人教版九年级数上册 全册课时作业

21.1一元二次方程

一、选择题

1.（2023河北保定期末）下列方程是一元二次方程的是（）

A.ar2+te+c=0（ti>b、c是常数）B.Z^+Sx-1=2（x2-4）

Cf+2=0

0.4^+-X=5

2.（2023四川达州达川期末）一元二次方程3^+1=5x的二次项系数，一

次项系数,常数项分别是（）

A.3,5』B.3』,5C.3,-5,1D.3』,-5

3.（2023青海西宁城西期末）若m是方程/+工-1=0的根，则2/n2+2/n+

2022的值为（）

A.2024B.2023C.2022D.2021

4.（2023福建泉州期末）某足球赛小组内比赛采用单循环制，即每支球

队必须和其余球队比赛一场.现A组有x支球队参加，共比赛了28场,

则下列方程中符合题意的是（）

AJC（X-1）=28B.-x（x-1）=28

1

C.-x（x+1）=28D.x（x+1）=28

二、填空题

5.（2022广东中考）若是方程P2x+a=0的根，则a=.

6.已知》1-2一是关于x的一元二次方程，则卜的值

为.

三、解答题

7.把方程(3x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次

项系数和常数项.

8.已知关于X的方程(加2・1)炉-("2+1)]+用=0.

⑴当加为何值时，此方程是一元一次方程？

⑵当m为何值时，此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二

次项系数、一次项系数及常数项.

9.已知户，+3x-10=0和铲4+6光+8=0都是一元二次方程,

求(VH-VF)2023X(Va+圾2024的值.

答案全解全析

1.答案CA项,。=0时，狈2+法+c=0不是一元二次方程;B项,整理得

31+7=0,不是一元二次方程;C项,/+2=0是一元二次方程;D项,4好£二5

是分式方程,故选C.

2.答案C化为一般形式为3/・5x+l=0,・•・二次项系数,一次项系数,

常数项分别是3,-5,1.故选C.

3.答案A丁根是方程x^+x-i=0的根，,加2+怯1=0,ni2+m=l,/.

2m2+2^+2022=2(/n2+/n)+2022=2x1+2022=2024.故选A.

4.答案B根据题意得其x-l)=28.故选B.

5.答案1

解析把x=\代入方程F2x+〃=0中，得1・2+所0,解得67=1.

6.答案-2

解析由小一2一VT=Tx+1=0是关于x的一元二次方程，得3.2=2,

且1-40,解得仁2.

7.解析去括号，得3f-9x+2x-6=2x-6,

移项，合并同类项，得3r-9户0,

所以它的二次项系数是3,一次项系数是-9,常数项是0.

8.解析⑴根据一元一次方程的定义可知加勺=0厂(切+1)力0,

解得m=\,

・・・当加=1时，此方程是一元一次方程.

⑵根据一元二次方程的定义可知M-1W0,

解得加W±l,・・・当机#±1时，此方程是一元二次方程.

此时一元二次方程的二次项系数为机2-1,一次项系数为常数项

为m.

9.解析由题意得3・。=2,即〃=1；

3。-4=2,艮Pb=2.

(Va-Vb)2023x(VH+VF)2024

=[(Va4-yfb){y[a—VF)]2023x(Va+Vb)

=(«-Z?)2023(Va+yfb),

把a=\,b=2代入，

2023

得原式=(1-2)x(l+V2)=-1-V2.

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1课时直接开平方法

一、选择题

1.(2023天津津南期末)一元二次方程(=2的解为()

A.XI=V2,X2=-V2B.XI=1,X2=2

C.XI=%2=V3D.xl=x2=-V3

2.(2023河北唐山路北月考)关于x的方程(工-2)2=1-〃?无实数根，那么m

满足的条件是()

A.〃»2B."2<2C.ni>lD.m<l

3.(2022湖北恩施州咸丰期末)如果5是关于工的方程/-°=0的一个根,

那么这个方程的另一个根是()

A.25B.-25C.-5D.V5

4.(2022河北沧州南皮月考)老师出示问题:“解方程f-4=0.”四位同学

给出了以下答案：

甲支二2；乙：沏=尬=2；丙Lri=X2=-2；T：XI=2,X2=-2.

下列判断正确的是()

A.甲正确B.乙正确C.丙正确D.丁正确

二、填空题

5.(2023福建三明尤溪期中)对于解一元二次方程(尤+3)2=4,通过降次转

化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是“3二2,则另一个一

元一次方程是.

6.小明设计了一个如图所示的实数运算程序,若输出的数为5,则输入

的数x为.

输入乂­"回~»丽

三、解答题

7.解下列方程：

(1)2^=16；

(2)3^-1=26；

(3)2(x-l)2=i

O

8.李老师在课上布置了一个如下的练习题:

若（x2+产3产=16,求f+V的值.

看到此题后,晓梅立马写出了如下的解题过程：

解:・・・（/+产3）2=16Q

・,./+）2・3=±4,②

・,・/+），2=7或f+y2=.1.③

晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤.

