新高考艺术生40天突破数学第03讲 函数的概念（解析版）

第03讲函数的概念【知识点总结】一、函数的概念设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)x∈A·其中叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集.注函数即非空数集之间的映射注构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.二、函数的定义域求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切的定义域是且；（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.三、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.四、函数的解析式求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（）A．3 B．1 C．0 D．【答案】A【详解】根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，则为常数，设，则，则有，解可得，则，故；故选：A.例2．（2022·全国·高三专题练习）函数，若实数满足，则（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】由题意可得的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，若，所以，可得，由可得，解得：，所以，故选：D.例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，则且又因为，所以，所以，即函数的值域为，故选：B.（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（）A．式子可表示自变量为、因变量为的函数B．函数的图象与直线的交点最多有个C．若，则D．与是同一函数【答案】BCD【详解】对于A选项，对于函数，有，此不等式组无解，A错；对于B选项，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点，当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有个交点，所以，函数的图象与直线的交点最多有个，B对；对于C选项，因为，则，故，C对；对于D选项，函数与的定义域均为，且对应关系相同，故与是同一函数，D对.故选：BCD.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.【答案】③【详解】①②④满足函数的定义，所以是函数，对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数．故答案为：③例6．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．【答案】【详解】依题意，所以的定义域为.故答案为：例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【详解】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．∴，∴，即的定义域为．（2）由题意知中的，∴.又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．又，即，∴函数的定义域为.例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：（1）已知f(＋1)＝x＋2；（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【详解】(1)(方法1)(换元法)：设t＝＋1，，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(方法2)(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1.(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（）A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±D．M＝R，N＝R，f：x→y＝【答案】B【分析】根据函数的定义，要求集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，对选项逐一分析得到结果.【详解】A中，M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，B中，M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2M中任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，C中，M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义，D中，M＝R，N＝R，f：x→y＝，M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，故选：B．【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数的概念，属于基础题目.2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足：的是A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：A中，B中，C中，D中考点：函数关系判断3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝的定义域是（）A． B． C． D．．【答案】A【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意，所以的定义域为.故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）函数y的定义域为（）A．[﹣2，3] B．[﹣2，1）∪（1，3]C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣2，1）∪（1，3）【答案】B【分析】解不等式组即得解.【详解】解：由题意得，解得﹣2≤x＜1或1＜x≤3，故选：B．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义域以及对数的真数为正数、分母不为零可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】已知函数的定义域为，对于函数，有，即，解得.因此，函数的定义域为.故选：D.6．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据函数的定义域为，求出，再令即可求求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，解得：，所以的定义域为，故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，则，代入已知解析式可得的表达式，再将换成即可求解.【详解】令，则，所以，所以，故选：A.8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列各组函数中，表示同一函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由当两个函数的定义域相同，对应关系相同时，这两个函数是同一个函数进行分析判断【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以A错误，对于B，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以B错误，对于C，两个函数的定义域为，而，两函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以C错误，对于D，两个函数的定义域为，，两函数的对应关系相同，所以这两个函数是同一个函数，所以D正确，故选：D9．（2021·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根据函数的定义域是否相同，定义域相同的情况下取相同值看计算出来的结果是否相同即可.【详解】A中，的定义域为，的定义域为.A错.B中，的定义域为，的定义域为.B错.C中，函数与轴的交点为，函数的零点为.C错.D中，函数，函数，两函数定义域相同值也相同.D正确.故选：D.10．（2022·全国·高三专题练习）若函数满足，则（）A．0 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】由可得，得到方程组，可解，代入可求出.【详解】由，可得，联立两式可得，代入可得.故选：D.【点睛】方法点睛：求函数的解析式，常用的方法有：（1）配凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）构造方程组法；（5）特殊值法.11．（2022·全国·高三专题练习）函数，若实数满足，则（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】判断的单调性可得，所以，求得的值即可求解.【详解】由题意可得的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，若，所以，可得，由可得，解得：，所以，故选：D.12．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)=，则f(4)+f(-4)=（）A．63 B．83 C．86 D．91【答案】C【分析】由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.【详解】依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)=f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，所以f(4)+f(-4)=86.故选：C13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围为（）A． B． C．， D．【答案】C【分析】运用一次函数和对数函数的单调性可解决此问题．