2025高考数学专项讲义第02讲数列中的新定义综合(学生版+解析)

第02讲数列中的新定义综合（8类核心考点精讲精练）新高考改革后，数列作为高中数学的重要组成部分，在考试中占据了重要的地位。数列的考查不仅限于传统的等差数列、等比数列等基础知识，还涉及到了一些新的定义和概念。这些新定义通常要求考生具备较强的逻辑推理能力和创新思维。在新定义数列的考题中，有以下几种情况：新定义的数列类型：例如，斐波那契数列的变种、递推数列、分段定义的数列等。这些数列的定义和性质可能与传统数列有所不同，需要考生仔细阅读题目，准确理解新定义。数列性质的探究：考生可能需要探究新定义数列的通项公式、递推关系、特殊项的性质等。这要求考生能够灵活运用数学归纳法、数列极限等数学工具。数列与函数、不等式等其他数学知识的综合应用：新定义数列的题目往往与其他数学知识相结合，考查考生的综合运用能力。例如，数列与函数的图像、数列与不等式的解法等。实际问题的数学建模：新高考数学注重考查学生的实际应用能力，因此，数列问题可能会与实际问题相结合，要求考生建立数学模型来解决实际问题。为了应对新定义数列的考题，考生需要：熟悉并掌握高中数学数列的基本概念和性质。增强阅读理解能力，准确把握新定义数列的特点。培养逻辑推理和创新思维，能够独立探究数列的性质。加强与其他数学知识的联系，提高综合运用数学知识解决问题的能力。注重实际问题的数学建模训练，提升解决实际问题的能力。总之，新高考数学数列部分的考查更加注重考生的综合能力，考生需要在平时的学习中注重基础知识的积累，同时加强思维训练和实际应用能力的培养。考点一、斐波那契数列1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第项．2．（2024·贵州遵义·模拟预测）（多选）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即（），则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．91．（2024·河南·模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列an，若数列an的前项和为，且，则的值可能是（

）A．100 B．201 C．302 D．3992．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（

）A．714 B．1870 C．4895 D．48963．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．考点二、差数列及阶差数列1．（23-24高二上·云南昆明·期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足为常数，）的数列称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得成立的最小正整数为（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（2024·全国·模拟预测）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列……(1)求的二阶差数列；(2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和．1．（2024·四川自贡·一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前项分别为，则该数列的第项（

）A． B． C． D．2．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（

）A．7 B．9 C．11 D．133．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）(3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：.考点三、平方数列与类平方数列1．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若数列满足则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且则（

）A．是等差数列 B．是等差数列C．是“平方递推数列” D．是“平方递推数列”1．（2024·海南·模拟预测）（多选）已知数列an满足：①；②，，，，则称数列an为“类平方数列”，若数列bn满足：①数列bn不是“类平方数列”；②将数列bn中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列bn为“变换类平方数列”，则（

A．已知数列，则数列an为“类平方数列”B．已知数列an为：3，5，6，11，则数列aC．已知数列an的前顶和为，则数列an为“类平方数列”D．已知，.则数列an为“变换类平方数列”考点四、数列的单调性1．（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“数列”.(1)已知：，，，数列中其中只有一个数列，它是：；请从另外两个数列中任选一个证明其不是数列.(2)已知数列an满足：，为an的前项和，试求an的通项并判断数列是否为数列并证之.(3)已知数列an、bn均为数列，且，，求证：数列也为数列.1．（24-25高三上·河南·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．(1)若，（），证明：为递减数列；(2)若，且，的前项和记为．①求；②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．(1)若，写出，及的值；(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；(3)设集合，，求证：且．考点五、数列的凹凸性1．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若为“上凸数列”，则当时，．（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．1．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．(1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列，对于任意的正整数，都有则称数列是严格凹数列．(1)若数列，的通项公式分别为，判断数列，是否为严格凹数列，无需说明理由；(2)证明：“对于任意正整数的，当时，有”是“数列为严格凹数列”的充要条件；(3)函数是定义在正实数集上的严格增函数，且数列是严格凹数列，严格增数列（正整数为常数且）各项均为互不相等的正整数，若恒成立，求实数λ的取值范围．考点六、数列的周期性1．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．(1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；(3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．2．（2024·广东珠海·一模）对于数列an，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列an是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列an为纯周期数列；当时，称数列an为混周期数列．记x为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列an满足：.(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；(2)若数列an是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；(3)证明：不论为何值，总存在使得．3．（2024·湖南长沙·一模）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.(1)判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：.(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；(2)若数列是常数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；(3)证明：不论为何值，总存在使得．2．（23-24高三上·北京丰台·期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①；②(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．考点七、数列的新概念1．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.(1)若数列bn的通项公式为，试判断数列bn是否为“数列”，并说明理由；(2)已知数列an①若an是“数列”，，且，求所有可能的取值；②若对任意，存在，使得成立，求证：数列an为“数列”.3．（2024·辽宁·三模）若实数列满足，有，称数列为“数列”.(1)判断是否为“数列”，并说明理由；(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有(3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.4．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列．(1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值；(2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和．(3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．1．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（