答案全解全析

1.答案Af=2,开方得x=土近，即所企因二班.故选A.

2.答案C当1■根＜0时，方程无解，即加＞1.故选C.

3.答案C将x=5代入方程，得25-片0,解得。=25,・,•方程为P25=0,

则x2=25,

/•x=5或x=-5,即这个方程的另一个根为x=-5.故选C.

4.答案D•・・32_4=0,.・・£=4,则X\=2,X2=-2,/.丁正确.故选D.

5.答案x+3=-2

解析（龙+3y=4,.”+3=±2,Ax+3=2或x+3=-2.

6.答案土遥

解析依题意知xM=5,.••1x2=5+l,「.x2=6,，4土遥，则输入的数x为

±V6.

7.解析（1）二次项系数化为L得（=8,

开平方，得x=±2^2t

x\=2V2,X2=-2V2.

⑵移项、合并同类项，得3f二27,

二次项系数化为1,得f=9,

开平方，得x=±3,

^X\=3,X2=-3.

⑶两边同时除以2,得（41尸二，

16

开平方，得心口土3

4

・53

・・所产=1

8.解析第③步出错了，正确解题步骤如下：

・・・伊+产3）2=16,

・,・/+），2-3二±4,

,.•/+）220,

.♦.f+y2=7.

21.2.1配方法

第2课时配方法

一、选择题

1.（2022山西晋中寿阳月考）用配方法解一元二次方程f+8广・7,下一步

骤正确的是（）

A.^+8x+42=-7+42Bf+8x+42=・7

C./+&X+82=-7D./+8X+82=・7+8?

2.（2022湖北恩施州期末）用配方法解下列方程，其中应在方程的左右

两边同时加上4的是（）

Af-2x=5B.x2+4x=5C.x2+2x=5D.2f-4x=5

3.(2023河南南阳卧龙期末)用配方法解一元二次方程/_6『4=0,变形

后的结果正确的是()

A.(X-6)2=-5B.(X-6)2=5

C.(x-3)2=13D.(x-3)2=5

4.(2022河北沧州南皮月考)已知方程f・6x+4=口，等号右侧的数字印刷

不清楚.若可以将其配方成(x-p)2=7的形式，则印刷不清的数字是

()

A.6B.9C.2D.-2

二、填空题

2

5.(2023广东佛山南海期中)用配方法解方程%心-3=0,配方得(户团)2=7,

则常数m的值是.

6.(2023陕西汉中宁强期末)如果方程/+4/+〃=0可以配方成(x+m)2=3,

那么(〃・m)2023=

三、解答题

7.用配方法解下列方程：

⑴x2+12x-15=0；

⑵3/-5%=2；

⑶工/*4=0.

4

8.（2023广东惠州惠阳开学测试）用配方法解一元二次方

程：2炉+31+1=0.小明同学的解题过程如下：

解人+|%+1=0,

X2+三14----4--=0,

2442

1+丁，

」3,V7

2~2

3+V73-V7

汨二-工―,12二-三一.

小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“正确”；若错误，请写出你的

解题过程.

9.(2023河南周口沈丘期末)阅读材料:在求多项式/+以+8的最小值时,

2222

小明的解法如T：X+4X+8=X+4X+4+4=(X+2)+4,0为(x+2)20,所以

("2)2+424,即/+以+8的最小值为4.请仿照以上解法，解决以下问题:

⑴求多项式2%2+16x+20的最小值；

⑵猜想多项式-f+12x・25有最大值还是最小值，并求出这个最值.

答案全解全析

1.答案A由e+SA，,得/+心+代4+夕.故选A.

2.答案B选项A中,配方，得P2x+1=5+1，即(x-l)2=6,不合题意;选项

B中，配方，得/+以+4=5+4,即-2)2=9,符合题意;选顼C中，配方，得

f+2x+l=5+L即(x+l)2=6,不合题意;选项D中，方程化为P2x=|,配方,

得P2x+l=|+l,即(心1)2W,不合题意,故选B.

3.答案Cf-Gx/uO,配方得P6x+9=4+9,即(x・3)2=13.故选C.

4.答案c设印刷不清的数字是4・・・a-p)2=7,即a2px+p2=7,；.

*-2px=7-p2,・・・P2px+4=lI-/,•.・方程x2-6x+4=Q的等号右侧的数字印

刷不清楚且可以将其配方成(心p)2=7的形式，・・・・2p=6M=U-p2,：.

〃=3,。=11・32=2,即印刷不清的数字是2,故选C.

5.答案-2

22

解析方程炉・4%・3二0,移项，得r・4%=3,配方，得x-4x+4=3+4,(x-2)=7z

/.m=-2.

6.答案-1

解析方程(+4冗+〃=0移项，得工2+4户-及,配方，得f+4x+4=4-〃,即

0232023

(X+2)2=4-〃，又(1+加)2=3,/.tn=2,n=1,则(/w力2=(i-2)=-l.

