2025年中考数学总复习《有理数》专项测试卷含答案

第第页2025年中考数学总复习《有理数》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2024秋•扬州期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为（）（“里”是我国市制长度单位，1里＝500米）A．7.5平方千米 B．75平方千米 C．1平方千米 D．750平方千米2．（2024秋•福田区校级期末）|a﹣3|与（b+2）2的和为0，则ba＝（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．83．（2024秋•东城区期末）若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A．|a|＜|b| B．a+3＞0 C．a2＜b2 D．a＞﹣b4．（2024秋•姑苏区校级期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中错误的是（）A．a•b•c＞0 B．0＜ba＜1 C．a+b+c＞0 D．|a|＞|b5．（2024秋•浦东新区校级期末）如果|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，那么a+b的值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣7或﹣1 D．76．（2024秋•瑶海区期末）超越数主要有自然常数（e）和圆周率（π）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数e是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．e的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：e＝2.718281828459045235360287471352……，下列对自然常数e取近似数正确的是（）A．2.7（精确到十分位） B．2.71（精确到0.01） C．2.719（精确到千分位） D．2.7182（精确到0.0001）7．（2024秋•本溪期末）已知|x|＝2，|y|＝4，若xy＞0，则x+y的值为（）A．6 B．2 C．﹣2 D．6或﹣68．（2024秋•成华区期末）已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（）A．a＜c＜b B．ac＞0 C．|a﹣b|＝a﹣b D．|b|+|c|＝b+c9．（2024秋•遵义期末）下列等式中，正确的是（）A．﹣3+1﹣2＝﹣3+2﹣1 B．3×（﹣3）＝（﹣3）+（﹣3）+（﹣3） C．1÷(1D．43＝3×3×3×310．（2024秋•乌鲁木齐期末）2024年12月21日是中国二十四节气之冬至，冬至意味着寒冷的冬天正式来临．表格中是新疆四地当天的最高气温，其中气温最低的城市是（）城市乌鲁木齐吐鲁番阿勒泰喀什最高气温﹣5℃4℃﹣6℃3℃A．乌鲁木齐 B．吐鲁番 C．阿勒泰 D．喀什二．填空题（共5小题）11．（2024秋•宁夏期末）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，112．（2024秋•集美区期末）数都可以表示成各个数位上的数字与该进制下基数的幂的乘积之和的形式．“十进制记数法”是目前应用最广泛的记数系统，十进制的基数是10，其特征是逢十进一，如3721表示成基数的幂的乘积之和为：3×103+7×102+2×101+1×100（规定当a≠0时，a0＝1）．“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，如二进制数（1011）2表示成基数的幂的乘积之和为：1×23+0×22+1×21+1×20．根据以上介绍，回答下列问题：①二进制数（101101）2表示成基数的幂的乘积之和为：；②若某二进制数a与（101101）2之和是一个8位的二进制数，则a的最小值是．13．（2024秋•昆都仑区期末）我们学过+、﹣、×、÷这四种运算，现在规定“*”是一种新的运算，A*B表示：4A﹣B．如：5*3＝4×5﹣3＝17，那么2*（3*4）＝．14．（2024秋•郫都区期末）计算：(1+1215．（2024秋•朝阳区期末）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价a%，第二次降价b%；②第一次降价b%，第二次降价a%；③第一、二次降价均为a+b2记降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C．若a＝10，b＝15，则AB（填“＞”“＜”或“＝”）；若a，b均为正数，则A，B，C的大小关系是．三．解答题（共5小题）16．（2024秋•裕华区期末）我们知道，在数轴上，|a|表示有理数a对应的点到原点的距离，|a|＝|a﹣0|，同样的道理，|a﹣3|表示有理数a对应的点到有理数3对应的点的距离，例如，|7﹣3|＝4，表示数轴上有理数7对应的点到有理数3对应的点的距离是4．请根据上面的材料解答下列问题：（1）请用上面的方法计算数轴上有理数﹣3对应的点到有理数4对应的点的距离；（2）|a﹣5|表示有理数a对应的点与有理数对应的点的距离；如果|a﹣5|＝2，那么有理数a的值为；（3）如果|a﹣3|+|a+1|＝8，请计算a的值；（4）现有一个有理数a，满足|a﹣2|+|a﹣7|＝m，若满足等式的a有无数个，求m的值．