提优点4 截面或交线问题

截面或交线问题【知识拓展】1.空间几何体截面的主要原理为两个基本事实及两个性质.(1)两个基本事实为：①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线；②如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(2)两个性质为：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.2.立体几何中的截面类型(1)平面截球：圆面.(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.(4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线(单支)、抛物线.【类型突破】类型一截面问题考向1多面体中的截面问题例1(多选)在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为()A.等腰梯形 B.非矩形的平行四边形C.正五边形 D.正六边形答案ABD解析画出截面图形如图1，C，D分别是所在棱的中点，四边形ABCD为等腰梯形，故A正确；图1图2在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图2所示)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于点E，F，G，H，根据平面平行的性质定理可得四边形EFGH中，EF∥HG，且EH∥FG，故四边形EFGH是平行四边形，但不一定是矩形，故B正确；图3图4经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形(如图3所示)，但此时不可能是正五边形，故C错误；六边形的顶点为正方体各棱的中点，六边形为正六边形(如图4所示)，故D正确.考向2球的截面问题例2已知三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，点E，F分别是线段AB，BC的中点，直线AF，CE相交于点G，则过点G的平面α截三棱锥S－ABC的外接球球O所得截面面积的取值范围是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8π,9)，\f(3π,2)))解析因为AB2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC，又因为SA⊥平面ABC，故三棱锥S－ABC的外接球球O的半径R＝eq\f(\r(2＋2＋2),2)＝eq\f(\r(6),2)，取AC的中点D，连接BD，BD必过点G，如图所示，因为AB＝BC＝eq\r(2)，故DG＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(1,3)，因为OD＝eq\f(\r(2),2)，故OG2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(11,18)，则过点G的平面截球O所得截面圆的最小半径的平方r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(11,18)＝eq\f(8,9)；过点G的平面截球O所得截面圆的最大半径为球半径R＝eq\f(\r(6),2)，故截面面积的最小值为eq\f(8π,9)，最大值为eq\f(3π,2)，故截面面积的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8π,9)，\f(3π,2))).规律方法作几何体截面的方法(1)利用平行直线找截面；(2)利用相交直线找截面.训练1已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面α满足AC∥α，BC1∥α，若直线AC到平面α的距离与BC1到平面α的距离相等，平面α与此正方体的各个面都相交，则交线围成的图形为()A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形答案D解析如图，设E，F，G，H，M，N分别为AB，BC，CC1，C1D1，A1D1，AA1的中点，连接EF，FG，GH，HM，MN，NE，A1B，CD1，AD1，A1C1，∵FG∥BC1，MN∥AD1，FG＝eq\f(1,2)BC1，MN＝eq\f(1,2)AD1，BC1∥AD1，BC1＝AD1，∴FG∥MN，FG＝MN，同理可得EF∥MH，EF＝MH，GH∥NE，GH＝NE，∴E，F，G，H，M，N共面，∵AC∥EF，AC⊄平面EFGHMN，EF⊂平面EFGHMN，∴AC∥平面EFGHMN，同理可得BC1∥平面EFGHMN，∵E为AB的中点，∴点A到平面EFGHMN的距离与点B到平面EFGHMN的距离相等，即平面EFGHMN为所求的平面α，故与正方体的交线为正六边形EFGHMN.类型二交线问题考向1多面体中的交线问题例3在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，设过P，Q，R的截面与平面AD1以及平面AB1的交线分别为l，m，则l，m所成的角为()A.90° B.30°C.45° D.60°答案D解析因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，取C1D1，DD1，BB1的中点分别为G，F，E，连接FG，FQ，QP，PE，ER，RG，根据正方体的特征，易知，若连接PG，EF，RQ，则这三条线必相交于正方体的中心，又GR∥EF∥QP，所以P，Q，F，G，R，E六点必共面，即为过P，Q，R的截面；所以EP即为直线m，FQ即为直线l；连接AB1，AD1，B1D1，因为EP∥AB1，FQ∥AD1，所以∠B1AD1即为异面直线EP与FQ所成的角或其补角，又因为正方体的各面对角线相等，所以△AB1D1为等边三角形，因此∠B1AD1＝60°，即l，m所成的角为60°.