7.解析⑴移项，得/+12x=15,

22

配方，得丫+12X+6=15+6,

即(X+6)2=51,

/.x+6=±V51/

解得xi=-6+V51,X2=-6-A/51.

⑵方程两边都除以3,得号%=|,

配方，得F|x+(-3=：+(-》，

即(1)7,

57

.・.X—=±।-

66’

解得X1=2,X2=-1.

⑶方程两边都乘4,得P4x.16=0,

移项，得f-4x=16,

配方，得/心+(-2)2=16+(-2)2,

即(*2)2=20,

/.x-2=±2V5,

解得汨=2+2西阳=2-2遍.

8.解析小明的解题过程不正确，

正确的解题过程如下：

原方程可化为占|%+呆0,

移项，得=

配方，得f+lx+Cf=,

即1+Z

开方，得x+^=±*

即x+7=；或％+：=

4444

解得X1=T，X2=・L

9.解析(1)•・•泊+16x+20=2(/+8x+16)-12=2(x+4)2-l2,由(工+4尸20,

得2(x+4)2-122・12,

・・・多项式加+161+20的最小值是-12.

(2)-x2+12x-25=-(x2-12x+36)+ll=-(x-6)2+l1,

2

V-(x-6)^0z

・・・G6)2+11〈1L

・••多项式・f+12x.25有最大值，最大值为11.

21.2.2公式法

一、选择题

1.（2019湖南郴州中考）一元二次方程2f+3x-5=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

2.（2023上海黄浦期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的

方程是（）

A./+』B.（x-2）2=5

C.x1+2x=0D.2X2・V5X+1=0

3.（2023河北沧州东光月考）若下列方程都存在实数根，则以

A・5x・c=0BF+Sx-cu。

C.f・5元+c=0D^+Sx+c-O

4.（2022青海西宁中考）关于x的一元二次方程2x2^x-k=0没有实数根,

则火的取值范围是（）

A.k<—B.左<一C.k>—D.A2・一

8888

二、填空题

5.(2022江苏徐州中考)若一元二次方程x2+x.c=0没有实数根，则c的取

值范围是.

6.(2022广东佛山三水开学测试)方程2^-10x=3的解

是.

7.等腰三角形的两边长是方程f-2&x+l=0的两根，则它的周长

为.

三、解答题

8.用公式法解下列方程：

(1)(2021湖南常德中考濡*2=0；

(2)3X2+1=2V3X；

(3)2(X-1)2-(X+1)(1-X)=(X+2)2.

9.小明在解方程f-5x=l时出现了错误，解答过程如下：

,:a=llb=-5,c=L(第一步)

AJ=/?2-4ac=(-5)2-4x1x1=21,(第二步)

...卡誓，(第三步)

.••X尸纪学,及=手.(第四步)

⑴小明的解答过程是从第步开始出错的，其错误原因

是一；

⑵写出此题正确的解答过程.

10.(2023四川成都金牛期末)已知关于x的一元二次方程

x2+(2/n+l)x+nr+1=0.

⑴若方程有实数根,求实数m的取值范围；

⑵若方程一实数根为・3,求实数m的值.

答案全解全析

1.答案B一元二次方程2x2+3x-5=0中,/=32-4X2X(-5)=49>0,Z.该方

程有两个不相等的实数根故选B.

2.答案AA项片-x+；=0,・・・/=(-l)2-4xlx；=0,・••方程有两个相等的实

数根;B项也4x・l=0,・・・/=(-4)2・4X(-1)=20>0,/.方程有两个不相等的实

数根;C项,/+2下0,,・・4=22-4x1x0=4>0,/.方程有两个不相等的实数

22

根;D^/2x-V2x+l=0rVJ=(-V2)-4x2xl=-6<0,A方程没有实数根.故选

A.

3.答案BA项,此方程的根为广出等，不符合题意;B项,此方程

的根为广上等”符合题意;C项,此方程的根为尸归尹，不符合题

意;D项,此方程的根为户-5±了府,不符合题意.故选氏

4.答案A・・•关于x的一元二次方程2^+“仁0没有实数根,・・・/<0,

2

・,.1-4X2X(-Z：)<0/

・・・l+8Z<0,.・・M上故选A.

8

5.答案c<--

4

解析根据题意得』=12+4”0,解得C<-1

4

(俭安5+同5-V31

6.答案xi=—,X2=—

解析原方程移项，得2X2-10x-3=0,VJ=(-l0)2-4X2X(-3)=100+24=124,

.10±V124_10±2V31_5±VH

••X——―i

442

5+V315-V31

--X\=—^—,X2=-

7.答案3V2+1

解析解方程f-2V2x+l=Oz得x\=V2+1,X2=A/2-1.V

等腰三角形的两边长是方程%2-2V2x+l=0的两根，，等腰三角形的

三边长分别为①a+1,&+1,奁-1或②&+1,声-1,或-l.vV2+

1>或-1+或」・,•②不能构成三角形，，等腰三角形的三边长分别

为/+1,々+1,&」・,・它的周长为3V2+1.

