江西省智慧上进期末联考2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题【含答案解析】

江西省2024-2025学年第一学期期末考试高一数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．考查范围：必修第一册．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交集运算即可求解.【详解】因，，所以．故选：D．2.命题“”的否定是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题．【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题．命题“”的否定是.故选:C3.为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（）A.按性别分层随机抽样 B.按学段分层随机抽样C.抽签法 D.随机数表法【答案】B【解析】【分析】由分层抽样的概念即可判断；【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样．故选：B．4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性结合特殊的函数值可判断得解.【详解】易知是偶函数，排除，又且，排除C.故选：D.5.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可.【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知．故选：C．6.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数零点存在性定理进行判断.【详解】因为幂函数和函数在上单调递增，所以在上单调递增.因为幂函数在上单调递增，所以，因为指数函数在上单调递减，所以，.由零点存在定理知零点所在区间为.故选：B7.已知幂函数的图象过点，函数，则“”的一个充分不必要条件为（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数过，求出，得到的解析式，并根据条件得到在上单调递减，从而得到不等式，求出的取值范围是，从而得到答案.【详解】设幂函数，因为其图象过点，所以，解得，所以，所以，又满足，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围是，因为为的真子集，故为一个充分不必要条件，其他选项不合要求，故选：C.8.已知四个不同的实数，，，，其中，，的方差为，，，的方差为，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用方差的定义，带字母进行运算，再利用相等关系进行变形化简即可得结果.【详解】，同理，由题意得，即，整理可得，因为，所以．故选:B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（）A.极差为8 B.平均数为24C.80%分位数为25 D.众数为24【答案】ABD【解析】【分析】分别通过极差、平均数、百分位数、众数的概念逐个判断即可；【详解】极差为，故A正确；平均数，故B正确；，则80%分位数是第5个数据26，故C错误；众数为24，故D正确．故选：ABD．10.抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（）A.与是互斥事件 B.与是相互独立事件C. D.与是对立事件【答案】BC【解析】【分析】根据互斥事件判断A，应用概率的乘法公式计算判断B，应用互斥事件结合概率性质计算判断C，根据对立事件定义判断D.【详解】事件与事件能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误；因为，，，所以，故与互不影响，故B正确；事件，事件，不可能同时发生，故事件与互斥，故，故C正确；表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，，，事件与事件不是对立事件，故D错误．故选:BC．11.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（）A.当时，B.的单调递增区间为、C.若，，则的取值范围是D.方程的所有实数根之积为【答案】ACD【解析】【分析】利用偶函数的基本性质求出函数在上的解析式，可判断A选项；数形结合可判断B选项；数形结合得出函数在上的最大值，可判断C选项；求出方程所有的根，可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，则，又由为偶函数可得，故A正确；对于B选项，由题意，函数的图象如图所示，的递增区间有3个，故B错误；对于C选项，因为，，所以只需对于任意，，由图知，即，故C正确；令，则，解得，即，若，即，解得或；若，即，解得，所以方程所有实数根之积为，故D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校60名同学数学竞赛的成绩（满分：100分）均在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60名参赛者中随机选取1人，试估计其成绩在的概率为_____．【答案】0.05【解析】【分析】由频率分布直方图的性质面积和为1，即可求解；【详解】由图可知，，解得，成绩在的频率为，以频率为概率估计概率为0.05．故答案为：0.0513.已知正数满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】结合1的活用应用常值代换，再应用基本不等式计算求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当即时，取得最小值.故答案为：.14.函数的图象的对称中心坐标为__________.【答案】【解析】【分析】法一，根据函数对称性的定义列式运算得解；法二，求出函数的定义域，且，根据对称性可得对称中心横坐标为，代回求出对称中心的纵坐标，得解.【详解】解法一：设图象的对称中心坐标为，则，所以，整理可得，此式对定义域内的任意值都成立，则必有，所以，回代可得，解得，故对称中心坐标为.解法二：易知函数的定义域为，且，故图象的对称中心横坐标为，将其代入中，可得，所以图象的对称中心坐标为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解不等式，求集合A、B，运用集合交集及补集定义运算求解；（2）根据交集关系得出，列出对应的不等式，求解即可．【小问1详解】当时，，又集合，所以，所以解或.【小问2详解】因为，所以.又，故解得所以实数的取值范围是.16.某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响．（1）求甲积2分的概率；（2）求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出每个事件，再利用独立事件的概率公式求解即可.（2）设出各个事件的概率，再结合独立事件和对立事件的概率公式求解即可.【小问1详解】记事件“甲限时滚铁环过关”，事件“甲定点投篮过关”，事件“甲积2分”，易知与相互独立，则，由独立事件概率公式得．【小问2详解】设事件“乙限时滚铁环过关”，事件“乙定点投篮过关”，事件“乙积2分”，易知与相互独立，则，由独立事件概率公式得．又与相互独立，所以两人的积分之和为4分的概率，所以两人的积分之和不超过3分的概率为．17.某大学校园选择了一个八边形区域设计一个校园景观，如图所示，图中四个三角形为全等的等腰直角三角形，主干路总面积（图中阴影部分和中间白色正方形面积之和）为，在重合的部分处建一正方形特色凉亭，凉亭造价为600元；在四个空角（图中四个三角形）建造水池和喷泉，造价为1600元；四个矩形路（图中阴影部分）不处理，造价忽略不计.设长为（单位：），长为（单位：）.（1）求关于的函数关系式；（2）设校园景观总造价为（单位：元），求的最小值.【答案】（1）（2）40000元【解析】【分析】（1）利用面积建立的关系，解得，并求得的范围即可得；（2）用表示出，变形后由基本不等式得最小值．【小问1详解】由题意可知，即，又，得，解得，所以关于的函数关系式为.【小问2详解】由题意可得，凉亭总造价为元，水池和喷泉总造价为元，所以校园景观总造价.当且仅当，即时等号成立，经检验，所以当时，取最小值40000元.18.已知定义域为的函数满足，，且当时，．（1）求的值；（2）用单调性定义证明：在定义域上是增函数；（3）若，求不等式的解集．【答案】（1）0（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令，即可求解；（2）由，且，得到，再由当时，，即可求证；（3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可；【小问1详解】解：因为，，所以令，可得，得．【小问2详解】证明：，且，则，显然，，所以，又，所以，因当时，，所以，即，所以在定义域上是增函数．【小问3详解】解：因为函数的定义域为，所以解得．由，得等价于，而，所以，所以，解得，或（舍去），故，故不等式的解集为．19.定义一种新运算“”，.（1）计算，并判断与的大小关系；（2）若函数有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数的值；（3）已知关于的不等式的解集为中的整数恰有4个，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据新定义以及对数运算计算可得