2024-2025学年山西省大同市高二上册10月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年山西省大同市高二上学期10月月考数学检测试卷一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若直线的倾斜角为，则（）．A.0 B. C. D.不存在2.已知向量，若，则（）A. B.C. D.3.已知直线与直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（） B. C. D.5.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.7.已知两点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.已知点和非零实数，若两条不同直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列说法中不正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点C.过，两点的直线的方程为D.直线在轴上的截距为210.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（）AB.向量与的夹角的余弦值为C.点关于轴的对称点坐标为D.向量在上的投影向量为11.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥表面积为B.若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C.若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为D.的取值范围为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为_______________．13.直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为_______________.14.在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为_______________.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点．（1）求边上的中线的一般式方程；（2）求经过点且与直线垂直直线方程．16.已知，，且.（1）求（2）求与夹角的余弦值.17.已知直线.（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.18.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、AD的中点，平面．（1）求证：；（2）求点B到平面EFM的距离；（3）在线段上是否存在点N，使得直线与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．19.已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集．（1）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；（2）已知为的4阶等距平面，且点与点，，分别位于的两侧．是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求平面与夹角的余弦值；若不存在，说明理由。2024-2025学年山西省大同市高二上学期10月月考数学检测试卷一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若直线的倾斜角为，则（）．A.0 B. C. D.不存在【正确答案】C【分析】根据直线的方程即可求解.【详解】因为，为一常数，故直线的倾斜角为，故选：C2.已知向量，若，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值.【详解】向量，且，所以，解得，故选：B.3.已知直线与直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】利用两直线平行的条件，求出值，再利用充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当时，由，解得，所以可以推出，当时，直线，直线，有，即可以推出，所以“”是“”的充要条件，故选：C.4.在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案.【详解】连接，因为，分别是的中点，所以，故．故选：A5.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求直线AD与直线CE所成角的余弦值.【详解】由题设，构造如下图示的空间直角坐标系，则，所以，则.所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为.故选：A6.已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】，则点到直线距离为：.故选：B7.已知两点，，若直线与线段有公共点，则取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出直线的斜率，结合图象即可求解.【详解】由，得到，所以直线过定点，又，，所以，，又直线与线段有公共点，结合图象可知，，故选：D.8.已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由“共轭线对”的定义，结合直线的夹角公式及基本不等式即可求解.【详解】设直线的斜率为，则直线的斜率为，两直线的夹角为，则，当且仅当，即时取等号，又，所以，故选：B.二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列说法中不正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点C.过，两点的直线的方程为D.直线在轴上的截距为2【正确答案】ACD【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式，斜截式，两点式判断各项正误即可.【详解】对于A，当倾斜角为锐角，斜率为正；当倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误；对于B，直线方程为，即，显然在直线上，故B正确；对于C，当或时不能使用两点式写方程，故C错误；对于D，直线，令，，则直线在轴上的截距为，故D错误.故选：ACD.10.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（）A.B.向量与的夹角的余弦值为C.点关于轴的对称点坐标为D.向量在上的投影向量为【正确答案】BD【分析】根据空间两点距离公式可判断A；根据空间向量的夹角坐标公式可判断B；根据点的对称性可判断C；根据投影向量的概念可判断D.【详解】记，，对于A，，故A错误；对于B，，，，设与的夹角为，则，故B正确；对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；对于D，在上的投影向量为，D正确．故选：BD．11.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的表面积为B.若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C.若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为D.的取值范围为【正确答案】ABD【分析】连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断；对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断；对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断；对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得.【详解】连结OB.在三棱锥中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因为，所以面ABC.可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，所以,,,.对于A：在三棱锥中，，，，所以底面三角形为直角三角形，其面积为；为边长为2的等边三角形，所以面积为；和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；所以三棱锥的表面积为.故A正确；对于B：为棱的中点，所以,所以,.所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；对于C：点是棱上一动点，不妨设，（）.所以.设为面PAM的一个法向量，则，不妨设y=1，则.因为与平面所成角的正弦值为，所以，解得：取，则显然，面PAC的一个法向量为.设二面角的平面角为，所以，所以.故C错误；对于D:如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.当M与B重合时，；当M与C重合时，最大；连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.此时，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范围为.故D正确.故选：ABD立体几何题目的解题策略：(1)证明题：几何关系的证明，用判定定理；(2)计算题：求角或求距离（求体积通常需要先求距离），可以用向量法.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为_______________．【正确答案】【分析】根据条件，利用空间向量基本定理得到，进而可得到，结合条件有，即可求出结果.【详解】因为点在平面上，由空间向量基本定理知，，得到，即，又，所以，解得，故答案为.13.直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为_______________.【正确答案】【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，进而利用直线方程的点斜式即可得出结果.【详解】∵直线的方向向量,∴直线的斜率，又∵直线过点∴由点斜式可得：,即，故答案为.14.在棱长为1正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为_______________.【正确答案】##【分析】建立空间直角坐标系，先求得点的轨迹，结合空间向量表示出与平面所成的角的正弦值，进而确定的坐标，从而求解.【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，设，则，，设平面的一个法向量为，则，即取，则.在正方体中，可得平面，且平面，所以，则，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为，则，则，即，又，设与平面所成的角为，所以，又，当且仅当时，等号成立，所以，即时，与平面所成的角最大，即，所以.故答案为.方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点．（1）求边上的中线的一般式方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据条件，求出的坐标，再由直线的点斜式求出直线方程，化简即可求解；（2）先求出直线的斜率，再由两直线垂直时斜率间的关系，求出垂线的斜纹，再由直线的点斜式，即可求解.【小问1详解】因为，，所以的中点，又，所以边上的中线的方程为，整理得到，故边上的中线的一般式方程为.【小问2详解】因为直线的斜率为，又，所以经过点且与直线垂直的直线方程为，整理得到.16.已知，，且.（1）求（2）求与夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示可求得，即可计算出即可求得模长为；（2）根据向量夹角的计算公式即可求得结果.【小问1详解】根据题意由可得，即，解得；所以，因此，即.【小问2详解】易知，且；所以，即与夹角的余弦值为.17.已知直线.（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.【正确答案】（1）；（2）最小值是4，方程为．【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围；（2）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值．【详解】（1）直线方程为：，它过定点，在第二象限，因此直线不过第四象限，则∴的取值范围是；（2）易知，令得，令，得，即，∴，当且仅当，即时取等号，∴最小值是4，此时方程为，即．本题考查直线方程的一般式，第（1）小题由直线方程确定直线过定点是解题关键；第（2）小题，用基本不等式求最值是关键．18.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、AD的中点，平面．（1）求证：；（2）求点B到平面EFM的距离；（3）在线段上是否存在点N，使得直线与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见详解（2）3（3）存在点满足题意，【分析】（1）先证明平面，再证明，即可得证；（2）求点到平面的距离即求点到平面的距离，利用三棱锥等体积法求解；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又底面是正方形，则，且与是平面内两条相交直线，所以平面，平面，所以，又分别是的中点，所以，所以.【小问2详解】因为分别是的中点，所以，所以平面即是平面，由（1）知平面，则平面，平面，，则，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，所以点到平面的距离为.【小问3详解】如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，A2,0,0，，，，，，，设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且，，，，设平面的