若不存在能使等式成立的a，求m的取值范围．17．（2024秋•宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是10时，问4小时以后是几时？虽然10+4＝14，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4＝2．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号“”表示钟表上的减法，则35＝10．（注：此处用0时代替12时）．根据上述材料解决下列问题：（1）9⊕6＝，47＝．（2）在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是多少？（3）规定在钟表运算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，对于钟表上的任意数字a，b，c，若a＜b，判断ac＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．18．（2024秋•昆都仑区期末）阅读材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|．回答问题：（1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是；数轴上表示x与2的两点之间的距离是；（2）若|m﹣2|＝3，求m的值；（3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值；（4）若代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值．19．（2024秋•宁乡市期末）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：（1）A，B两点之间的距离为；（2）到点B的距离为3的点表示的数是；（3）已知在数轴上点M表示的数是m，点M向左移动6个单位，此时点M表示的数和m互为相反数，求出m的值；（4）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，求与B点重合的点表示的数．20．（2024秋•米脂县期末）米脂红葱是米脂县的特产，全国农产品地理标志，某蔬菜超市购进20捆米脂红葱，以每捆5千克为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，结果记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）﹣0.4﹣0.3﹣0.100.20.3捆数（单位：捆）142328（1）这20捆米脂红葱中，最重的一捆有千克，比最轻的一捆重千克．（2）与标准质量相比，这20捆米脂红葱的总质量超过或不足多少千克？（3）若这些红葱以每千克6元的价格售出，求这20捆米脂红葱可卖多少元？参考答案与试题解析题号12345678910答案AABCCADCBC一．选择题（共10小题）1．（2024秋•扬州期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为（）（“里”是我国市制长度单位，1里＝500米）A．7.5平方千米 B．75平方千米 C．1平方千米 D．750平方千米【考点】数学常识．【专题】阅读型；运算能力．【答案】A【分析】直接利用勾股定理的逆定理，进而结合直角三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵52+122＝132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：12故选：A．【点评】此题主要考查了数学常识，正确得出三角形的形状是解题关键．2．（2024秋•福田区校级期末）|a﹣3|与（b+2）2的和为0，则ba＝（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】根据绝对值和平方的非负性，求出a、b的值，进而求出结果．【解答】解：由条件可知|a﹣3|+（b+2）2＝0，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴ba＝（﹣2）3＝﹣8，故选：A．【点评】本题考查绝对值和平方的非负性．熟练掌握几个非负数的和为0得每一个非负数均为0是解题的关键．3．（2024秋•东城区期末）若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A．|a|＜|b| B．a+3＞0 C．a2＜b2 D．a＞﹣b【考点】数轴；绝对值．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】利用数轴知识和绝对值的定义解答．【解答】解：由数轴图可知，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴|a|＞|b|，a+3＞0，a2＞b2，a＜﹣b，∴只有选项B正确，符合题意．故选：B．【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．4．（2024秋•姑苏区校级期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中错误的是（）A．a•b•c＞0 B．0＜ba＜1 C．a+b+c＞0 D．|a|＞|b【考点】数轴；绝对值．