）A．若为等差数列，则为内和数列B．若为等比数列，则为内和数列C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列2．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”.(1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”；(2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式；(3)若数列满足：求数列的前项和.3．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．4．（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”．(1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围．(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”．①求数列的通项公式．②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．考点八、数列的新性质1．（2024·山东青岛·三模）（多选）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（

）A．存在具有性质的B．存在具有性质的C．若具有性质，则中至少有两项相同D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同2．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；②求的最小值．1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.(1)若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；(2)若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和.2．（2024·湖北·模拟预测）若项数为的数列满足两个性质：①；②存在，使得，并记是数列的最大项，．则称数列具有性质．(1)若，写出所有具有性质的数列；(2)数列具有性质,若，求的最大项的最大值；(3)数列具有性质,若，且还满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得；（ⅱ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得．求满足上述性质的的最小值．一、填空题1．（2023·陕西铜川·一模）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和.2．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是．①存在等差数列，使得是的“M数列”②存在等比数列，使得是的“M数列”③存在等差数列，使得是的“M数列”④存在等比数列，使得是的“M数列”3．（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（

）A． B． C． D．4．（2024·江苏镇江·三模）若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值.5．（2024·江苏南通·模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列（）的前项和为，且满足，.设为正整数.若存在“数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，则的最大值为.二、多选题6．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（

）A．等差数列是等差比数列B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列D．若数列是等比数列，则数列等差比数列7．（23-24高三上·上海普陀·期末）对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（

）A．若为“s数列”，则为“t数列”B．若，则为“t数列”C．若，则为“s数列”D．若等比数列为“t数列”则为“s数列”8．（2024·河北承德·二模）对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（

）A．等差数列是“线性数列”B．等比数列是“线性数列”C．若且，则D．若且，则是等比数列的前项和9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数，使得对一切正整数，都有，则称为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为收敛数列，如数列，显然对一切正整数都有，而的极限为，即数列既有界也收敛.如数列，显然对一切正整数都有，但不存在极限，即数列有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有（

）A． B．C． D．10．（2024·河南·一模）对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（

