期中压轴题专练：压轴题训练（四）（解析版）-人教八下期中考试

八下期中考试压轴题训练（四）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、单选题1．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【答案】C【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．2．如图，在等腰中，，点P是内一点，且，，，以为直角边，点C为直角顶点，作等腰，下列结论：①点A与点D的距离为；②；③；④，其中正确结论有是（）

A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④【答案】C【分析】连结AD，由等腰，可得AC=BC，等腰，可得CD=CP，由余角性质可∠DCA=∠PCB，可证△ADC≌△BPC（SAS）可判断①，由勾股定理DP=，再由，可证△ADP为等腰直角三角形，可判断②，由PB与PD可求BD=2，由勾股定理AB=，可判断③，由面积可判断④即可【详解】连结AD，在等腰中，，∴AC=BC，∵是等腰三角形，∴CD=CP，∴∠ACD+ACP=90°，∠ACP+∠PCB=90°，∴∠DCA=∠PCB，在△ADC和△BPC中，AC=BC，∠DCA=∠PCB，DC=PC，∴△ADC≌△BPC（SAS），∴，①点A与点D的距离为正确，在Rt△DCP中，由勾股定理DP=，在△ADP中，，∴△ADP为等腰直角三角形，∴AD⊥DP，②正确；BD=BP+PD=2，在Rt△ADB中，由勾股定理，AB=，③不正确；，④不正确．故选择：C．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用是解题关键．3．如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】结合题意，根据正方形面积比，计算得，从而得；根据勾股定理性质，计算得；再根据勾股定理计算，得；结合，通过计算得；通过证明，得，结合矩形和四边形、的面积关系计算，即可得到答案．【详解】解：∵∴∵四边形与四边形是正方形∴∴∵∴∵，∴∵四边形+梯形∴∴∴∵，∴，即∵四边形与四边形是正方形∴，∴∴∴∴四边形∵∴四边形是矩形∴矩形四边形四边形四边形∴四边形矩形故选：B．【点睛】本题考查了矩形、正方形、勾股定理、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．二、填空题4．已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为_____．【答案】-【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值．【详解】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x＝8，则y＝18，∵x＞0，y＞0，∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣把x＝8，y＝18代入原式＝﹣＝2﹣3＝-，故答案为：-．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．5．如图，在中，，，是的中点，点在上，过点作，交于点．如果，则四边形的周长是__．【答案】【分析】连接CD，EF，根据AAS证明△AED≌△CFD，再根据勾股定理可得EF的长，由△DEF是等腰直角三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，连接CD，EF，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∵D是AB的中点，∴CD=AB=AD．∴∠DCA=∠A=∠DCB=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠DEF+∠DFC=180°，∵∠AED+∠DEF=180°，∴∠AED=∠DFC，在△AED和△CFD中，，∴△AED≌△CFD（AAS），∴DE=DF，AE=CF=2cm，∴CE=AC-AE=6-2=4（cm），∴EF=（cm），∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE2+DF2=EF2，∴2DE2=EF2，∴DE=DF=EF=，∴四边形CEDF的周长是CE+CF+DE+DF=CE+AE+2DE=AC+2DE=（6+2）cm．故答案为：（6+2）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．6．如图，长方形纸片ABCD中，AD=7，CD=4，将长方形纸片折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF，再沿DF折叠，使点C落在点G处，连接CG，交DF于点I．则线段CG的长度为____．在折痕DF上有一动点P，连接PC，过点P作PH⊥DC交DC于H．则PC+PH的最小值为____．【答案】【分析】由勾股定理可求DF的长，由折叠的性质和面积法可求GC的长、由线段垂直平分线的性质可求GP=PC，当点G、P、H三点共线且时，由PC+PH的最小值，由面积法即可得解．【详解】解：∵将长方形纸片折叠，使点B落在AD上的点E处，∴，∴，∴，∴DF5．∵沿DF折叠，使点C落在点G处，∴，∴DF垂直平分GC，∴，∴S△CDFDF×CIDC×CF，∴CI，∴CG，如图，连接GP，GH，∵DI，∴S△DGCGC×DI．∵DF垂直平分GC，∴GP=PC，∴PH+PC=GP+PH，∴当点G，点P，点H三点共线，且时，PH+PC有最小值为GH，此时GH．故答案为：，．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、最短路径问题、勾股定理；灵活运用这些性质解决问题时本题的关键．三、解答题7．阅读下列解题过程：请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出______；（2）利用上面的解法，请化简：（3）和的值哪个较大，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3），见解析【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）由（1）的方法可得，，，根据可得，据此判断即可．【详解】解：（1）；（2）（3）由（1）的方法可得，∵∴即，．【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．8．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形常态三角形（填“是”或“不是”）；（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为（请按从小到大排列）；（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．【答案】（1）是；（2）：：；（3）△ABC的面积为或6【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；