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】先由数轴得出a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则等分别分析，可得答案．【解答】解：由数轴可得：a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，∴abc＞0，a+b+c＜0，故A正确，C错误；∵a＜﹣2＜b＜﹣1，∴0＜ba＜|a|＞|b|＞|c|，故D正确．故选：C．【点评】本题考查了数轴和绝对值，数形结合，是解题的关键．5．（2024秋•浦东新区校级期末）如果|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，那么a+b的值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣7或﹣1 D．7【考点】有理数的加法；绝对值．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】先根据题意求出a和b的值，然后再计算a+b的值即可．【解答】解：由条件可知a＝±3，b＝±4，∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，∴a+b＝3+（﹣4）＝﹣1或a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7，故选：C．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加法运算等知识点，深刻理解绝对值的意义并熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．6．（2024秋•瑶海区期末）超越数主要有自然常数（e）和圆周率（π）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数e是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．e的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：e＝2.718281828459045235360287471352……，下列对自然常数e取近似数正确的是（）A．2.7（精确到十分位） B．2.71（精确到0.01） C．2.719（精确到千分位） D．2.7182（精确到0.0001）【考点】近似数和有效数字．【专题】实数；数感．【答案】A【分析】根据四舍五入的方法进行判断即可．【解答】解：自然常数e精确到十分位是2.7，故A选项符合题意；自然常数e精确到0.01是2.72，故B选项不符合题意；自然常数e精确到千分位是2.718，故C选项不符合题意；自然常数e精确到0.0001是2.7183，故D选项不符合题意，故选：A．【点评】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是掌握四舍五入法来求近似数．7．（2024秋•本溪期末）已知|x|＝2，|y|＝4，若xy＞0，则x+y的值为（）A．6 B．2 C．﹣2 D．6或﹣6【考点】有理数的乘法；绝对值；有理数的加法．【专题】实数；运算能力．【答案】D【分析】根据xy＞0可知x、y同号，由|x|＝2，|y|＝4进而即可求解．【解答】解：由条件可知：x＝±2，y＝±4，∵xy＞0，∴当x＝2时，y＝4；当x＝﹣2时，y＝﹣4；∴x+y＝±6．故选：D．【点评】本题主要考查绝对值的意义，有理数的加法和乘法，根据xy＞0判断x、y同号是解题的关键．8．（2024秋•成华区期末）已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（）A．a＜c＜b B．ac＞0 C．|a﹣b|＝a﹣b D．|b|+|c|＝b+c【考点】数轴；绝对值．【专题】计算题；运算能力．【答案】C【分析】利用数轴知识，绝对值的定义解答．【解答】解：由数轴图可知，b＜a＜0＜c，|b|＞|a|，∴ac＜0；|a﹣b|＝a﹣b；|b|+|c|＝﹣b+c，∴只有选项C正确符合题意．故选：C．【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．9．（2024秋•遵义期末）下列等式中，正确的是（）A．﹣3+1﹣2＝﹣3+2﹣1 B．3×（﹣3）＝（﹣3）+（﹣3）+（﹣3） C．1÷(1D．43＝3×3×3×3【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据有理数运算法则计算各个选项即可．【解答】解：A、﹣3+1﹣2＝﹣3﹣2+1，选项错误；B、3×（﹣3）＝（﹣3）+（﹣3）+（﹣3），选项正确；C、1÷(1D、43＝4×4×4，选项错误；故选：B．【点评】本题考查有理数减法法则、乘法定义、除法运算、乘方定义，熟记运算法则是解题的关键．10．（2024秋•乌鲁木齐期末）2024年12月21日是中国二十四节气之冬至，冬至意味着寒冷的冬天正式来临．表格中是新疆四地当天的最高气温，其中气温最低的城市是（）城市乌鲁木齐吐鲁番阿勒泰喀什最高气温﹣5℃4℃﹣6℃3℃A．乌鲁木齐 B．吐鲁番 C．阿勒泰 D．喀什【考点】有理数大小比较；正数和负数．【专题】实数；符号意识．【答案】C【分析】先求出两个负数的绝对值，通过比较绝对值的大小，从而比较﹣5与﹣6的大小，从而比较3，4，﹣5，﹣6的大小，进行判断即可．【解答】解：|﹣5|＝5，|﹣6|＝6，∵5＜6，∴﹣5＞﹣6，∴4＞3＞﹣5＞﹣6，∴气温最低的城市是阿勒泰，故选：C．