）A．若数列是递减数列，则为常数列B．若数列是递增数列，则有C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8D．若，记为的前n项和，则三、解答题11．（2024·内蒙古包头·二模）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对有个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当时，若存在的6增数列，求的最小值.12．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；(2)求数列的通项公式；(3)证明：13．（2024·贵州贵阳·二模）给定数列，若满足且，对于任意的，都有，则称数列an为“指数型数列".(1)已知数列an满足，判断数列是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;(2)若数列an是“指数型数列”，且，证明:数列an14．（2024·湖北·模拟预测）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．(1)求，，；(2)设，，求数列an的前项和；(3)设，，数列bn的前项和为，证明：，15．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，．(1)求，，；(2)设．（i）求数列的通项公式，（ii）设，求数列的前n项和．16．（2024·全国·模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：①；②.(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.17．（2024·广东梅州·二模）已知an是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为an的“生成数列”．(1)若，求其生成数列的前项和；(2)设数列的“生成数列”为，求证：；(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．18．（2024·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．(1)已知数列满足，．（ⅰ）求，，；（ⅱ）证明：是一阶等比数列；(2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．19．（2024·贵州·模拟预测）若给定一个数列，其连续两项之差构成一个新数列：，，，…，，…，这个数列称为原数列的“一阶差数列”，记为，其中.再由的连续两项的差得到新数列，，，…，，…，此数列称为原数列的“二阶差数列”，记为，其中.以此类推，可得到的“p阶差数列”.如果数列的“p阶差数列”是非零常数数列，则称为“p阶等差数列”.(1)证明由完全立方数组成的数列是“3阶等差数列”；(2)若（且，），证明数列是“k阶等差数列”，并且若将的“k阶差数列”记作，则.20．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．(1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；(2)证明：若的通项公式为，则不是数列；(3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．21．（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：①；②．(1)写出最小的“漂亮数”；(2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；(3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．22．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.(1)若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；(2)若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.23．（2024·北京门头沟·一模）已知数列，数列，其中，且，．记的前项和分别为，规定．记，且，，且(1)若，，写出；(2)若，写出所有满足条件的数列an，并说明理由；(3)若，且．证明：，使得．24．（2024·湖北荆州·三模）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.(1)判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.(2)设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.(3)若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.25．（2024·安徽芜湖·三模）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；(2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：26．（2024·新疆·二模）我们把满足下列条件的数列an称为数列：①数列an②存在正奇数m，使得数列an的每一项除以m(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列；(2)若数列bn满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；(3)已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．27．（2024·浙江·模拟预测）已知正整数，设，，…，，，，…，是个非负实数，.若对于任意，取，，，都有，则称这个数构成—孪生数组.(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成—孪生数组；(2)求最小的，使得，，…，，，，…，构成—孪生数组；(3)若，且，，…，，，，…，构成—孪生数组，求的最大值.参考公式：（i），当且仅当时取等；（ii）当正偶数时，设，有；当正奇数时，设，有.28．（2024·吉林·模拟预测）对于数列，若，对任意的，有，则称数列是有界的.当正整数n无限大时，若无限接近于常数a，则称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记为.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.(1)证明：对任意的，，恒成立；(2)已知数列，的通项公式为：，，.（i）判断数列，的单调性与有界性，并证明；（ii）事实上，常数，以为底的对数称为自然对数，记为.证明：对任意的，恒成立.29．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．30．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．1．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．2．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．3．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)证明：存在，满足使得．4．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若为连续可表数列，且，求证：．5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：①，且；②；③，．（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；（2）若数列是数列，求；（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理第02讲数列中的新定义综合（8类核心考点精讲精练）新高考改革后，数列作为高中数学的重要组成部分，在考试中占据了重要的地位。数列的考查不仅限于传统的等差数列、等比数列等基础知识，还涉及到了一些新的定义和概念。这些新定义通常要求考生具备较强的逻辑推理能力和创新思维。在新定义数列的考题中，有以下几种情况：新定义的数列类型：例如，斐波那契数列的变种、递推数列、分段定义的数列等。这些数列的定义和性质可能与传统数列有所不同，需要考生仔细阅读题目，准确理解新定义。数列性质的探究：考生可能需要探究新定义数列的通项公式、递推关系、特殊项的性质等。这要求考生能够灵活运用数学归纳法、数列极限等数学工具。数列与函数、不等式等其他数学知识的综合应用：新定义数列的题目往往与其他数学知识相结合，考查考生的综合运用能力。例如，数列与函数的图像、数列与不等式的解法等。实际问题的数学建模：新高考数学注重考查学生的实际应用能力，因此，数列问题可能会与实际问题相结合，要求考生建立数学模型来解决实际问题。为了应对新定义数列的考题，考生需要：熟悉并掌握高中数学数列的基本概念和性质。增强阅读理解能力，准确把握新定义数列的特点。培养逻辑推理和创新思维，能够独立探究数列的性质。加强与其他数学知识的联系，提高综合运用数学知识解决问题的能力。注重实际问题的数学建模训练，提升解决实际问题的能力。总之，新高考数学数列部分的考查更加注重考生的综合能力，考生需要在平时的学习中注重基础知识的积累，同时加强思维训练和实际应用能力的培养。考点一、斐波那契数列1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第项．【答案】2025【分析】根据“斐波那契数列”的递推关系可得结果.【详解】依题意有：，所以：，故答案为：2025.2．（2024·贵州遵义·模拟预测）（多选）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即（），则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据递推公式进行验证．【详解】由已知，A正确；，B正确；，C错；，D正确，故选：ABD．3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用对数运算将变形化简得到，结合的表达式可得，结合，即可求出答案.【详解】因为，所以，即故，故，所以，由斐波那契数列可知，则，所以的最小值为9，故选：D.1．（2024·河南·模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列an，若数列an的前项和为，且，则的值可能是（

）A．100 B．201 C．302 D．399【答案】C【分析】根据题意求出an【详解】因为，，所以，所以数列an，则，所以，，，.故选：C.2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（