8.解析(1]a=\,b=-l,c=-2,

2

J=fe2_4ac=(-l)-4x1x(-2)=9>0,

«—「±，匕2-4ac1+V91±3

.・.r=---------2--a---------=-----2----=—2,

/*X1=2,X2=-1.

⑵整理，得3/・2岳+1=0,

a=3lb=-2y/3lc=\l

A=b2-4ac=(-2V3)2-4x3x1=0,

.2V3±V0

••X-/

2x3

・V3

.»X\=X2=一.

3

2

⑶整理，得2x-8x-3=0,

tz=2/Z?=-8/c=-3,

/%2_4ac=(-8)2-4x2x(-3)=88,

.8±2y/224±V22

..x=--------=——,

2X22

.4+V224-V22

..X\-------.X2=------.

22

9.解析(1)一;没有将原方程化成一般形式.

⑵将原方程化为一般形式为f-5x-l=0,

・.・a=llb=-5,c=-ll

：.^l=b2-4ac=(-5)2-4x1x(-1)=29.

.5±V29Hn5+V295-V29

..X=-HPX!=-X2=—

10.解析⑴1/=2m+1,(7=团2+1,方程有实数根,

/.J=(2m4-1)2-4Xl-(m2+l)=4/n-320,

.•./n2=

4，

即实数机的取值范围为机2；

⑵方程一实数根为・3,

2

则9-6m-3+m+l=0/

/./??-6〃2+7=0,

2

/.nr-6m+9=2,/.(zn-3)=2z

//i1=3+V2,/n2=3-V2,

由⑴得当加2：时，方程有实数根，

・••两个解都符合题意，

J实数m的值为3+直或3-V2.

21.2.3因式分解法

一、选择题

1.(2023山东青岛市南期末)方程f=2x的根是()

A.x=2B.x=0C.XI=-2,X2=0D.xi=0rX2=2

2.(2023湖南郴州汝城期末)方程x(x-3)=x-3的解是()

A.x=3B.XI=0,X2=3

C.XI=1,X2=3D.XI=1,X2=-3

3.(2023湖南娄底涟源期中)若方程x2+px+^=0的根是xi=2和&=3,则

代数式Ppx+q可分解因式为()

A.(x-2)(x-3)B.(x+2)(x+3)

C.(x+2)(x-3)D.(x-2)(x+3)

4.(2021四川雅安中考)若直角三角形的两边长分别是方程f-7无+12=0

的两根，则该直角三角形的面积是()

A.6B.12C.12或誓D.6或苧

二、填空题

5.(2022海南海口期末)已知关于x的一元二次方程f+bx+c=0的两个

实数根分别为2和・3,分解因式P+法+广.

6.方程(x)(x-3)=0和方程/-2犬・3=0同解，则m-.

7.(2023广东深圳龙岗期末)规定:在实数范围内定义一种运算“◎”，其

规则为。◎氐〃(a+b),则方程(x・2)©7=0的根为.

三、解答题

8.(2021甘肃庆阳镇原期末)解方程：

(l)(2x+3)2-81=0；

⑵/7y+6=0；

(3)x(2x+l)=2x+l.

9.多项式乘法：(x+〃)a+b)=/+(〃+协:+她将该式从右到左使用，即可得

到“十字相乘法”分解因式的公式：炉+(。+协；+次ka+q)a+》).

示例:分解因式＜+5%+6=寸+(2+3)工+2乂3=(无+2)(x+3).

(1)尝试:分解因式：f+6x+8=(x+)(x+)；

⑵应用:请用上述方法解方程言③.4=0.

10.（2022甘肃白银期末）小明与小霞两位同学解方程3（r3）二（『3）2的过

程如下：

小霞：

小明：移项，得3(x-3)-(x-3尸=0,

两边同除以（43）,得3二外3,提取公因式，得(x-3)(3・x・3)=0,

则x=6.贝IJ43=0或3-x-3=0,

解得Xl=3,X2=0.

请你分别判断他们的解法是否正确，若都不正确，请写出你的解答过

程.

11.（2022河北唐山期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随

后用手掌捂住了一部分，形式如下：

二f-5尢+6.

⑴当A1时，求所捂部分的值；

⑵若所捂部分的值为0,求X的值；

⑶若所捂的部分为2f・x+10,求x的值.

答案全解全析

1.答案Df=2x,移项，得因式分解，得x(x-2)=0,则有x=O或

心2=0,解得即=0,初=2.故选D.

2.答案C原方程移项，得Mx・3)・(x-3)=0,因式分解，得(犬・3)(、・1)=0,解

得为=1阳=3.故选C.

3.答案B,:方程x2+/?x+^=0的根是xi=2和%2=3,/.

f+px+q=(尤・2)(x・3),贝I]x2+px+q=x2-5x+6,/.p=-5,q=6,/.

x2-px+^=x2+5x+6=(x+2)(x+3).AijitB.

4.答案D方程12-71+12=0,因式分解，得Cr-3)(x-4)=0,解得x=3或x=4.