（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；

（3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，再根据勾股定理求得AC的长，进而求出答案．【详解】解：（1）∵22+42=4×=20，

∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．

故答案为：是；（2）∵Rt△ABC是常态三角形，

∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，

则a2+b2=c2，a2+c2=4b2，

则2a2=3b2，2c2=5b2故，，此三角形的三边长之比为：，当b2+c2=4a2，同理可得结论故答案为：；（3）当CD2+BD2=4×62时，∵AD=BD=DC，∴BD=DC=，AB=在Rt△ABC中根据勾股定理，此时，当CD2+BC2=4×BD2时，∵AD=BD=DC，∴BD=DC=，AB=，在Rt△ABC中根据勾股定理，此时，故△ABC的面积为或．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及新定义．正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．9．如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．（1）如图1，连AO、MO，试证明∠AOM＝90°；（2）如图2，连接AM、AO，并延长AO交对角线BD于点N，∠NAM＝45°，试探究线段DM，MN，NB之间的数量关系并证明；（3）如图3，延长对角线BD至Q，延长DB至P，连CP，CQ，若PB＝2，PQ＝9，且∠PCQ＝135°，则PC＝．（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）MN2＝BN2+DM2，证明见解析；（3）【分析】（1）由直角三角形的性质得AO＝MO＝BE＝BO＝EO，得∠ABO＝∠BAO，∠OBM＝∠OMB，证出∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2∠ABO+2∠MBO＝2∠ABD＝90°即可；

（2）在AD上方作AF⊥AN，使AF＝AN，连接DF、MF，证△ABN≌△ADF（SAS），得BN＝DF，∠DAF＝∠ABN＝45°，则∠FDM＝90°，证△NAM≌△FAM（SAS），得MN＝MF，在Rt△FDM中，由勾股定理得，进而得出结论；

（3）作P关于直线CQ的对称点E，连接PE、BE、CE、QE，则△PCQ≌△ECQ，∠ECQ＝∠PCQ＝135°，EQ＝PQ＝9，得∠PCE＝90°，则∠BCE＝∠DCP，△PCE是等腰直角三角形，得CE＝CP＝PE，证△BCE≌△DCP（SAS），得∠CBE＝∠CDB＝∠CBD＝45°，则∠EBQ＝∠PBE＝90°，由勾股定理求出BE＝4，PE＝6，即可得出PC的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵ME⊥BD，∴∠BME＝90°，∵O是BE的中点，∴AO＝MO＝BE＝BO＝EO，∴∠ABO＝∠BAO，∠OBM＝∠OMB，∴∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2∠ABO+2∠MBO＝2∠ABD＝90°；（2）解：MN2＝BN2+DM2，理由如下：在AD上方作AF⊥AN，使AF＝AN，连接DF、MF，如图2所示：则∠NAF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠NAF＝90°，∴∠BAN＝∠DAF，∵∠NAM＝45°，∴∠FAM＝45°＝∠NAM，在△ABN和△ADF中，，∴△ABN≌△ADF（SAS），∴BN＝DF，∠ADF＝∠ABN＝45°，∴∠FDM＝∠ADB+∠ADF＝90°，∵∠NAM＝45°，∴∠FAM＝45°＝∠NAM，在△NAM和△FAM中，，∴△NAM≌△FAM（SAS），∴MN＝MF，在Rt△FDM中，FM2＝DM2+FD2，即MN2＝BN2+DM2；（3）解：作P关于直线CQ的对称点E，连接PE、BE、CE、QE，如图3所示：则△PCQ≌△ECQ，∠ECQ＝∠PCQ＝135°，EQ＝PQ＝9，∴∠PCE