）A．714 B．1870 C．4895 D．4896【答案】C【分析】根据题意，分析可得，进而变形可得，据此可得，计算可得答案.【详解】根据题意，数列满足，即，两边同乘以，可得，则.故选：C.3．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】对于A，根据题意求出斐波那契数列的前10项进行判断，对于B，当时，，，，三式相加判断，对于C，根据，对依次取1，2，……，2023，得到2023个式子相加进行判断，对于D，由，得，对依次取1，2，……，2022，然后相加进行判断.【详解】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，所以，所以A错误，对于B，当时，，，，所以三式相加得，所以，所以B正确，对于C，因为数列满足：，，所以，，，……，，，，以上2023个等式相加得,因为，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以，,,,……,,所以，所以D正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：此题考查斐波那契数列的性质，解题的关键是理解斐波那契数列中项之间的关系，充分利用分析判断，考查推理能力和理解能力，属于较难题.考点二、差数列及阶差数列1．（23-24高二上·云南昆明·期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为．【答案】【分析】先得出递推公式，并用叠加法求出通项公式，再用基本不等式求最小值.【详解】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，依题知，，，，，叠加可得：，整理得，当，，满足，所以，所以，当且仅当时，即，时等号成立，又，所以等号取不到，所以最小值在时取得，当时，，所以最小值为.故答案为：2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足为常数，）的数列称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得成立的最小正整数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据数列新定义可得，利用累乘法求得的表达式，解数列不等式，即可求得答案.【详解】由题意知二阶等比数列的二阶公比为，则，故，将以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值随n的增大而增大，且，当时，，当时，，故n的最小值为8，故选：B3．（2024·全国·模拟预测）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列……(1)求的二阶差数列；(2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据差数列的定义，依次求出数列的一阶差数列和二阶差数列即得；（2）根据（1）的规律，猜想的阶差数列为，接着运用数学归纳法进行证明；再根据等比数列的前项和公式求解即得.【详解】（1）由差数列的定义，数列的一阶差数列为数列的二阶差数列为的一阶差数列，即故数列的二阶差数列为．（2）通过找规律得，的阶差数列为，下面运用数学归纳法进行证明：①当时，显然成立；时，由（1）得结论也成立．②假设该结论对时成立，尝试证明其对时也成立．由差数列的定义，的阶差数列即的阶差数列的一阶差数列，即故该结论对时也成立，证毕．故的阶差数列为．该数列是以为首项，2为公比的等比数列，故其前项和为故的阶差数列为，其前项和为.1．（2024·四川自贡·一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前项分别为，则该数列的第项（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“高阶等差数列”的定义求得第项.【详解】，设，，设，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，即，所以.故选：D2．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】D【分析】由数列的新定义计算即可.【详解】由可得，，由可得，所以，故选：D.3．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）(3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：.【答案】(1)；(2)成立，理由见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得，将，可得，构造等差数列即可求解；（2）由一阶差分数列的定义可得，要证成立，即证，根据二项式定理即可证明；（3）作差可得，故，根据等比数列的求和公式即可证明.【详解】（1）因为为an的二阶差分数列，所以，将，代入得，整理得，即，所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，因此，，即.（2）因为为数列bn的一阶差分数列，所以，故成立，即为.①当时，①式成立；当时，因为，且，所以①成立，故对都有成立.（3），因为，所以，故，即，所以.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.考点三、平方数列与类平方数列1．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若数列满足则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且则（

）A．是等差数列 B．是等差数列C．是“平方递推数列” D．是“平方递推数列”【答案】C【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.【详解】对于AB，因为是“平方递推数列”，所以.又，所以则，，所以，不是等差数列，所以AB不正确.对于C，因为，所以是“平方递推数列”，所以C正确.对于D，因为，所以不是“平方递推数列”，D不正确.故选：C1．（2024·海南·模拟预测）（多选）已知数列an满足：①；②，，，，则称数列an为“类平方数列”，若数列bn满足：①数列bn不是“类平方数列”；②将数列bn中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列bn为“变换类平方数列”，则（