【详解】解：根据题意得，（1）若两段在各自区间上单调递减，则：；解得；（2）若两段在各自区间上单调递增，则：；解得；综上得，的取值范围是，故选．【点睛】本题考查一次函数、对数函数以及分段函数单调性的判断，值域的求法,属于基础题．14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（）A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)【答案】C【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：C．15．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，函数，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别讨论和时，，与的大小关系，进而可得与的表达式，解方程即可求解.【详解】因为，当时，，此时等价于，所以，解得：，不满足，舍去；当时，，此时等价于，所以，解得：，符合题意，综上可得：，故选：A．16．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，函数，若，则的值为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分和两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，，即，解得；当时，，即，此时方程无解，综上可得，实数的值为.故选：B.17．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据指数函数的单调性得到函数在上的单调性，再画出分段函数的图象，利用图象得到不等式的解集.【详解】当时，函数单调递减，则，作出的大致图象如图所示，由图象知，要使，须或，解得或，即.故选：D.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据在R上单调递增可求解.【详解】易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A．19．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别在和的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果.【详解】当时，，，解得：；当时，，解得：；综上所述：的取值范围为.故选：A.20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【分析】根据分段函数的定义得出时函数类似于周期性，这样可把自变量的值变化到上来，从而求得函数值．【详解】由题意．故选：D．二、多选题21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从到的函数的是（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】A，集合中在集合中没有对应元素，故A不选.B，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故B可选；C，集合中、在集合中没有对应元素，故C不选.D，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故D可选；故选：BD22．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数在区间上有意义，则实数可能的取值是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】该题可等价于在区间上恒成立，分离参数即可求得.【详解】函数在区间上有意义，等价于在区间上恒成立，由得在区间上恒成立，所以，故选：AB．23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】设，代入列方程组求解即可.【详解】设，由题意可知，所以，解得或，所以或.故选：AD.三、双空题24．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若，则________，若方程有三个不同的实根，则实数b的取值范围是________.【答案】或【分析】第一空结合分段函数分和，解方程即可求出结果；第二空将方程有三个不同的实根转化为函数与直线有三个交点，作出函数图象数形结合即可求出结果.【详解】若，则，解得，若，则，解得，故或；当时，且单调递增，当时，，在单调递减，在单调递增，所以f(x)的最小值是，作出函数的图象，如图所示：若方程有三个不同的实根，有3个交点，故故答案为：或；.25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数若，则______；若关于的方程有两个不同零点，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】第一空，将等价于或，解之即可；第二空，作函数及图象，根据图象求实数的取值范围即可．【详解】解方程，得①②解①无解，解②得.关于的方程有两个不同零点等价于的图象与直线有两个不同交点．观察图象可知：当时，的图象与直线有两个不同交点，即．故答案为：；．四、填空题26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则______.【答案】【分析】利用换元法可求的解析式，将代入即可求的值.【详解】令，则，所以，所以，所以，故答案为：【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意的实数，满足，且恒大于，若，则____．【答案】【分析】利用赋值法，先令可得，再令，，即可求出的值．【详解】令，则，解得或(舍去).令，，则，因为，所以.故答案为：．28．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为________________；满足的的值是______________．【答案】1，2【详解】=；当x=1时，，不满足条件，当x=2时，，满足条件，当x=3时，，不满足条件，∴只有x=2时，符合条件．29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则________．【答案】-7【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________．【答案】【分析】由函数的定义域是，可求的值域，即函数的定义域，再由，即可求得的定义域.【详解】的定义域是，则，即函数的定义域为，令，即，解得则函数的定义域为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求抽象函数的定义域的方法：（1）已知的定义域为，求的定义域：求不等式的解x的范围，即为的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域：由确定的取值范围，即为的定义域.（3）已知的定义域，求的定义域：先由的定义域，求得的定义域，再由的定义域，求得的定义域.31．（2022·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且满足，求_____．【答案】【分析】设，根据已知条件列方程，由对应系数相等求出和的值即可求解.【详解】因为是一次函数，设，因为，所以，整理可得，所以，可得，所以，故答案为：.32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______【答案】【分析】令，则，且，将已知条件转化为关于的表达式，再将换成即可求解.【详解】令，则，且，所以，所以，故答案为：.33．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f()＝3x，则f(x)＝_________.【答案】【分析】令代入等式，解方程组可得答案.【详解】因为，可得，由，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用方程组求解析式，属于简单题型，一般求解析式的方法分为：1.待定系数法，适应于已知函数类型；2.代入法，适用于已知的解析式，求的解析式；3.换元法，适用于已知的解析式，求的解析式；4.方程组法，适用于已知和的方程，或和的方程.34．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的解析式是________．【答案】.【分析】将等式中的换为，建立二元一次方程组求解即可得出的解析式.【详解】将等式中的换为得到：故有解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求抽象函数的解析式，属于基础题.35．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．【答案】【分析】由题意，把等式中的替换成即可求出．【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立，令，得，即，，．故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，属于基础题，准确理解恒等式的含义是解决本题的关键．36．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为_________．【答案】3【分析】用换元法，令，求出代入后可得，然后解即可．．【详解】令，则，所以，．故答案为：3．37．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围是_______________.【答案】【详解】试题分析：当时，，∴，∴；当时，，∴，∴，综上，使得成立的的取值范围是．故答案为．考点：分段函数不等式及其解法.【方法点晴】本题考查不等式的解法，在分段函数中结合指数函数不等式与幂函数不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．利用分段函数，结合分为两段当时，根据单调性，解指数函数不等式，取交集；当时，解幂函数不等式，取交集，综合取上述两者的并集，即可求出使得成立的的取值范围．38．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.【答案】【分析】利用函数在上是减函数，可列出不等式组，由此求得a的取值范围.【详解】由于是定义在R上的减函数，∴，求得，故答案为：.五、解答题39．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；