考向2与球有关的交线问题例4在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中点M为球心，4为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为()A.2π B.3πC.4π D.8π答案C解析取AB，AA1，A1B1，BB1的中点分别为F，E，H，G，N为四边形ABB1A1的中心，连接MN，CF，MH，ME，MG，MF，HF，EG，因为AB＝AA1＝4，故四边形ABB1A1为正方形，G，N，E三点共线，H，N，F三点共线，MN⊥平面ABB1A1，且GN＝EN＝NH＝NF＝2，因为M为CC1的中点，所以MN＝CF＝4sin60°＝2eq\r(3)，由勾股定理得MH＝MG＝ME＝MF＝eq\r(MN2＋22)＝4，所以题中所求交线轨迹为以N为圆心，2为半径的圆，球与侧面ABB1A1的交线轨迹如图所示，故交线长l＝2×π×2＝4π.规律方法找交线的方法(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点；(2)面面交线法：各棱面与截平面的交线.训练2已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为________.答案2π解析由题意，得△ABC是边长为5的等边三角形，侧面均为全等的等腰梯形，在四边形ABB1A1中，AB＝5，A1B1＝2，AA1＝BB1＝3，如图，在棱AB上取BF＝2，连接A1F，易知△AA1F为等边三角形，即∠A1AB＝60°，则以下底面的一个顶点A为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线为三段圆弧eq\o(MN,\s\up8(︵))，eq\o(MP,\s\up8(︵))，eq\o(NP,\s\up8(︵))，分别是与平面ABC，平面ABB1A1，平面ACC1A1的交线，则所求交线长度为三段圆弧eq\o(MN,\s\up8(︵))，eq\o(MP,\s\up8(︵))，eq\o(NP,\s\up8(︵))的长度之和，长度为eq\f(π,3)×2×3＝2π.【精准强化练】一、单选题1.过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的()A.①②③④ B.①③④C.①② D.①②④答案A解析根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示，故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分.2.已知过BD1的平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1分别交于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是()A.截面BMD1N可能是矩形 B.截面BMD1N可能是菱形C.截面BMD1N可能是梯形 D.截面BMD1N不可能是正方形答案C解析如图①，当点M，N分别与顶点重合时，显然截面BMD1N是矩形；如图②，当M，N为棱AA1，CC1的中点时，显然截面BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知截面BMD1N不可能为正方形；根据对称性，其他情况下截面BMD1N为平行四边形.故选C.3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(9,2)C.9 D.18答案B解析连接BC1，AD1，D1F，如图所示，因为E，F分别是BC，CC1的中点，所以EF∥BC1，在正方体中AD1∥BC1，所以EF∥AD1，所以A，D1，F，E在同一平面内，以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A，因为正方体的棱长为2，所以EF＝eq\r(2)，AD1＝2eq\r(2)，D1F＝AE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，则E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高为eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以截面面积为S＝eq\f(1,2)(2eq\r(2)＋eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为()A.等腰梯形 B.三角形C.正方形 D.矩形答案A解析取BC的中点为H，如图连接AH，GH，D1G，AD1，由题意得GH∥EF，AH∥A1F，∵GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴GH∥平面A1EF，∵AH⊄平面A1EF，A1F⊂平面A1EF，∴AH∥平面A1EF，∵GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，∴平面AHGD1∥平面A1EF，过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为等腰梯形AHGD1.5.如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))，则下列对椭圆E的描述中错误的是()A.短轴为2r，且与θ大小无关B.离心率为cosθ，且与r大小无关C.