A．已知数列，则数列an为“类平方数列”B．已知数列an为：3，5，6，11，则数列aC．已知数列an的前顶和为，则数列an为“类平方数列”D．已知，.则数列an为“变换类平方数列”【答案】CD【分析】利用“类平方数列”的定义判断AC；利用“变换类平方数列”的定义判断BD.【详解】对于A，，，当时，不是正整数的平方，数列an不为“类平方数列”，A错误；对于B，，当时，，即无论为数列的第几项，都不可能为正整数的平方，数列an不为“变换类平方数列”，B错误；对于C，当时，，而满足上式，则，当时，，数列an对于D，数列的4项依次为，将此数列调整为时，有，因此数列an为“变换类平方数列”，D正确.故选：CD考点四、数列的单调性1．（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“数列”.(1)已知：，，，数列中其中只有一个数列，它是：；请从另外两个数列中任选一个证明其不是数列.(2)已知数列an满足：，为an的前项和，试求an的通项并判断数列是否为数列并证之.(3)已知数列an、bn均为数列，且，，求证：数列也为数列.【答案】(1)，证明见解析(2)，不是数列，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用幂函数的单调性可得与都是递增数列；利用特殊项的大小比较可得an与bn均不是数列；（2）由已知等式变形裂项可得，再由累加法可求通项，进而可得，利用等差数列求和公式可得，由可证明不是数列；（3）由“数列”的定义可得，，结合不等式的性质与放缩法得，由此分别证明与即可得证.【详解】（1）空格处填.原因如下：因为，则，由幂函数与在上都是增函数，由，故数列与都是递增数列，则为“数列”.若选an，下面证明an不是证明：由，则.故，所以不是递增数列.故an不是数列；若选bn，下面证明bn不是证明：由，则.所以不是递增数列.故bn不是数列.（2）由可得，所以设，则，，...，，累加得，又，故，所以.由，故an是以为首项，为公差的等差数列.所以，则，.即数列是递增数列，但不是递增数列，故不是数列.（3）数列an、bn均为数列，且，，由题意可得，且，，由不等式的性质可得，，又，则，所以为递增数列，且有，则，故也是递增数列，故为数列.1．（24-25高三上·河南·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．(1)若，（），证明：为递减数列；(2)若，且，的前项和记为．①求；②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．【答案】(1)证明见解析(2)①；②【分析】（1）根据定义得出，再根据即可证明；（2）根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①；结合①得出，当时，，所以；当时，由放缩得出，结合得出进而求解．【详解】（1）证明：若，显然．又，所以，，，，所以，．因为，，所以，，所以，所以是递减数列．（2）①由题意得，又，所以，所以，所以是以为首项，6为公比的等比数列，则．②由①得，所以．当时，，所以；当时，．所以当时，，所以当时，，又，所以，所以，，所以，所以．【点睛】关键点睛：求解时，关键是求出的取值范围，根据不等式放缩得出是解题关键．2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．(1)若，写出，及的值；(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；(3)设集合，，求证：且．【答案】(1)，，；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据数列bn的定义，分别求出，，；（2）假设，，均与数列bn是等差数列矛盾，进而得到数列an是以为首项，为公差的等差数列，进而得到；（3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立.【详解】（1）因为，所以，，由得，，所以，由得，，所以；（2）由题可知，所以，即，若，则，，所以，，与bn是等差数列矛盾，所以，设，因为an是各项均为正整数的递增数列，所以，假设存在使得，设，由得，由得，，与bn是等差数列矛盾，所以对任意都有，所以数列an是等差数列，；（3）因为对于，，所以，所以，即数列是递增数列，先证明，假设，设正整数，由于，故存在正整数使得，所以，因为an是各项均为正整数的递增数列，所以，所以，，所以，，又因为数列是递增数列，所以，与假设矛盾，所以；再证明，由题可知，所以要证，只需证，设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得，令，若则，即，所以，所以，所以，若，则，所以所以，因为，所以，所以，所以；综上所述，且.【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算；最后得到结论.考点五、数列的凹凸性1．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若为“上凸数列”，则当时，．（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．【答案】(1)是，证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；（2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.【详解】（1）是“上凸数列”，理由如下：因为，令，则．当时，，所以，所以在区间上单调递减，所以，所以，所以是“上凸数列”．（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意，，所以，所以．（ⅱ）解：令，由（1）可得当时，是“上凸数列”，由题意可知，当时，．因为，即．所以，当且仅当时等号成立，所以．综上所述，的最小值为．1．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．(1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．【答案】(1)数列是“凹数列”，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）计算出，故满足“凹数列”的定义；（2）利用等差数列通项公式得到，由题意得对任意恒成立，化简得到，得到答案；（3）先证明出必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，则有，即，所以为“凹数列”.【详解】（1）因为，则，又，故，即，数列是“凹数列”．（2）因为等差数列bn的公差为，所以，因为数列是凹数列，所以对任意恒成立，即所以，即，因为，解得．所以的取值范围为．