第13讲 二次函数的图象与性质 课件中考数学复习

第三章函数第13讲二次函数的图像与性质4大考点精讲+专训3大中考命题点+19大题型探究中考考点考查频率新课标要求二次函数的图像对称性与增减性★★二次函数图像的有关判断★★二次函数的图像变换★★二次函数的图像与系数★★★二次函数解析式的确定★★★二次函数与方程结合★二次函数与不等式结合★01考情透视·目标导航【考情分析1】二次函数是初中阶段的重点内容、难点内容，也是中考的必考内容，对于二次函数图像和性质的简单考查常以非解答题的形式出现，经常考查二次函数的对称性、增减性与其解析式中的二次项系数、一次项系数及常数项之间的关系.【备考建议】二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.出题形式多样，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.能画二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图像形状和对称轴的关系；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.【考情分析2】二次函数与方程，不等式主要考查二次函数与一次函数结合，考查图像交点个数与函数各项系数间的关系，试题形式多样，难度一般，单独命题较少，一般都是问题中的某一部分，,其中函数图像与x轴的交点个数与对应的一元二次方程有关，相应不等式也可依靠函数图像求解.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究二次函数与各项系数之间的关系考点三二次函数的图像与性质考点二二次函数的相关概念考点一二次函数的相关概念二次函数与方程、不等式考点四1.二次函数的定义二次函数的相关概念考点一定义一般地，形如y=ax²+bx+c(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项2.二次函数的形式一般式，

，

y=ax²+bx+c(a≠0，其中a，b，c是常数)3种特殊形式1)当b＝0时2)当c＝0时3)当b＝0且c＝0时3.二次函数的常见表达式：二次函数的相关概念考点一名称解析式前提条件相互联系一般式顶点式交点式

1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.2)一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法.y=ax²+bx+c(a≠0)其中a≠0且a，h，k是常数y=a(x+h)²+ky=a（x-x1）（

x-x2）(a≠0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式.当已知抛物线与x轴的两个交点坐标（x1,0）,（x2,0）时，常用交点式求其表达式.二次函数的相关概念考点一针对练习

A．正比例函数关系，反比例函数关系

B．一次函数关系，二次函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系

D．一次函数关系，反比例函数关系DC

二次函数的相关概念考点一针对练习

B【解析】3【解析】

03考点突破·考法探究二次函数与各项系数之间的关系考点三二次函数的图像与性质考点二二次函数的相关概念考点一二次函数的图像与性质二次函数与方程、不等式考点四1.二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质考点二图像特征二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.基本形式图像a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=h顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)最值a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.增

减

性a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.易错抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大(或减小)是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.2.二次函数的图象变换二次函数的图像与性质考点二1）二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k

平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n

下减2.二次函数的图象变换二次函数的图像与性质考点二①二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.②根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.③涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)²+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.④求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.⑤对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.补

充：2.二次函数的图象变换二次函数的图像与性质考点二2）二次函数图象的对称变换变换方式变换后口诀关于x轴对称x不变，y变-y关于y轴对称y不变，x变-x关于原点对称x变-x，y变-y二次函数的图像与性质考点二针对练习

4A

A

新抛物线

2二次函数的图像与性质考点二针对练习

C【解析】∵y=x2-2x=(x-1)2-1，∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-1)，当x=-1时，y=3，∴(-1，3)关于对称轴对称的点坐标为(3，3)，∵当x=-1时，函数取得最大值；

当x=1时，函数取得最小值，∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，

1-1

3303考点突破·考法探究二次函数与各项系数之间的关系考点三二次函数的图像与性质考点二二次函数的相关概念考点一二次函数与各项系数之间的关系二次函数与方程、不等式考点四1.图像与a，b，c的关系二次函数与各项系数之间的关系考点三字母字母的符号图像特征备注aa>0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．a<0开口向下