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握比较两个负数大小的方法．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•宁夏期末）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，⋯，【考点】有理数的加法．【专题】实数；运算能力．【答案】1−1【分析】12可以看作面积为1正方形减去一半的面积，所12+14可以看作面积为1正方形减去14的面积，12【解答】解：12可以看作面积为1正方形减去一半的面积，所以112+14可以看作面积为1正方形减去12+14+……，∴12+1∴12故答案为：1−1【点评】本题考查了规律题的探究．发现规律是关键．12．（2024秋•集美区期末）数都可以表示成各个数位上的数字与该进制下基数的幂的乘积之和的形式．“十进制记数法”是目前应用最广泛的记数系统，十进制的基数是10，其特征是逢十进一，如3721表示成基数的幂的乘积之和为：3×103+7×102+2×101+1×100（规定当a≠0时，a0＝1）．“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，如二进制数（1011）2表示成基数的幂的乘积之和为：1×23+0×22+1×21+1×20．根据以上介绍，回答下列问题：①二进制数（101101）2表示成基数的幂的乘积之和为：1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20；②若某二进制数a与（101101）2之和是一个8位的二进制数，则a的最小值是（1010011）2．【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20；（1010011）2．【分析】①根据题干二进制数转换为十进制数的方法列式即可．②根据二进制的基数是2，其特征是逢二进一，8位的最小二进制数是（10000000）2求解即可．【解答】解：①（101101）2表示成基数的幂的乘积之和为：1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20；，故答案为：1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20；②由条件可知若某二进制数a与（101101）2之和是一个8位的二进制数，a的最小值是（1010011）2．故答案为：（1010011）2．【点评】本题主要考查了单位进制的转化运算，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握以上知识点是关键．13．（2024秋•昆都仑区期末）我们学过+、﹣、×、÷这四种运算，现在规定“*”是一种新的运算，A*B表示：4A﹣B．如：5*3＝4×5﹣3＝17，那么2*（3*4）＝0．【考点】有理数的混合运算．【专题】新定义；运算能力．【答案】0．【分析】根据新定义，先算3*4，再算2*（3*4）即可．【解答】解：2*（3*4）＝2*（4×3﹣4）＝2*8＝4×2﹣8＝0，故答案为：0．【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．（2024秋•郫都区期末）计算：(1+12+1【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；运算能力．【答案】−1【分析】从算式的特征，将1+12+13+⋯+1【解答】解：将1+12+将1+12+∴原式＝A×（B﹣1）﹣（A﹣1）×B＝AB﹣A﹣AB+B＝B﹣A，＝1+12+=−1【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是运用整体代入法来解答．15．（2024秋•朝阳区期末）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价a%，第二次降价b%；②第一次降价b%，第二次降价a%；③第一、二次降价均为a+b2记降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C．若a＝10，b＝15，则A＝B（填“＞”“＜”或“＝”）；若a，b均为正数，则A，B，C的大小关系是A＝B≤C．【考点】有理数大小比较．【专题】整式；推理能力．【答案】＝，A＝B≤C．【分析】记产品原价为x，根据题意分别表示出A，B即可比较A，B的大小，再同样表示出C，结合整式的混合运算，完全平方公式的运用，作差法比较大小，即可解题．【解答】解：记产品原价为x，若a＝10，b＝15，则A＝（1﹣10%）×（1﹣15%）x＝0.765x，B＝（1﹣15%）×（1﹣10%）x＝0.765x，∴A＝B，若a，b均为正数，则A＝（1﹣a%）（1﹣b%）x，B＝（1﹣b%）（1﹣a%）x，C=(1−a+b∵(1−=[(1−a+b=[(200−a−b=x=x=x=x又∵a，b均为正数，∴x40000∴A＝B≤C，故答案为：＝，A＝B≤C．【点评】本题考查代数式表示式，整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，作差法比较大小，解题的关键在于理解题意列出A，B，C表达式．三．解答题（共5小题）16．（2024秋•裕华区期末）我们知道，在数轴上，|a|表示有理数a对应的点到原点的距离，|a|＝|a﹣0|，同样的道理，|a﹣3|表示有理数a对应的点到有理数3对应的点的距离，例如，|7﹣3|＝4，表示数轴上有理数7对应的点到有理数3对应的点的距离是4．