（3）先证明必要性：因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，所以对任意的，当时，有，所以，又，所以．必要性成立，再证明充分性：对于任意的，当时，有，取，则有，即，所以为“凹数列”.【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列，对于任意的正整数，都有则称数列是严格凹数列．(1)若数列，的通项公式分别为，判断数列，是否为严格凹数列，无需说明理由；(2)证明：“对于任意正整数的，当时，有”是“数列为严格凹数列”的充要条件；(3)函数是定义在正实数集上的严格增函数，且数列是严格凹数列，严格增数列（正整数为常数且）各项均为互不相等的正整数，若恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)不是严格凹数列；是严格凹数列.(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据定义条件分析验证即可；（2）充分性，赋特值令可证；必要性，结合定义转化为，再将拆项为，然后利用不等式放缩可得，同理可证，二者变形结合不等式传递性可得；（3）先举特例探求条件，猜想结论并证明.结合是否为1，对给定常数，分与两大类讨论.特殊情况当时，利用定义分析证明即可.一般情况下，利用（2）结论结合可证明，利用该不等式，将“首尾两项和”逐次放缩可得恒成立.【详解】（1）an不是严格凹数列；b已知数列的通项公式为，所以，，则，所以，故数列不是严格凹数列．由数列的通项公式为，则，，，所以，故数列是严格凹数列．（2）证明充分性：若对于任意正整数的，当时，有.对于任意的，令，则满足条件，，则有,即,所以数列为严格凹数列.证明必要性：若数列为严格凹数列，所以对任意的，都有，即.所以对任意的，当时，则有，所以有，由，则；又有，由，则；又因为，所以.故“对于任意正整数的，当时，有”是“数列为严格凹数列”的充要条件.（3）特例1：令，则函数y=fx所以，则，故数列是严格凹数列，且，令，且，则数列为严格增数列，给定常数时，要使不等式恒成立，则，即恒成立，即，解得.特例2：令，则函数y=fx所以，则，故数列是严格凹数列，且，严格增数列，给定常数时，要使不等式恒成立，则，即恒成立，即，解得或.猜想1：给定常数时，对任意满足题意的，数列，数列，要使不等式恒成立，则.特例3：给定常数，时，对严格增数列，要使不等式恒成立，即使恒成立，注意到：对于函数，，严格增数列，为定义在正实数集上的严格增函数，满足，且数列满足，则，，当时，恒成立.考虑到满足题意的函数若不断逼近函数，则的值也不断接近于的值，给出猜想2.猜想2：给定常数，时，对任意满足题意的，数列，数列，要使不等式恒成立，则.证明：由题意数列是严格凹数列，则由（2）所证结论可得，对于任意，有，即，故对任意的，，由，所以，则；故对任意的，，又，所以，则；，依此类推可得，当，且，时，则.当时，令，故，又，则.由题意，数列为严格增数列（正整数为常数且），且各项均为互不相等的正整数，所以，且，则，，又，①若给定常数，对任意满足题意的，数列，数列，则，要使，即恒成立.（i）若且时，任意满足题意的，数列，数列，则即当时，，故不成立.当时，由，由单调性可得，恒成立.（ii）若且时，，则，而，又是定义在正实数集上的严格增函数，当时，，则，则.则当时，恒成立.由（i）（ii）可知，给定常数时，任意满足题意的，数列，数列，要使恒成立，则.②若给定常数，时，任意满足题意的，数列，数列，由，，.又是定义在正实数集上的严格增函数，则当时，，则恒成立.所以若给定常数，时，任意满足题意的，数列，数列，要使不等式恒成立，则.综上所述，给定常数，当时，要使恒成立，则；当时，要使恒成立，则.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键点在于理解“严格凹数列”的定义，挖掘定义条件的变式结论并应用：如（2）问中拆项法中充分应用了结论再进行放缩处理从而得证；再如（3）问中探究应用结论再逐次放缩从而得到的取值范围.考点六、数列的周期性1．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．(1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；(3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．【答案】(1)是周期为的周期数列，理由见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题设定义，利用的周期，即可得出结果；（2）分与两种情况讨论，当，易得到是周期为1的周期数列，当时，构造，则，利用导数与函数单调性间的关系，可得出是严格增（或减）数列，从而可得出结果；（3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果.【详解】（1）因为，所以是周期为的周期数列．（2）①当时，，，所以当时，是周期为1的周期数列，②当时，记，则，，当且仅当时等号成立，即，所以在上严格增，若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列；同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列．综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列．（3）必要性：若存在，使得是周期数列，设的周期为，则，所以是周期为的周期数列，充分性：若是周期数列，设它的周期为，记，则，是关于x的连续函数；，是关于x的连续函数；…，是关于x的连续函数；，令，则是连续函数，且，，所以存在零点，于是，取，则，从而，，……一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.2．（2024·广东珠海·一模）对于数列an，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列an是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列an为纯周期数列；当时，称数列an为混周期数列．记x为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列an满足：.(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；(2)若数列an是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；(3)证明：不论为何值，总存在使得．【答案】(1),,(2)，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）分别取，，，，，根据已知条件逐一验证即可求解；（2）分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想；（3）根据（2）的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可.