bb=0

左同右异中间0a，b同号a，b异号

cc=0图像过原点

c决定了抛物线与y轴交点的位置．c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b²-4ac

b²-4ac＞0与x轴有两个交点

b²-4ac的正负决定抛物线与x轴交点个数b²-4ac=0与x轴有唯一交点b²-4ac＜0与x轴没有交点

二次函数与各项系数之间的关系考点三【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.针对练习

B．D．A．C．

∴抛物线开口向下

D二次函数与各项系数之间的关系考点三针对练习

D【解析】

故选项𝐵错误（否则可得𝑎=0，不合题意）．∵𝑎＜0，𝑐＞0，∴3𝑎-𝑐＜0，故选项𝐶错误．

二次函数与各项系数之间的关系考点三针对练习B

【解析】

∵对称轴为直线x=-1，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)，∴1-(-1)=-1-x，解得x=-3，则9a-3b+c=0，故②错误；03考点突破·考法探究二次函数与各项系数之间的关系考点三二次函数的图像与性质考点二二次函数的相关概念考点一二次函数与方程、不等式二次函数与方程、不等式考点四1.二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况二次函数与方程、不等式考点四求二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax²+bx+c=0中x的值的问题。此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数

二次函数与方程、不等式考点四判别式二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）与x轴交点个数图像与x轴的交点坐标根的情况△＞0a＞0抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0)

与x轴交于

（x1，0），（x2,0）（x1＜x2）

两点一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根

2个交点a＜0△＝0一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根

1个交点△＜0抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0)

与x轴无交点一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解（或称无实数根）

0个交点1.二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况a＞0a＞0a＜0a＜0二次函数与方程、不等式考点四2.二次函数与不等式的关系图像有两个交点有1个交点无交点有两个交点有1个交点无交点判别式△＞0△＝0△＜0△＞0△＝0△＜0ax²+bx+c＞0x＜x1或x＞x2

x≠x1的全体实数全体实数x1＜x＜x2

无解无解ax²+bx+c=0x=x1或x=x2

x=x1=x2

无实根x=x1或x=x2

x=x1=x2

无实根ax²+bx+c＜0x1＜x＜x2

无解无解x＜x1或x＞x2

x≠x1的全体实数全体实数a＞0a＜0x1＜x2

二次函数与方程、不等式考点四针对练习

二次函数与方程、不等式考点四针对练习

D

04题型精研·考向洞悉根据二次函数解析式判断其性质题型01二次函数的图像与性质命题点一根据二次函数的图像与性质求解题型02求二次函数解析式题型03画二次函数y=ax²+bx+c

的图像题型04以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质题型05二次函数的平移变换问题题型0604题型精研·考向洞悉二次函数的对称变换问题题型07二次函数的图像与性质命题点一根据二次函数的对称性求参数取值范围题型08二次函数的最值问题题型09根据二次函数的最值求参数/取值范围题型10根据二次函数的增减性求参数的取值范围题型11根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围题型12命题点一二次函数的图像与性质►题型01根据二次函数解析式判断其性质

方法指导解题的关键：٭掌握二次函数图象与系数的关系٭D

命题点一二次函数的图像与性质►题型01根据二次函数解析式判断其性质

BDD

所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值越小

解题的关键：٭掌握二次函数图象与性质，熟练的利用数形结合的方法命题点一二次函数的图像与性质►题型02根据二次函数的图像与性质求解

方法指导解：①∵抛物线开口向上，-1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴当x=-1时，y=a-b+c＞0，故①不符合题意；②∵抛物线y=ax²+bx+c过点C(0,-2)，∴函数的最小值y<-2，∴ax²+bx+c=-2有两个不相等的实数根；∴方程ax²+bx+c+2=0有两个不相等的实数根；故②符合题意；

命题点一二次函数的图像与性质►题型02根据二次函数的图像与性质求解

C

命题点一二次函数的图像与性质►题型02根据二次函数的图像与性质求解

x…035…y…0…

D

yOx

①②④命题点一二次函数的图像与性质►题型03求二次函数解析式1）已知抛物线上任意三点坐标，可设y=ax²+bx+c2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设y=a(x-h)²+k

方法技巧3）已知抛物线二次函y=ax²+bx+c(a≠0)

与x轴两个交点坐标（x1，0），（x2,0）（x1＜x2）时，可设y=a(x-x1)(x-

x2)【注意事项】1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b²-4ac≥0时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化命题点一二次函数的图像与性质►题型03求二次函数解析式

方法指导解题的关键：٭掌握待定系数法求二次函数解析式٭

命题点一二次函数的图像与性质►题型03求二次函数解析式

解题的关键：٭掌握二次函数图象与性质，理解新定义，最小矩形的限制条件方法指导

1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为（-1,4），则下列说法正确的是（

）A．二次函数图象的对称轴是直线x=1B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当x<-1时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3命题点一二次函数的图像与性质►题型03求二次函数解析式D-11

