2024-2025学年北京市房山区高三上册10月月考数学学情检测试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024-2025学年北京市房山区高三上学期10月月考数学学情检测试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则（

）A． B． C． D．3．设a，，且，则（

）A． B． C． D．4．如图，在中，是的中点.若，，则（

）A． B． C． D．5．已知函数，则函数（）A．是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减6．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是A． B． C． D．7．在△中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．记为等比数列的前n项和.已知，，则数列（

）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项9．声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：W/m2）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（

）A．106倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍10．已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（

）A．18 B．17 C．14 D．13二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11．，，三个数中最大数的是．12．已知，且有，则.13．已知正方形边长为2，为的中点，是正方形及其内部的点构成的集合，设集合，则表示的曲线的长度为.14．若实数，且，满足方程组，则，.（写出一组值即可）15．设是由实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合.对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积，令.给出以下四个结论：①存在，使得；②存在，使得；③若，则的取值范围是；④若，则满足的数表共有个.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16．等差数列的前项和，其中为常数.(1)求的通项公式及的值；(2)设，求数列的前项和.17．已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知.条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的最大值为；条件③：函数的最小正周期为.(1)求的解析式；(2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围.18．在中，.(1)求；(2)若，.求的面积.19．已知函数（其中为常数）.（1）若且直线与曲线相切，求实数的值；（2）若在上的最大值为，求的值.20．设函数，直线是曲线在点处的切线.(1)求的单调区间；(2)求证：不经过点；(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，）21．设整数集合，，且满足：对于任意，若，则.(1)判断下列两个集合是否满足题设条件，若不满足，请说明理由；，(2)求证：，都有；(3)若，求满足条件的集合的个数.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D根据并集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合，，所以.故选：D.2．A根据复数的几何意义求出复数，再求出复数的共轭复数，最后根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：因为在复平面内，复数所对应的点的坐标为，所以，所以所以故选：A3．D由，可得，A错；利用作差法判断B错；由，而，可得C错；利用基本不等式可得D正确．【详解】，，故A错；，，即，可得，，故B错；，，而，则，故C错；，，，等号取不到，故D正确；故选：D4．C【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】因为是的中点，，，所以.故选：C.5．A【分析】由偶函数的定义判断函数的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数的单调性.【详解】∵∴，∴函数为偶函数，当时，，∵函数在(0,+∞)上单调递增，函数在(0,+∞)上单调递减，∴在(0,+∞)上单调递增，即函数在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6．C【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（x）在R上为减函数以及f（﹣1）＝1，结合对数函数的性质可得g（x）＝log2（x+3）的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g（x）为增函数，设F（x）＝f（x）﹣g（x），易得F（x）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F（﹣1）＝f（﹣1）﹣g（﹣1）＝1﹣1＝0，进而可得F（x）≥0⇒﹣3＜x≤﹣1，据此分析可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递减，则f（x）在[0，+∞）上也是减函数，则f（x）在R上为减函数，又由f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝1，又由g（x）＝log2（x+3），有x+3＞0，即x＞﹣3，函数的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g（x）为增函数，设F（x）＝f（x）﹣g（x），其定义域为（﹣3，+∞），分析易得F（x）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F（﹣1）＝f（﹣1）﹣g（﹣1）＝1﹣1＝0，F（x）≥0⇒﹣3＜x≤﹣1，则f（x）≥g（x）⇒F（x）≥0⇒﹣3＜x≤﹣1，即不等式的解集为（﹣3，﹣1]；故选C．本题考查函数奇偶性与单调性的判定，涉及对数函数的性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．7．B由，则或和，则，则，可得出答案.【详解】若，则或，即或，所以在△中，“”是“”的不充分条件若，则，则，所以在△中，“”是“”的必要条件.故选：B.本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.8．A【分析】求出公比，求出，然后分析的性质．【详解】设公比为，则，，，当为偶数时，，是增函数，即，当为奇数时，，是减函数，即，所以有最大项为，最小项为．故选：A．