①当长是4的边是直角边时,，该直角三角形的面积是$<3x4=6；②当长

是4的边是斜边时，第三边的长是祈矛=V7,该直角三角形的面积

是[x3x77=字故选D.

5.答案(x・2)(x+3)

解析・・,关于x的一元二次方程公+。=0的两个实数根分别为2和

-3,

/.^r+bx+c=(x-2)(x+3).

6.答案-1

解析解方程9・2¥・3=0,得XI=3,%2=-1,解方程(x・M(x・3)=0,得

X1=加,12=3,

•方程a・M(x-3)=0和方程「然小二。同解,

7.答案XI=2,X2=-5

解析由题意得(x・2)(x・2+7)=0,即(42)。+5)=0,则有42=0或x+5=0,解

得XI=2,X2=-5.

8.解析(1)移项，得3+3)2=81,

开平方，得2%+3=±9,

所以xi=3,i2=・6.

⑵因式分解，得。・l)G-6)=0,

所以y・l=0或y-6=0,

所以8=1,”=6.

⑶移项，得M2x+l)・(2x+l)=0,

因式分解，得(2x+1)(41)=0,

所以2x+l=0或x・l=0,

解得的=・0.5户2=1.

9.解析(1)2；4.

(2)V^-3%-4=0,

.•.x2+(-4+l)x+(-4)xl=0,

/.(x-4)(x+l)=0,

贝I」x+l=0或x-4=0,

解得4・1或x=4.

10.解析小明:错误;小霞:错误.

正确的解答方法：

2

移项，得3(x-3)-(x-3)=0z

提取公因式，得(x-3)(3・x+3)=0,

贝ijx-3=0或3-尤+3=0,

解得XI=3,X2=6.

11.解析⑴当x=\时片・5/+6=12・5'1+6=2,即所捂部分的值为2.

2

⑵根据题意得X-5X+6=0,

因式分解，得（13）卜2）=0,

即x-3=0或x-2=0,

解得XI=3,X2=2,

即x的值为2或3.

⑶根据题意，得2x2-x+10=x2-5x+6,

整理，得f+以+4=0,

即（x+2）2=0,

解得X[=X2=-2,

即x的值为2

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题

1.（2021江苏盐城中考）设孙元2是一元二次方程炉・级.3=0的两个根，则

X1+X2的值为（）

A.-2B.-3C.2D.3

2.（2023河北石家庄桥西期末）已知2是关于x的一元二次方程

f-6x+c=0的一个根,则另一个根是（）

A.2B.3C.4D.8

3.（2021广西玉林中考）已知关于x的一元二次方程P2x+〃-0有两个

不相等的实数根孙X2，则（）

A.Xl+X2<0B.XlX2<0C.X1X2>-1D.X|X2<1

4.（2021广西贵港中考）已知关于x的一元二次方程x2依+h3=0的两个

实数根分别为孙孙且好+蟾=5,则k的值是（）

A.-2B.2C.-lD.1

5.（2021贵州遵义中考）在解一元二次方程f+px+q=0时,小红看错了常

数项/得到方程的两个根分别是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方

程的两个根分别是5,-4,则原来的方程是（）

A.X2+2X-3=06.^+2¥-20=0

C.x2-2x-20=00.^-2¥-3=0

二、填空题

6.（2022湖南娄底中考）已知实数孙也是方程/+/-1=0的两根，则

X1X2=.

7.（2021黑龙江绥化中考）己知犯〃是一元二次方程P3x-2=0的两个根,

8.（2023山东荷泽东明期末）若一元二次方程（+办:-2025=0的两个根

分别为加人则代数式>+3加+〃的值为.

三、解答题

9.（2023湖北恩施州月考）已知方程P3x+l=0的两个根分别为即和x2,

不解方程，求下列各式的值：

（1）（X|-1）（X2-1）；

上+3

%1+1x2+l

10.（2022北京海淀期末）己知关于x的一元二次方程f+（2.〃必+1.加=0.

⑴求证:该方程总有两个实数根；

⑵若加＜0,且该方程的两个实数根的差为3,求m的值.

答案全解全析

1.答案C在一元二次方程/々工小二。中，〃=l,b=-2,JXI+JQ=心=2.故选

C.

2.答案C设方程的另一个根是xi,V2是关于x的一元二次方程

P6x+c=0的一个根,，2+汨=6,・••无尸4,・♦•该方程的另一个根是4.故选

C.

3.答案D根据题意得》+%2=2,/二(・2)2・4切＞0,解得机＜1,所以

尤1%2=加＜1.故选D.

4.答案D•・,关于x的一元二次方程/・履+上3=0的两个实数根分别

为X\,X2,X\-^X2=k,X\X2=k-3.•/好+%2=5,；・(X1+X2)2-2X1X2=5,；・

R・2(Z・3)=5,整理得3・2攵+1=0,解得防=22=1.故选D.

5.答案B设此方程的两个根分别是%S，根据题意得

a+£=・p=・3+l=-2,3=g=5x(-4)=・20,「.〃二？，・•.以为根的一元二次方

程是小+法・20=0.故选B.