【详解】（1）因为对任意整数都有，所以取，则，不符合题意；取，，，此时，数列为常数列；取，，，不符合题意；取，，，，此时，数列的通项公式为；取，，，，此时，数列的通项公式为；所以满足条件的三个的值为,,；（2）取，，，此时数列为常数列，为纯周期数列；取，则，，此时数列的通项公式为，为混周期数列；取，，，此时，数列为常数列，为纯周期数列；取，，，，此时数列的通项公式为，为混周期数列；取，，，，此时，数列的通项公式为，为混周期数列；取，，，，此时，数列的通项公式为，为混周期数列；取，，，此时，数列为常数列，为纯周期数列；根据上述计算得出猜想，当时，数列为常数列也是纯周期数列，下面进行验证：当时，，，，此时数列为常数列，也是纯周期数列；（3）首先，根据（2）的分析，发现当时，数列为常数列，也是纯周期数列，满足题意；接下来证明，当时，也存在使得；因为，所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可，当时，显然存在值为1的项，当时，有或，若为偶数，则，若为奇数时，则，，所以，所以无论为奇数还是偶数，均有；特别的，当为奇数时，且，类似的，可得：无论为奇数还是偶数，均有；特别的，当为奇数时，且；所以无论无论为奇数还是偶数，均有；若，则恒为奇数且，于是，假设数列的且，所以，恒为奇数且，由于中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数；设为第一个值为的项，而，故，这与“是第一个值为的项”相矛盾，所以，数列除第一项外，还存在不属于区间的项，假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾，所以，数列除第一项外，存在不属于区间和的项，以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项，得证.【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给赋值，逐一根据已知题意进行验证.3．（2024·湖南长沙·一模）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.(1)判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据周期数列的定义进行判断即可；（2）根据同根数列的定义分类讨论进行求解即可.【详解】（1）均是周期数列，理由如下：因为，所以数列an因为，所以.所以数列bn（2）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件.假设，即对于，都有.因为，所以，即，及.又时，，所以，与的最小值是矛盾.其次证明存在数列满足条件.取及，对于，都有.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件.假设，即对于，都有.因为，所以，即，及.又时，，所以，与的最小值是矛盾.其次证明时存在数列满足条件.取及对于，都有.综上，当是奇数时，的最大值为；当是偶数时，的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解同根数列的定义，运用分类讨论思想进行求解是解题的关键.1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：.(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；(2)若数列是常数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；(3)证明：不论为何值，总存在使得．【答案】(1),,；(2)，理由见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）分别取，，，，，根据已知条件逐一验证即可求解.（2）分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想.（3）根据（2）的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可.【详解】（1）对任意整数都有，当时，，不符合题意；当时，，，数列为常数列；当时，，，不符合题意；当时，，，，数列的通项公式为；取时，，，，数列的通项公式为，所以满足条件的三个的值为,,；（2）当时，，，此时数列为常数列；当时，则，，此时数列的通项公式为，不为常数列；当时，由（1）知，数列为常数列；当时，，，，此时数列的通项公式为，不为常数列；当时，由（1）知，数列的通项公式为，不为常数列；当时，由（1）知，数列的通项公式为，不为常数列；当时，，，数列为常数列，根据上述计算得出猜想，当时，数列为常数列，证明如下：当时，，，，所以当时，数列为常数列.（3）由（2）知，当时，数列为常数列，则存在使得；当时，也存在使得，而，则只需要证明数列中始终存在值为1的项即可，当时，则，即数列存在值为1的项，当时，有或，若为偶数，则，若为奇数时，则，，则，于是，即无论为奇数还是偶数，均有，特别地，当为奇数时，且，类似地，无论为奇数还是偶数，均有；特别地，当为奇数时，且，当且仅当取等号，因此无论为奇数还是偶数，均有，若，则恒为奇数且，当且仅当取等号，于是假设数列的且，则恒为奇数且，当且仅当取等号，由于中仅有有限个正整数，则数列从某项起恒为常数，设为第一个值为的项，而，于是，有，这与“是第一个值为的项”相矛盾；因此数列除第一项外，还存在不属于区间的项，假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾，则数列除第一项外，存在不属于区间和的项，以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项，所以不论为何值，总存在使得.【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给赋值，逐一根据已知题意进行验证.2．（23-24高三上·北京丰台·期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①；②(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．【答案】(1)、均是周期数列，数列周期为1（或任意正整数），数列周期为6(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件,其次证明时存在数列满足条件．【详解】（1）、均是周期数列，理由如下：因为，所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为，所以．所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．