请根据上面的材料解答下列问题：（1）请用上面的方法计算数轴上有理数﹣3对应的点到有理数4对应的点的距离；（2）|a﹣5|表示有理数a对应的点与有理数5对应的点的距离；如果|a﹣5|＝2，那么有理数a的值为7或3；（3）如果|a﹣3|+|a+1|＝8，请计算a的值；（4）现有一个有理数a，满足|a﹣2|+|a﹣7|＝m，若满足等式的a有无数个，求m的值．若不存在能使等式成立的a，求m的取值范围．【考点】有理数的减法；有理数；数轴；绝对值．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）7；（2）5，7或3；（3）5或﹣3；（4）m＝5，m＜5．【分析】（1）根据绝对值的几何意义表示即可；（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可；（3）按照绝对值代数意义分类讨论即可得到结果；（4）根据绝对值的几何意义和条件分析解答即可．【解答】解：（1）|﹣3﹣4|＝7；（2）|a﹣5|表示有理数a对应的点与有理数5对应的点的距离；如果|a﹣5|＝2，那么有理数a的值为7或3；故答案为：5；7或3；（3）当a≤﹣1时，3﹣a﹣1﹣a＝8，解得a＝﹣3，当﹣1＜a＜3时，3﹣a+a+1＝8，无解，不符合题意；当a≥3时，a﹣3+a+1＝8，解得a＝5，综上分析，满足方程的a值为：5或﹣3；（4）∵|a﹣2|+|a﹣7|＝m，满足等式的a有无数个，∴当2≤a＜≤7时，m＝5，∵|a﹣2|+|a﹣7|＝m，有最小值5，∴若不存在能使等式成立的a，则m的取值范围为：m＜5．【点评】本题考查了有理数减法、绝对值、数轴，熟练掌握以上知识点是关键．17．（2024秋•宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是10时，问4小时以后是几时？虽然10+4＝14，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4＝2．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号“”表示钟表上的减法，则35＝10．（注：此处用0时代替12时）．根据上述材料解决下列问题：（1）9⊕6＝3，47＝9．（2）在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是多少？（3）规定在钟表运算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，对于钟表上的任意数字a，b，c，若a＜b，判断ac＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）3；9；（2）5的相反数是7；（3）不一定成立，理由见解析．【分析】（1）根据钟表的定义及钟表上的加减法定义即可求解；（2）根据钟表运算中相反数的定义即可求解；（3）根据钟表运算的定义举出反例即可验证．【解答】解：（1）9⊕6表示9点钟再过去6小时，故为9+6＝15小时，即为3时；4⊖7表示4点钟之前7小时，故为4+12﹣7＝9小时，即为9时，故答案为：3；9；（2）在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，在钟表中，用0时代替12时，∴在钟表中，相加为12的两个数互为相反数，∴在钟表中，5的相反数是12﹣5＝7；（3）不一定成立；理由如下：当a＝3，b＝5，c＝7时，3⊕7＝10，5⊕7＝0，则3⊕7＞5⊕7，∴当a＜b时，a⊕c＜b⊕c不一定成立．【点评】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解．18．（2024秋•昆都仑区期末）阅读材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|．回答问题：（1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是7；数轴上表示x与2的两点之间的距离是|x﹣2|；（2）若|m﹣2|＝3，求m的值；（3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值；（4）若代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值．【考点】数轴；绝对值；有理数．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）7；|x﹣2|；（2）m＝﹣1或5；（3）n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）a＝﹣5或a＝3．【分析】（1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；（2）根据绝对值几何意义即可得出结论；（3）根据绝对值几何意义得出x的取舍范围，进而得出结果；（4）根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出a．【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是5﹣（﹣2）＝7；数轴上表示x与2的两点之间的距离是|x﹣2|，故答案为：7；|x﹣2|；（2）|m﹣2|＝3表示m与2的距离为3，则m＝﹣1或5；（3）|n﹣2|+|n+3|＝5，数轴上表示n与2和n与﹣3两点之间的距离之和为5，则n在数轴上的位置在﹣3与2之间，∴﹣3≤n≤2，∵n为整数，∴n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）∵|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，即当x在1和﹣a之间时，|x﹣1|+|x+a|＝4，∴﹣a＝5或﹣a＝﹣3，∴a＝﹣5或a＝3．