3

x…0123…y…00…

①②④

命题点一二次函数的图像与性质►题型04画二次函数y=ax²+bx+c的图像【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．

命题点一二次函数的图像与性质►题型04画二次函数y=ax²+bx+c的图像【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．

方法指导解题的关键：٭掌握数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像（1）解：

D命题点一二次函数的图像与性质►题型04画二次函数y=ax²+bx+c的图像【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．

命题点一二次函数的图像与性质►题型04画二次函数y=ax²+bx+c的图像

（1）列表：

命题点一二次函数的图像与性质►题型05以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质

方法指导解题的关键：٭掌握二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负

（答案不唯一）．命题点一二次函数的图像与性质►题型05以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质

（答案不唯一）（答案不唯一）

【解析】命题点一二次函数的图像与性质►题型06二次函数的平移变换问题

方法指导解题的关键：٭掌握二次函数图象的平移以及二次函数的性质，熟练应用平移的规律确定抛物线解析式

命题点一二次函数的图像与性质►题型06二次函数的平移变换问题

1方法指导解题的关键：٭掌握二次函数图象的平移以及二次函数的性质，熟练应用平移的规律确定抛物线解析式٭两点间的距离公式

命题点一二次函数的图像与性质►题型06二次函数的平移变换问题

D

左平移2个单位向下平移3个单位

2或4

命题点一二次函数的图像与性质►题型07二次函数的对称变换问题

B方法指导解题的关键：٭掌握二次函数的对称性，与x轴交点问题٭两点间的距离计算公式

命题点一二次函数的图像与性质►题型07二次函数的对称变换问题

方法指导解题的关键：٭掌握二次函数图像与对称性性质٭两点间的距离计算方法A．8 B．9 C．10 D．11B

命题点一二次函数的图像与性质►题型07二次函数的对称变换问题

B

命题点一二次函数的图像与性质►题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围

A方法指导解题的关键：٭掌握二次函数图像性质٭熟练确定出抛物线的开口方向与对称轴

命题点一二次函数的图像与性质►题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围

【解析】命题点一二次函数的图像与性质►题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围

解题的关键：٭掌握勾股定理，解直角三角形，二次函数最值求解的相关知识，会综合运用命题点一二次函数的图像与性质►题型09二次函数的最值问题

方法指导

6命题点一二次函数的图像与性质►题型09二次函数的最值问题

BDD

命题点一二次函数的图像与性质►题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围

解题的关键：٭运用数形结合思想和分类讨论思想，综合应用二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征方法指导

命题点一二次函数的图像与性质►题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围

B

【解析】命题点一二次函数的图像与性质►题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围

D【解析】

命题点一二次函数的图像与性质►题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范围

解题的关键：٭掌握二次函数的图象和性质，利用点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等得到该二次函数图象的对称轴为直线x=2方法指导

命题点一二次函数的图像与性质►题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范围

【解析】

命题点一二次函数的图像与性质►题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范围【解析】

3

命题点一二次函数的图像与性质►题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围

x…0123…y…105212…

解题的关键：٭掌握二次函数的性质，根据表格数据可知：二次函数的对称性判断出对称轴x=2方法指导

命题点一二次函数的图像与性质►题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围

【解析】

04题型精研·考向洞悉二次函数的图像与各项系数符号题型01二次函数的图像与各项系数之间的关系命题点二根据二次函数的图像判断式子符号题型02函数图像综合题型03命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系►题型01二次函数的图像与各项系数符号

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个C解题的关键：٭掌握二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系方法指导

命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系►题型01二次函数的图像与各项系数符号

B

命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系►题型02根据二次函数的图像判断式子符号

方法技巧命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系►题型02根据二次函数的图像判断式子符号

①②④解题的关键：٭掌握二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征方法指导

④如图

命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系►题型02根据二次函数的图像判断式子符号

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．①②

B．①③ C．②③

D．①②③CD

∴2a-b=0

∵二次函数顶点在第二象限

在x轴正半轴上在第二象限

命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系►题型03函数图像综合

DC解题的关键：٭掌握二次函数、一次函数图象以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题方法指导

命题点二二次函数的图像与各项系数之间的关系►题型03函数图像综合