此当时，e最大．设椭圆的左焦点为，则，因此，所以当Q在的延长线上时，取得最大值，，因此的最大值为．综上所述，的最大值为．故在椭圆有关线段和差的最值问题求解的过程中，可考虑利用椭圆的定义进行转换，从而求得最值.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.“”是直线与圆相交的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分也非必要【正确答案】A【分析】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可.【详解】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离，化简得，显然恒成立，故不能推出.所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件.故选：A.14.已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（）A.4 B. C.8 D.16【正确答案】A【分析】由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得，代入可得选项.【详解】因为为抛物线的焦点，所以，设，由抛物线的性质得：，∴，故到的距离为4.故选：A．本题考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，属于基础题.15.已知曲线，为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A.曲线关于直线成轴对称图形；B.经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；C.直线与曲线所围成的图形的面积为；D.设直线，当时，直线与曲线有两个公共点.【正确答案】C【分析】画出曲线图像即可判断A；分的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为时结合渐近线可判断B；由四分之一圆面积减去三角形面积可判断C；由图形可判断D.【详解】，因为当时，无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线表示为，作出曲线图象如图所示，对于选项A，结合图象，显然不成立，故A错误；对于选项B，令直线方程为：，代入曲线得，，无解，故B错误；对于选项C，设直线与轴的交点分别为.因为圆的半径为2.且点，所以直线与曲线围成的图形的面积为，故C正确.对于D选项，由于直线恒过点，当时，直线与轴平行，与曲线有一个交点；当时，直线与曲线的渐近线平行，此时与曲线有两个交点.当时.结合斜率的范围可得直线与曲线有三个交点（如上图），故D错误；故选：C16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点，定义.对于下列两个命题：①设点P是直线上任意一点，则“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”；②设点P是椭圆上任意一点，则.则下列判断正确的是（）A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假【正确答案】A【分析】对于①，根据，把代入得到当最小时的点有无数个时，；而时，推导出最小的点有无数个，即可证明；对于②，的坐标用参数形式表示，然后利用三角函数的辅助角公式化简可求得的最大值.【详解】对于①，先证充分性：由，当时，，满足题意；又，当时，，满足题意.再证必要性：不难得到，当时，直线上使得最小的点P有无数个；所以“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”，即①是真命题；对于②，因为点P是椭圆上任意一点，则可设，所以（，且），则当时，，即②是真命题；故选：A.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知向量（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量求实数的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）直接利用向量的数量积求解与的夹角的余弦值；（2）表示出向量与的坐标，利用向量平行，列出方程，即可求解的值.【小问1详解】，，所以，，，所以.【小问2详解】，，∴，，由与平行，所以，解得.18.在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.（1）求边所在直线的方程;（2）若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；（2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标.【小问1详解】因为B2,1、，所以边所在直线的方程为，整理得；【小问2详解】点到直线的距离，又，因为，所以有，即，又点的坐标满足，因此有或，解得或，所以点的坐标为或．19.如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系.（1）工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由；（2）工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程.【正确答案】（1）的长度最短，理由见解析（2）【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案；（2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案.【小问1详解】由题意可得，，，，，路线的长度：，路线的长度：，因为，则路线的长度最短.小问2详解】设点，已知，可得，所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，则，即，又因为，，则点的轨迹方程为.20.已知圆，点，为坐标原点.（1）若，求圆过点的切线方程；（2）若直线与圆交于，两点，且，求的值；（3）若圆上存在点，满足，求的取值范围.【正确答案】（1）或；（2）；（3）.【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得.（2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的数量积计算即得.（3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得.【小问1详解】当时，圆的圆心，半径，而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为，则，解得或，所以所求切线方程为或.【小问2详解】由消去得，，设，则，由，得，则，整理得，则，即，