焦距为2rtanθD.面积为eq\f(πr2,cosθ)答案B解析由题意，椭圆短轴长2b＝2r；而长轴长随θ变大而变长且2a＝eq\f(2r,cosθ)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝rtanθ，故e＝eq\f(c,a)＝sinθ，焦距为2c＝2rtanθ；由椭圆在底面投影即为底面圆，则cosθ等于圆的面积与椭圆面积的比值，所以椭圆面积为S＝eq\f(πr2,cosθ).综上，A，C，D正确，B错误.6.(2024·南京质检)已知三棱锥P－ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为eq\f(16,3)，若该三棱锥的外接球O的半径为eq\r(13)，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为()A.6π B.12πC.2eq\r(3)π D.4eq\r(3)π答案D解析依题意得，设底面等腰Rt△ABC的直角边长为x(x>0)，∴三棱锥P－ABC的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×x2×4＝eq\f(16,3)，解得x＝2eq\r(2).∴△ABC的外接圆半径为r1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)＝2，∴球心O到底面ABC的距离为d1＝eq\r(R2－req\o\al(2,1))＝eq\r(13－4)＝3，又∵顶点P到底面ABC的距离为4，∴顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周.当球心在底面ABC和截面圆之间时，球心O到该截面圆的距离为d2＝4－3＝1，∵截面圆的半径为r2＝eq\r(R2－deq\o\al(2,2))＝eq\r(13－1)＝2eq\r(3)，∴顶点P的轨迹长度为2πr2＝4eq\r(3)π；当球心在底面ABC和截面圆同一侧时，球心O到该截面圆的距离为d3＝3＋4＝7>R＝eq\r(13)，故不成立.综上，顶点P的轨迹长度为4eq\r(3)π.7.(2024·齐鲁名校模拟改编)在四棱锥S－ABCD中，ABCD是矩形，AD⊥SD，∠SDC＝120°，SD＝CD＝2BC＝2，P为棱SB上一点，则下列结论中错误的是()A.点A到平面SCD的距离为1B.若SP＝PB，则过点A，D，P的平面α截此四棱锥所得截面的面积为eq\f(3,2)C.四棱锥S－ABCD外接球的表面积为17πD.直线AP与平面SCD所成角的正切值的最大值为eq\f(1,2)答案B解析如图，对于A，因为AD⊥SD，AD⊥DC，又SD∩DC＝D，SD，DC⊂平面SDC，所以AD⊥平面SDC，所以点A到平面SDC的距离为AD＝BC＝1，故A正确；对于B，因为SP＝PB，所以点P为棱SB的中点，取SC中点为Q，连接PQ，DQ，可得平面APQD即平面α截此四棱锥所得截面，且由于Q是SC的中点，点P为棱SB的中点，所以在△SBC中，PQ是△SBC的中位线，则PQ＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，且PQ∥BC，又因为四边形ABCD是矩形，则BC∥AD，所以PQ∥AD，因为AD⊥平面SDC，DQ⊂平面SDC，故AD⊥DQ，所以四边形APQD是以AD为下底、PQ为上底，DQ为高的直角梯形，因为SD＝CD＝2，在等腰三角形SCD中，QD⊥SC，且QD平分∠SDC，则QD＝CD·coseq\f(1,2)∠SDC＝2×eq\f(1,2)＝1，则平面α截此四棱锥所得截面的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))×1＝eq\f(3,4)，故B错误；对于C，又因为∠SDC＝120°，SD＝CD＝2，所以SC＝2cos30°＋2cos30°＝2eq\r(3)，所以2r＝eq\f(SC,sin∠SDC)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，即r＝2(其中r为△SCD外接圆半径)，因为AD⊥平面SDC，所以四棱锥S－ABCD外接球的半径为R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,2)))\s\up12(2))＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(17),2)，所以四棱锥S－ABCD外接球的表面积为17π，故C正确；对于D，因为AD⊥平面SDC，所以当点P与点S重合时，直线AP与平面SCD所成角的正切值最大，最大值为eq\f(AD,SD)＝eq\f(1,2)，故D正确.二、多选题8.(2024·扬州模拟)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，下列选项中正确的有()A.过A1C的平面截此正方体所得的截面为四边形B.过A1C的平面截此正方体所得的截面的面积范围为[2eq\r(6)，4eq\r(2)]C.四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD的公共部分为八面体D.四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD的公共部分体积为eq\f(2,3)答案ABD解析连接A1与线段BB1上任意一点F，过C作CE∥A1F交DD1于E，所以过A1C的平面截此正方体所得的截面为四边形A1FCE，A正确；由以上分析及正方体结构特征易知：四边形A1FCE为平行四边形，若E，F为各线段上的中点时，四边形A1FCE为菱形，此时截面最小面积为eq\f(1,2)×A1C×EF＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(2)＝2eq\r(6)；根据正方体的对称性，E从中点向D或D1运动时，四边形A1FCE面积都是由小变大，当E与D重合时，此时F与B1重合，截面面积最大，为DC×A1D＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2).