2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.2.1命题与量词学案新人教B版必修第一册

PAGE1-1.2.1命题与量词学习目标核心素养1.理解命题的含义，并会推断其真假.2．理解全称量词与全称量词命题的定义．3．理解存在量词与存在量词命题的定义.4．能精确地运用全称量词和存在量词符号(即“∀，∃”)来表述相关的数学内容．(重点)5．会推断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会推断它们的真假．(重点、难点)1.通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培育数学抽象的素养．2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算实力.1．命题可供真假推断的陈述语句是命题，而且，推断为真的语句称为真命题，推断为假的语句称为假命题．2．全称量词和全称量词命题(1)一般地，“随意”“全部”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中随意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．3．存在量词和存在量词命题(1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在集合M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．思索：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．1．下列语句中，命题的个数为()①空集是任何非空集合的真子集；②起立！③垂直于同一平面的两条直线平行吗？④若实数x，y满意x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．1B．2C．3D．4B[①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题，故选B.]2．下列命题中，全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线相互平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2 D．3C[①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]3．下列存在量词命题中真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0B．1C．2 D．3D[①②③都是真命题．]4．用存在量词表示下列语句：“有一个实数乘以随意一个实数都等于0”表示为________．[答案]存在一个实数x，它乘以随意一个实数都等于0命题概念的核心要素【例1】(1)下列语句中为命题的是()A．m＋n B．{0}∈NC．函数与图像 D．2x＞3(2)下列语句中不是命题的有________．(填序号)①无理数的平方是有理数吗？②王明同学的素描多么精彩啊！③若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；④请说一般话；⑤x2－xy＋y2≥0.(1)B(2)①②④[(1)只有B选项可推断真假．(2)①不是命题，因为是疑问句不是陈述句；②④分别是感叹句和祈使句，所以都不是命题；③⑤是命题，因为它们能推断真假．]一般地，判定一个语句是不是命题，要先推断这个语句是不是陈述句，再看能不能推断真假．其流程图如图：1．下列语句中，是命题的为________．(填序号)①红豆生南国；②作射线AB；③中国领土不行侵扰！④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.①④[②和③都不是陈述句，依据命题定义可知①④是命题．]命题真假的推断【例2】下列命题是真命题的为()A．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集B．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝yC．对随意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0D．若整数m是偶数，则m是合数B[A中，x∈N，x3≥0，{x∈N|x3＋1＝0}是空集，故为假命题；B中，由eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)可推出x＝y；C中，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；D中，2是偶数，但2是质数，故是假命题．]推断命题真假性的两个技巧(1)真命题：推断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．(2)假命题：推断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．2．下列四个命题为真命题的有()①若x＞1，则x2＞1；②梯形不是平行四边形；③全等三角形的面积相等．A．1个 B．2个C．3个 D．0个C[①②③是真命题．]全称量词和全称量词命题【例3】下列命题是全称量词命题的个数是()①任何实数都有立方根；②全部的质数都是奇数；③有的平行四边形是矩形；④三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3D[命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有3个全称量词命题：①②④.]全称量词命题的常用表示形式：1全部的x∈M，rx；2对一切x∈M，rx；3对每一个x∈M，rx；4任选一个x∈M，rx；5随意x∈M，rx.3．下列不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘零都得零B．自然数都是整数C．高一(1)班绝大多数同学是团员D．每一个四边形的内角和都是180°C[“高一(1)班绝大多数同学是团员”，即“高一(1)班有的同学不是团员”，不是全称量词命题．]存在量词和存在量词命题【例4】下列命题中存在量词命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2－1＞0;③有的平行四边形是菱形．A．0B．1C．2 D．3D[①中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．]存在量词命题的常用表示形式：1存在x∈M，sx；2至少有一个x∈M，sx；3对有些x∈M，sx；4对某个x∈M，sx；5有一个x∈M，sx.)4．下列语句是存在量词命题的是()A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使n能被7整除C．x＞7D．∀x∈M，p(x)成立B[B选项中有存在量词“存在”，故是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题.]全称量词命题和存在量词命题的改写【例5】用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；(2)当x为有理数时，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1也是有理数；(3)方程3x－2y＝10有整数解．[解](1)对随意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．(2)对随意有理数x,eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数．(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．1．推断一个命题是存在量词命题，还是全称量词命题，要依据命题中所含量词来推断．2．有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“全部”等这样的意思，也是全称量词命题．5．用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)有理数都能写成分数形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解．[解](1)随意一个有理数都能写成分数形式．(2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立．全称量词命题和存在量词命题的真假推断【例6】试推断下面命题的真假．(1)∀x∈R，x2＋2＞0;(2)∀x∈N，x4≥1；(3)∃x∈Z，x3＜1；(4)∀x∈Q，x2＝3.[解](1)由于x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3＜1，所以命题“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．(4)由于使x2＝3成立的数只有±eq\r(3)，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“∀x∈Q，x2＝3”是假命题．1．要判定一个全称量词命题是真命题，必需对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成马上可．2．推断一个存在量词命题真假的依据：若在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，则这个存在量词命题是真命题，否则是假命题．6．推断下列命题的真假．(1)在平面直角坐标系中，随意有序实数对(x，y)都对应一点P;(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．[解](1)真命题.(2)假命题，如边长为1的正方形的对角线长eq\r(2)，它的长度就不能用有理数表示．(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．1．依据命题的意义，可以推断真假的陈述句是命题，真命题要给出证明，假命题只需举一反例即可．2．推断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，可以依据命题涉及的意义去推断．3．要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对全部的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题．4．要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成马上可；若经过逻辑推理得到命题对全部的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.1．下列语句不是命题的有()①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<7.A．0个B．1个C．2个D．3个B[①③是可以推断真假的陈述句，是命题；②不能推断真假，不是命题．]2．下列命题是存在量词命题的是()A．对顶角相等B．正方形都是四边形C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于1D[选项D中含有存在量词“存在”，所以依据存在量词命题的定义知选D.]3．下列命题：①全部合数都是偶数；②x∈R，(x－