（2）假设不成立，则有，即对于，都有．因为，，所以．又因为，，所以．所以，所以，与的最小值是3矛盾．所以．（3）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件．假设，即对于，都有．因为，所以，即，及．又时，，所以，与的最小值是矛盾．其次证明存在数列满足条件．取及，对于，都有．当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件．假设，即对于，都有．因为，所以，即，及．又时，，所以，与的最小值是矛盾．其次证明时存在数列满足条件．取及，对于，都有．综上，当是奇数时，的最大值为；当是偶数时，的最大值为．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件，其次证明时存在数列满足条件．考点七、数列的新概念1．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列an的通项公式.【详解】因为数列是“”数列，则，所以，而，，，，，，，，.故选：B2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.(1)若数列bn的通项公式为，试判断数列bn是否为“数列”，并说明理由；(2)已知数列an①若an是“数列”，，且，求所有可能的取值；②若对任意，存在，使得成立，求证：数列an为“数列”.【答案】(1)是，理由见解析(2)①的可能值为.②证明见解析【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可求解；（2）若an是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，进而求得的可能值；②设数列an公差为，得到，求得，鸡儿推得，得到答案.【详解】（1）解：数列bn的通项公式为，对任意的，都有，取，则，所以bn是“数列”.（2）解：数列an①若an是“数列”，，且，则，对任意的，，由题意存在，使得，即，显然，所以，即，.所以是8的正约数，即，时，；时；时；时.综上，的可能值为.②若对任意，存在，使得成立，所以存在，设数列an公差为，则，可得，对任意，则，取，可得，所以数列an是“数列”.3．（2024·辽宁·三模）若实数列满足，有，称数列为“数列”.(1)判断是否为“数列”，并说明理由；(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有(3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.【答案】(1)数列是“数列”，数列不是“数列”；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据“数列”的定义判断可得出结论；（2）由可得出，利用累加法结合不等式的基本性质可得，以及，再结合可证得结论成立；（3）首先当或2024时的情况，再考虑时，结合（2）中结论考虑用累加法可证得结论.【详解】（1）因为，所以数列是“数列”，因为，所以数列不是“数列”；（2）令，因为数列为“数列”，所以从而，所以因为，所以，因为，所以.（3）当或2024时，，从而，当时，因为，由第(2)问的结论得，可推得，从而对于，由第(2)问的结论得，从而也成立，从而对于，由第(2)问的结论得，从而也成立，从而所以由条件可得，所以.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导、求解；本题中，根据“数列”的定义“”结合作差法、不等式的性质进行推理、证明不等式成立，并在推导时，充分利用已有的结论进行推导，属于难题.4．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列．(1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值；(2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和．(3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)1622(3)存在，理由见解析【分析】（1）根据等比数列的通项公式，列出“数列”的式子，变形后得，与无关，即可求解；（2）由题意确定数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，结合等差和等比数列的前项和公式，即可求解；（3）首先求解出，可得数列的前项和，并假设存在，通过验证求得，再利用放缩法，证明结论成立.【详解】（1）数列是等比数列，则，，则，因为与无关，所以，即；（2）由题意可知，，而，所以，是首项为1，公比为3的等比数列，而新数列中项（含）前共有项，令，结合，解得：，故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，所以数列中前30项的和；（3）因为数列是“数列”，，，，则，，得，所以数列的前项和，假设存在正整数，使得不等式，对一切都成立，即当时，，得，又为正整数，得下面证明：对一切都成立，由于，，所以，，所以存在，使不等式对一切都成立.【点睛】思路点睛：本题第3问首先利用特殊值，首先确定的值，再用到了放缩法，求和后说明存在.1．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（

）A．若为等差数列，则为内和数列B．若为等比数列，则为内和数列C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列【答案】C【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得，结合单调性可得，即可得结果.【详解】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列，则，但不存在，使得，所以不为内和数列，故AB错误；对于选项C：因为，对任意，，可知存在，使得，则，即，且内和数列为递增数列，可知，所以其伴随数列为递增数列，故C正确；对于选项D：例如，显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列，但不是递增数列，故D错误；故选：C.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算.2．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”.(1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”；(2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式；(3)若数列满足：求数列的前项和.【答案】(1)