关键点点睛：本题考查等比数列的前项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得通项公式后按奇偶数分类，得出奇数递减，偶数项递增，但所有奇数项比大，所有偶数项比小，这样易确定最值．9．B【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，根据题意得出，，计算求的值．【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，则，，则，所以，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍．故选：B．10．D【分析】由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案．【详解】由题意，得，∴，又，∴（）．∵是的一个单调区间，∴T，即，∵，∴，即．①当，即时，，，∴，，∵，∴，此时在上不单调，∴不符合题意；②当，即时，，，∴，，∵，∴，此时在上不单调，∴不符合题意；③当，即时，，，∴，．∵，∴，此时在上单调递增，∴符合题意，故选：D11．【详解】，，，所以最大.12．运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】，因为，所以，因此由，而，把代入得：，而，因此.故13．【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标表示计算数量积得出曲线，从而可计算出长度．【详解】分别以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，设，则，所以点轨迹是直线在正方形内的部分，令得，令得，即点轨迹是以和为端点的线段，，故．14．（答案不唯一）【分析】根据题中的方程组先求解出，再代入其中一个方程求解即可得出答案.【详解】得，，根据辅助角公式得，或即，或，此时，，又因为所以可取.故，.15．①③④【分析】可取第一行都为，其余的都取，即可判断①；用反证法证明：假设存在，得出矛盾，即可判断②；将变形为，即个或的和，分别列举出来即可判断③；当所有的和都是时，即个元素的排列，其中每个元素可以是或，但必须有奇数个，即可判断④.【详解】①：如图所示数表符合要求.故①正确；②：假如存在，使得.因为，所以这个数中有个，个.令.一方面，由于这个数中有个，个，从而，另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；则，，从而，这与矛盾，所以不存在，使得.故②错误；③：当时，是一个的数表，且每个元素，第行各数之积第列各数之积只能是或.若第行中有偶数个，则；若有奇数个，则.同理，对于第列亦如此.设第行中有个，第列中有个，则，所以，由、为非负整数，只能取或，所以是个或的和.当所有的元素都是时，；当所有的元素都是时，；当有两行（或两列）的元素是，其余元素是时，；当有四行（或四列）的元素是，其余元素是时，；当有六行（或六列）的元素是，其余元素是时，；当有八行（或八列）的元素是，其余元素是时，；当有十行（或十列）的元素是，其余元素是时，；当有十二行（或十二列）的元素是，其余元素是1时，；所以所有的取值为.故③正确；④：若，当所有的和都是时，.实际上，每一行和每一列中的个数必须为奇数，在的矩阵中选择奇数个，使得每行和每列中的个数都是奇数，这样的数表对应于个元素的排列，其中每个元素可以是或，但必须有奇数个，这样的数表数量是，故④正确.故①③④方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.16．(1)，a=−1(2)【分析】（1）根据与的关系，可得，，再由等差数列，列式求出，并得到通项；（2）由（1）求出，利用分组求和得解.【详解】（1）由，当时，，，，又，，，解得，，满足，，.（2）由（1），，.17．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①③：由周期得出，由得出，进而求出的解析式；选择②③：由周期得出，由的最大值为得出，进而求出的解析式；选择①②：由得，又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．（2）因为，所以，结合三角函数的性质与函数零点的概念求解即可．【详解】（1）由题可知，，选择①③：因为，所以，又因为，所以．所以．选择②③：因为，所以，又因为函数的最大值为，所以．所以，选择①②：因为，所以．又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．（2）选择①③：因为，所以，又因为在区间上有且仅有1个零点，所以，所以，所以．选择②③：因为，所以，又因为在区间上有且仅有1个零点，又时，或，所以，所以，所以．18．(1)(2)【分析】（1）结合余弦定理即可求解；（2）由，求出，再利用正弦定理求出，最后利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由，则，又，则.（2）由，则，又，且由（1）知则，又，即，解得，则.19．（1）2；（2）2.（1）代入，得到，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据在的单调性求出最大值等于，从而求出.【详解】（1）时，，设切点为，则切线方程为点代入，化简解得.（2），①当即时，在上恒成立，故在单调递增，在的最大值为，故，满足；②当即时，在上恒成立，故在单调递减，在的最大值为，故，不满足，舍去；③当即时，由得，时，时，即在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为，即，所以，不满足，舍去，综上所述，.本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到的问题.20．(1)答案见详解(2)证明见详解(3)不存在【分析】（1）利用导数判断单调性；（2）写出切线方程，假设直线过点，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可.【详解】（1）由题可得，，（），当时，有，则在上单调递增；当时，令，得，即在上单调递增，令，得，即在上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由，切线的斜率为，则切线方程为，假设直线过点，将代入切线方程得，则，即，整理得，，令，则在上存在零点，，所以在上单调递增，则，所以函数在上无零点，这与假设矛盾，所以直线不过点.（3）当时，，则，，，设与轴交点为，当时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知，，则，则切线的方程为，令，则，，则，，设，，所以满足条件的有几个即有几个零点.由，，令，得，即在上单调递增，令，得或，即在和上单调递减，又，，，所以函数在上没有零点，即不存在点使得成立.21．(1)满足题设，不满足题设(2)证明见解析(3)16【分析】（1）根据题目条件，对赋值，分别讨论即可；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的，所以集合中至多5个元素.设，先通过判断集合A中前个元素的最大值可以推出，故集合A的个数与集合的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）设，则；设，则，一般地，对，有，所以满足题设条件.设，得，所以不满足题设条件.（2）假设存在一个