6.答案-1

解析二•方程・中的a=,c=-

f+xl=O11,/.%iX2=a-=-1.

7.答案-|

解析Vtn,n是一元二次方程r-3太-2=0的两个根，，加+〃=3,"2〃=・2,.\

1,1m+n3

-m---F-n=mn-=---2.

8.答案2023

解析,・,一元二次方程/+2x-2025=0的两根分别为〃2,〃,.・.

2222

/n+«=-2//n+2/n-2025=0,即/n+2/n=2025,m+3zn+n=/n+2w+/n+n=2

025-2=2023.

9.解析⑴由题意知X1+A：2=3,X1X2=1.

(X1-1)(X2-1)=X1X2-(X|+%2)+1=1-3+1=-1.

⑵含+含

x2(x2+l)+Xl(Xl+l)

(5+1)(%2+1)(必+1)(%2+1)

_送+好+X1+M

/

x1x2+(x1+x2)+l

VX1+X2=3/X1X2=1/

22

/.+X2=(xi+X2)-2xiX2=3-2xl=7,

.x,Xt_xl+xl+x+x7+310.

2t2------=——=2.

%1+1x2+lx1x2+(x1+x2)+l1+3+15

10.解析⑴证析,:J=(2-/n)2-4xlx(l-7n)=m220,

・,・原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根,

即该方程总有两个实数根.

⑵设该方程的较大的实数根为孙较小的实数根为应

依题意，得X|-X2=3,X1+X2=W-2,X|X2=1-m,

,:(xi-X2)2+4X1X2=(X1+X2)2,

22

/.3+4(l-/??)=(/?t-2),

整理，得整理,

解得m=3或〃2=・3,

・・・加＜0,

A/?7=-3.

213实际问题与一元二次方程

第1课时传播问题与单、双循环问题

一、选择题

1.（2023重庆江津期末）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有

一人感染了此病毒，未被有效隔离,经过两轮传染，共有196名感染者,

在每轮传染中，设平均一个人传染了x人,则可列方程为（）

A.l+x=196B.（1+X）2=196

C.l+^=196D.l+x+^196

2.（2022四川自贡期末）距期末考试还有20天的时候，为激励大家，班主

任要求班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言,

小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，则该学习小组共有

学生（）

A.4人B.5人C.6人D.7人

3.（2022湖南长沙岳麓模拟）为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书,

决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表

在自己的微博上,再邀请，个好友转发，每个好友转发之后，又各自邀请

n个互不相同的好友转发,依此类推.已知经过两轮转发后，共有111个

人参与了宣传活动，则〃的值为（）

A.9B.10C.UD.12

4.（2023广东佛山南海月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践中,

发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目

的小分支,主干、支干和小分支的总数是57,则这种植物每个支干长出

的小分支的个数是（）

A.8B.7C.6D.5

二、填空题

5.（2023北京西城月考）参加活动的每个人都和其他人各握了一次手,

所有人共握手10次,有多少人参加活动?设有x人参加活动，可列方程

为.

6.（2023天津红桥期末）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本

组其他成员各赠送一件,全组共赠送了210件，则全组共有名

同学.

三、解答题

7.（2022陕西宝鸡凤翔期末）有一个人患了流感,经过两轮传染后有若

干人患上流感.假设在每轮的传染中平均一个人传染了尢个人.

⑴第二轮被传染上流感的人数是;（用含x的代数式表示）

⑵在进入第二轮传染之前,如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过

两轮传染后是否会有81人患上流感的情况发生?请说明理由.

8.（2021广西北流期中）某生物实验室需培育一群有益菌，现有90个活

体样本，经过两轮培育后,总和达36000个，其中每个有益菌每一次可

分裂出若干个相同数目的有益菌.

⑴每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌？

⑵按照这样的分裂速度,经过三轮培育后有多少个有益菌？

答案全解全析

1.答案B・・,在每轮传染中，平均一个人传染了x人;第一轮传染中

有x人被传染，第二轮传染中有Ml+x）人被传染.根据题意，得

1+尢+武1+式）=196,即（1+工）2=196.故选B.

2.答案C设该学习小组共有学生x人,则每人需写（x・l）份拼搏进取

的留言，依题意得x（“l）=30,整理得解得a=6,检=5（不合题意,

舍去）.故选C.

3.答案B依题意，得1+〃+/=111,解得功二10,〃2二-11（不合题意，舍去）.

故选B.

4.答案B设这种植物每个支干长出的小分支的个数是即依题意得

l+x+f=57,整理得了+尢・56=0,解得羽=7幽二-8（不合题意,舍去），，这种

植物每个支干长出的小分支的个数是7.故选B.

5.答案号^二10

解析有工人参加活动,由题意，得卓3=10.

6.答案15

解析设全组共有x名同学，由题意，得x（x-l）=210,

解得后15或尸-14（舍去），即全组共有15名同学.

7.解析⑴无（X+1）.