【点评】本题考查了数轴，绝对值，两点间的距离公式，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键．19．（2024秋•宁乡市期末）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：（1）A，B两点之间的距离为4；（2）到点B的距离为3的点表示的数是1或﹣5；（3）已知在数轴上点M表示的数是m，点M向左移动6个单位，此时点M表示的数和m互为相反数，求出m的值；（4）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，求与B点重合的点表示的数．【考点】数轴；相反数．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）4；（2）1或﹣5；（3）m＝3；（4）与B点重合的点表示的数为1．【分析】（1）由较大的数减去较小的数可得两点之间的距离；（2）根据两点间的距离确定即可；（3）先表示移动后对应的数，再利用相反数的含义列方程解答即可；（4）先求折痕点对应的数，再计算折痕点与B之间的距离，从而可得答案．【解答】解：（1）∵A表示的数为2，B表示的数为﹣2，A、B两点之间的距离为2﹣（﹣2）＝2+2＝4；故答案为：4；（2）①当这个数在点B左侧时，﹣2﹣3＝﹣5，此时这个数为﹣5；②当这个数在点B右侧时，﹣2+3＝1，此时这个数为1；∴到点B的距离为4的点表示的数是1或﹣5，故答案为：1或﹣5；（3）∵在数轴上点M表示的数是m，点M向左移动6个单位，∴此时M对应的数为m﹣6，∵点M表示的数和m互为相反数，∴m+m﹣6＝0，解得：m＝3；（4）∵点A表示的数为2，点C表示的数为﹣3，将数轴折叠，使得A点与C点重合，∴折叠点表示的数为2−32∴与B点重合的点表示的数为−12+【点评】本题考查的是数轴，涉及两点之间的距离，相反数的含义，理解题意，选择合适的方法解题是关键．20．（2024秋•米脂县期末）米脂红葱是米脂县的特产，全国农产品地理标志，某蔬菜超市购进20捆米脂红葱，以每捆5千克为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，结果记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）﹣0.4﹣0.3﹣0.100.20.3捆数（单位：捆）142328（1）这20捆米脂红葱中，最重的一捆有5.3千克，比最轻的一捆重0.7千克．（2）与标准质量相比，这20捆米脂红葱的总质量超过或不足多少千克？（3）若这些红葱以每千克6元的价格售出，求这20捆米脂红葱可卖多少元？【考点】正数和负数；有理数的混合运算．【专题】运算能力．【答案】（1）5.3，0.7；（2）这20捆米脂红葱的总质量超过标准质量1千克；（3）这20捆米脂红葱可卖606元．【分析】（1）根据正负数的实际意义即可求解；（2）运用有理数的乘法运算先计算出与标准质量的差值，再进行比较，结果为正表示超过，结果为负表示不足，由此即可求解；（3）算出20捆米脂红葱的质量，再乘以每千克的单价即可求解．【解答】解：（1）最重的一捆有5+0.3＝5.3（千克），∵0.3﹣（﹣0.4）＝0.7（千克），∴最重的比最轻的重0.7千克，故答案为：5.3，0.7；（2）﹣0.4×1﹣0.3×4﹣0.1×2+0×3+0.2×2+0.3×8＝﹣1.8+2.8＝1（千克），∴这20捆米脂红葱的总质量超过标准质量1千克；（3）（20×5+1）×6＝606（元），∴这20捆米脂红葱可卖606元．【点评】本题主要考查正负数，有理数的混合运算的运用，理解正负数的实际意义，有理数的混合运算是解题的关键．

考点卡片1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．有理数我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数．我们还学习过正分数，如12，23，157，0.1，5.32，0.3⋅，……；负分数，如−5进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=21；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3=−3可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．0.1=110，﹣0.5=−13．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．4．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．5．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）6．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．7．有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．（2）有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小