综上，过A1C的平面截此正方体所得的截面的面积范围为[2eq\r(6)，4eq\r(2)]，B正确；对于CD项，如图，四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD的公共部分为六面体C1EFGHC，C错误；取C1C的中点G，易知四边形是边长为1的正方形，且CC1⊥平面EFGH，六面体C1EFGHC的体积为eq\f(1,3)×S正方形EFGH×CC1＝eq\f(1,3)×1×1×2＝eq\f(2,3)，D正确.9.(2024·茂名模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，则()A.直线EF与BC1所成的角为60°B.过空间中一点有且仅有两条直线与A1B1，A1D1所成的角都是60°C.过A1，E，F三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为3eq\r(2)＋2eq\r(5)D.过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形答案ACD解析对于A，如图所示，连接AC，A1C1，A1B，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以EF∥AC，又AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以∠A1C1B或其补角即为EF与BC1所成的角，因为△A1BC1是等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，所以EF与BC1所成的角为60°，故A正确；对于B，因为直线A1B1，A1D1所成角是90°，且两条直线相交于A1，所以过点A1与两直线所成角为60°的直线有4条，故B错误；对于C，易知平面A1EFC1为过A1，E，F三点的截面，该截面为梯形，显然A1C1＝2eq\r(2)，A1E＝C1F＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EF＝eq\r(2)，所以截面图形的周长为A1C1＋A1E＋EF＋C1F＝2eq\r(2)＋eq\r(5)＋eq\r(2)＋eq\r(5)＝3eq\r(2)＋2eq\r(5)，故C正确；对于D，如图所示，分别取AA1，CC1的靠近A，C的三等分点G，H，连接GD1，GE，HD1，HF，易知GE∥HD1，HF∥GD1，故点D1，G，E，F，H共面，该截面图形为五边形，故D正确.三、填空题10.在圆台O1O2中，四边形ABCD是其轴截面，AD＝DC＝BC＝eq\f(1,2)AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是eq\r(3)，则圆台的体积等于________.答案eq\f(7\r(3)π,3)解析因为AD＝DC＝BC＝eq\f(1,2)AB，所以四边形ADCO1为平行四边形，所以O1C＝O1D＝O1A＝AD，则△AO1D为正三角形，所以∠DAB＝60°，由题意得平面CEF⊥平面ABCD，且平面CEF∩平面ABCD＝O1C，所以点A到平面CEF的距离即为AD与O1C的距离，在△AO1D中，过点O1作AD的垂线O1M，过点D作AO1的垂线DN，则O1M＝eq\r(3)，所以AO1＝eq\f(O1M,sin60°)＝2，则O1O2＝DN＝2sin60°＝eq\r(3)，设圆台上、下底面半径分别为r，R，则R＝AO1，r＝DO2＝eq\f(1,2)AO1，则圆台的体积V＝eq\f(π,3)h(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(\r(3)π,3)×(4＋2＋1)＝eq\f(7\r(3)π,3).11.已知三棱锥P－ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2eq\r(3)，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于________.答案eq\f(4π,3)解析由题设，将三棱锥P－ABC补全为棱长为2eq\r(3)的正方体，O为底面中心，如图所示，若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，即D，F在以P为球心，4为半径的球面上，又OA＝eq\r(6)>2，OP＝3eq\r(2)>4，所以平面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为π；平面PBC与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为eq\f(π,3)的圆弧，故弧长为eq\f(4π,3)；平面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为eq\f(π,12)的圆弧，故弧长为eq\f(π,3).所以最长弧的弧长为eq\f(4π,3).12.(2024·武汉质检)在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，M为底面三角形斜边BC上一点，且eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，AC＝AA1＝1，P为线段BC1上一动点，则平面AMP截