⑵经过两轮传染后会有81人患上流感的情况发生，理由如下:

依题意，得l+x+x（x+l-4）=81,

整理，得1-统用。二。，

解得x尸10陷=-8（不合题意，舍去），

•・・x=10为正整数，

・・・第二轮传染后会有81人患上流感的情况发生.

8.解析（1）设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌，

依题意，得90（l+x）2=36000,

解得汨=19,及=・21（不合题意，舍去）.

答:每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌.

（2）36000x（1+19）=720000（个）.

答:按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有720000个有益菌.

21.3实际问题与一元二次方程

第2课时增长率问题与销售问题

一、选择题

1.（2022重庆中考B卷）学校连续三年组织学生参加义务植树,第一年

共植树400棵,第三年共植树625棵,设该校植树棵数的年平均增长率

为x,根据题意，下列方程正确的是（）

A.625（1㈤2=400B.400（1+X）2=625

C.625^=4000.400^=625

2.（2021辽宁阜新中考）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均

阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该

校七至九年级人均阅读量年均增长率为匹根据题意，所列方程正确的

是（）

A.100(1+X)2=121B.100x2(1+»=121

C.100（l+2x）=121D.100（1+X）+100（1+X）2=121

3.（2023河北邢台南宫期末）2022年7月至9月，市场上某款新能源汽车

的售价由260000元/辆下降到210600元刷，则该款汽车售价的月平

均下降率是（）

A.5%B.10%C.15%D.20%

4.（2023广东深圳南山期末）超市经销一种水果，每千克盈利10元每天

销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千

克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（）

A.15元或20元B.10元或15元

C.10元或20元D.5元或10元

二、填空题

5.（2021四川宜宾中考）据统计,2021年宜宾市第一季度实现地区生产

总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该

市第二、三季度地区生产总值平均增长率为％则可列方程

为.

6.（2021浙江杭州萧山期中）商场某种商品进价为120元/件，当售价为

130元/件时，每天可销售70件;当售价高于130元/件时,每件商品每涨

价1元，日销售量就减少1件.据此，当售价为元/件时，商

场每天盈利可达1500元.

三、解答题

7.（2023广东广州海珠为明学校开学测试）某共享汽车租赁公司年初在

某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元.据统计，三

月份的全天包车数为25,在租金不变的基础上，四、五月份的全天包车

数持续走高，五月份的全天包车数达到64.

⑴若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车

数的月平均增长率；

⑵从六月份起，该公司决定降低租金,尽可能地让利于顾客，经调查发

现，租金每降价1元，全天包车数增加1.6,当租金降价多少元时，公司将

获利8800元？

8.（2021山东滨州中考）某商品原来每件的售价为60元,经过两次降价

后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同.

⑴求该商品每次降价的百分率；

⑵若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将该

商品库存的20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于

200元，则第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？

答案全解全析

1.答案B由题知该校植树棵数的年平均增长率为用第一年共植树

400棵，则第二年共植树400(1+%)棵,第三年共植树400(l+x)2棵,因为第

三年共植树625棵,所以列方程为400(l+x)2=625.故选B.

2.答案A该校七至九年级人均阅读量年均增长率为九，则八年级人

均阅读量为100(1+、)万字,九年级人均阅读量为100(l+x)2万字,列方程

为100(l+x)2=121.

3.答案B设该款汽车售价的月平均下降率是从根据题意得260

000(1㈤2=210600,解得为=0.1=10%,&=1.9(不符合题意,舍去),・・.该款

汽车售价的月平均下降率是10%.故选B.

4.答案D设每千克水果应涨价x元，

依题意得(500・20x)(10+x)=6000,整理，得xM5x+50=0,解得乃=5阳=10,

即每千克水果应涨价5元或10元.故选D.

5.答案652(1+x)2=960

解析该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为％则第三季度地

区生产总值为652(l+x)2亿元可列方程为652(1+X)2=960.

6.答案150或170

解析设售价为尢元/件,则每天可销售70・(4130)=(200.»件，依题意得

(x-120)(200-x)=l500,整理得f・32ftx+25500=0,解得为=150,及=170.故

当售价为150元/件或170元/件时，商场每天盈利可达1500元.

7.解析(1)设全天包车数的月平均增长率为无

根据题意，得25(1+X)2=64,

解得％1=0.6=60%阳=-2.6（不合题意，舍去）.

答:全天包车数的月平均增长率为60%.

⑵设租金降价a元，则（120㈤（64+1.6。）=8800,

化简，得次・80。+700=0,

解得〃尸1（）,。2=7（）.

因为公司要尽可能地让利于顾客,所以取。二70.

答:当租金降价70元时，公司将获利8800元.

8.解析（1）设该商品每次降价的百分率为历

由题意可得,60（1㈤2=48.6,

解得x[=0.l=10%,X2=1.9（不合题意，舍去）.

答:该商品每次降价的百分率是10%.

⑵设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-力件，

由题意可得,[60x（l・10%）・40]a+（48.6-40）x（20・a）2200,

解得a25弟

,.Z为整数,，。的最小值是6.

答:第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.

21.3实际问题与一元二次方程

第3课时图形问题

一、选择题

1.（2023广东广州番禺期末）如图，有一张长为12cm,宽为9cm的矩形

纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个

无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm）求剪

去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是xcm,根据题意，可

列方程为

A.12x9-4x910B.12x9-4x2=70

C.（l2・x）（9・x）=70D.（l2-2x）（9-2x）=70

2.（2023湖南衡阳衡山期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域（图

中阴影部分）进行绿化，剩余的矩形空地面积为30n?则原正方形空地

的边长为

3.（2022山西太原期末）学校计划在长为12m,宽为9m的矩形地块的

正中间建一座劳动实践大棚,大棚是占地面积为88n?的矩形.建成后,

大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（）

A.1.8mB.1.5mD.0.5m

4.（2022浙江绍兴竦州期末）空地上有一堵长为。米的旧墙MN,利用旧

墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2）,已知木栏总长为40米，所

围成的菜园面积为S平方米,下列说法错误的是（）

图1图2

A.若。=16,5=196,则有一种围法

B.若斫20,S=198,则有两种围法

C.若〃=24,S=198,则有两种围法

D.若。=24,5=200,则有一种围法

二、填空题

5.（2022浙江衢州中考）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样

如图所示.利用容积列出图中Mem）满足的一元二次方程:（不

必化简）.

I*20cm►

TTTFT

15cm

6.（2022浙江台州仙居期末）如图，在一块长为22m,宽为14m的矩形空

地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草.若花草的种植面积

为240n?,则小路的宽为m.

三、解答题

7.（2021湖南郴州期末）如图，某居民小区改造，计划在居民小区的一块

长50米，宽20米的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩

形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且两块矩形绿地的面积

之和为原矩形空地面积的;那么人行通道的宽度是多少米?

4

20米

50米

8.（2022四川成都青羊期末）如图,有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长

为11米）,另三面用篱笆围成如图所示的矩形花圃.

⑴如果要围成面积为64平方米的花圃，那么AD的长为多少米？

⑵能否围成面积为80平方米的花圃?若能，求出AD的长;若不能，请说

明理由.

DC

----------

答案全解全析

1.答案D由题得剪去的小正方形的边长是xcm,则纸盒底面的长

为(12-2x)cm,宽为(9-2x)cm,,・,纸盒的底面面积是70cm2,/.

(12・2x)(9・2x)=70.故选D.

2.答案C设原正方形空地的边长为xm,依题意有(13)(12)=30,解

得汨=8,12=3(不合题意,舍去)，即原正方形空地的边长为8m.故选C.

3.答案D设大棚外围留下区域的宽度为xm,则大棚的长为

(12-2x)m,宽为(9-2x)m,依题意得(12-2x)(9-2x)=88,整理得2炉-2a+10=0,

解得即=0.5阳=10(不合题意,舍去).故选D.

4.答案A按题图1所示的方法围时,如图，

MN

I).:A

.......................'R

设矩形ABCD的边AB长为x米，则BC长为(40办)米，根据题意得

22

S=(40-2x)x=-2x+40xSa=l6,S=]96时「Zf+dO—igG即x-20x+98=0/

解得即=10+V^,X2=10■企,均不符合题意(不能使40ZW16),故不能按

题图1所示的方法围;当a=20,S=198时厂2?+4(比=198,即^^+99=0,

解得汨=9(不符合题意，舍去),松=11,所以按题图1所示的方法围时，有

一种围法；当〃=24,S=198时,-2/+40户198,即/-20%+99=0,解得

龙尸11陷=9,均符合题意，所以按题图1所示的方法围时,有两种围法;当

tz=24,S=200时,-2x2+40x=200,即x2-20^+100=0,解得X\=X2=10,符合题意,

所以按题图1所示的方法围时,有一种围法.

按题图2所示的方法围时,如图，

MN

b.]A

d'R

设AB的长为y米，则BC的长为史差3米，根据题意得s二义号型=

-y2+彳%,当。=16,5=196时「)，+28产196,解得yi="=14,不符合题意

(不能使28-yN16),所以不能按题图2所示的方法围;当所20,S=198

2

0't/-y+3Oy=198zWWyi=15+375,^2=15-3V5,经检验，仅”=15-3旧符合

题意，所以按题图2所示的方法围时,有一种围法;当所24,5=198

时,・产+32)，=198,解得yi=l6+而乐＞2=16・75^,均不符合题意，所以不能按

2

题图2所示的方法围；当4=24,5=200时f-y+32.y=200/解得

6二16.2旧,竺二16+2值,均不符合题意,所以不能按题图2所示的方法

围.

综上，当d=16,S=196时，无围法;当62=20,5=198时,有两种围法;当

a=24,S=198时,有两种围法;当々=24,5=200时，有一种围法.故A中说法

错误，故选A.

5.答案15x(10㈤=360

解析依题图，得包装盒的高为15cm,长为如0d)皿宽为xcm,则根

据题意，列出关于x的方程为15x(104)=360.

6.答案2

解