湖南省邵阳市新邵县2024-2025学年高二上学期期末数学试题【含答案解析】

2024年下期高二期末质量检测数学试题卷考生注意：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，本试卷共19题，满分150分，考试时量120分钟.2．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.3．选择题的做题：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城无效.4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区无效.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设，空间向量，且，则（）A. B.1 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根据空间向量平行公式，即可求解.【详解】由向量，可知，，即，解得，，，所以.故选：C2.直线的倾斜角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】通过斜率求出倾斜角【详解】整理得,直线斜率为，，所以倾斜角为.故选：A3.圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系可知，所求直线为两圆的圆心所在直线.【详解】线段的垂直平分线为圆心连线，由圆的方程可知，，，,所以直线的方程为，化简为.故选：B4.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.12或3 B.1或 C.12 D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到方程组，解出后进一步计算即可.【详解】设等比数列的公比为，则，，则，化为，解得或，则或，故选：A.5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程的概念求解即可.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，即.故选：C.6.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A. B.，C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量共面的充要条件可证明A，B，C三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明D中的向量不共面即可求解.【详解】因为，所以共面，故A不正确；因为，所以共面，故B不正确；因为，所以共面，故C不正确；若共面，则，则为共面向量，此时与为空间的一组基底矛盾，故不共面.故D正确.故选：D7.若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】原点在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径.【详解】圆，即，圆心坐标，半径为1，直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1，原点在圆上，所以原点到直线距离的最大值为.故选：B8.如图，已知双曲线的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合双曲线定义可得、，借助向量模长与数量积的关系可得与、有关齐次式，即可得离心率.【详解】由双曲线定义可知，，又，关于原点对称，故，，故，，又，故、，有，故，即有，即有，故.故选：D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）9.已知等差数列的前项和为，公差，,则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，得到则且，结合等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】在等差数列中，由成立，当时，可得，则；当时，可得，则，所以，等差数列的公差，因为，所以，又由，所以，所以由，因为，所以，所以ABC正确，D不正确.故选：ABC.10.正方形的边长为2，点分别是的中点，如图所示，将正方形沿折起，使得平面与平面垂直，则（）A.B.异面直线与的所成角为C.与平面的所成角的正切值为D.三棱锥和的体积分别为，，，则【答案】ACD【解析】【分析】根据余弦定理判断A，根据异面直线所成角的定义求出角判断B，根据线面角定义求出角判断C，根据棱锥体积公式判断D.详解】连接，如图，因为，平面与平面垂直，且交线为，平面，所以平面，又平面，所以，又是在平面上的射影，所以为与平面的所成角，因为，所以在中，，故C正确；易知，，由余弦定理可得，由，所以，故A正确；因为，所以即为异面直线所成的角，由，所以，即，在中，，故，故B错误；设因为，，故，因为三棱锥和的高都为,所以，故D正确.故选：ACD11.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（）A.点在抛物线（）的准线上B.存在点，使得C.D.面积的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】设，联立直线和抛物线，利用韦达定理得到，设出过和过的切线方程，利用已知得到，，即可判断选项A，再由结合相似，即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，结合特殊情况即可判断选项D.【详解】设，设直线：，联立得，则，设过点的切线为，联立得，由，可得，同理可得过点的切线斜率为，所以处切线方程分别为，联立可得，故A正确；又即，，所以，，所以，，即，C正确；又，所以，，所以，B错；由上述知，，又因为直线斜率为，所以，设准线与轴的交点为，则面积，当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），此时面积取最小值，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；（3）数形结合思想.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是_____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，得双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解.【详解】由题意，所求双曲线为等轴双曲线，可得双曲线的方程为，因为所求双曲线过点，可得，解得，所以，所求双曲线的方程为.故答案为：.13.已知正方体的棱长为1，与平面的交点为，则______．【答案】1【解析】【分析】由题意首先得而，三点共线，故只需分别求出即可.【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为正方体棱长为1，所以，，所以，所以，又因为面，所以面，又因为面，所以，由正方体的性质容易得到，而在直角三角形中，有，所以由等面积法有，所以，，所以.故答案：1.14.设等差数列{}的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则这样的数列{}的个数为______.【答案】3【解析】【分析】由条件知，得到，又由等差数列的求和公式，求得，得出为等差数列中的项，进而利用为整数，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，由条件知(是某个正整数)，则，即，因此必有，且，而对任意正整数，可得，即的表示式满足等差数列的通项公式的结构，又为一奇一偶，即为整数，所以为等差数列中的项，因为等差数列{}的各项均为整数，所以只要且）为整数，那么就是中的一项，易知：可取，即，对应可得到3个满足条件的等差数列.故答案为:3.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是把等差数列的前项和公式转化为等差数列的通项公式形式，以及合理应用整除的性质求解，着重考查了分析问题和转化化归的能力.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知圆的方程为．（1）求过点且与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；（2）设出直线的点斜式方程，由几何关系得圆心到直线距离为，进而得解.小问1详解】当直线斜率不存在时，显然与相切；当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或；【小问2详解】设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即或.16.三棱台的底面是正三角形，平面，，，，E是的中点，平面交平面于直线l．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由三棱台的性质得到//，再利用线面平行的判定定理和性质定理进行证明；（2）在平面内作，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量公式进行求解.【小问1详解】在三棱台中，//，又平面，平面，则//平面，又平面，平面平面，所以//.【小问2详解】因为平面，在平面内作，以为原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求；（3）设，数列的前项和为，且对一切成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）结合题意，利用累加法即可求得答案；（2）由（1）可得的通项公式，利用裂项求和法，即可得答案；（3）由（1）可得的表达式，利用裂项求和法求出的表达式，确定的范围，结合对一切成立，解不等式即可得答案.【小问1详解】由题意知，，故，即，也适合该式，故；【小问2详解】由（1）知所以；【小问3详解】由（1）可得，据题意，即对一切恒成立，而，所以.18.已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时，（1）求点的轨迹方程；（2）证明：直线是点轨迹的切线；（3）求面积的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可.（2）设求出直线l的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可，（3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可【小问1详解】由线段的垂直平分线的性质可知，，故，所以点在以点A，为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为8，焦距为，短轴长，故点的轨迹方程为：.【小问2详解】设，则有：，将代入椭圆：消去整理得，故，即所以，直线是点轨迹切线；.【小问3详解】由（2）可知，点到直线的距离为，点A到直线的距离为，故线段，所以的面积为，当且仅当时，等号成立，所以当时，的面积的最大值为.19.已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.（1）求的方程；（2）若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.①求；②记，，求.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设双曲线方程为，表示渐近线方程，从而得到方程组，求出、，即可求出曲线方程；（2）①首先判断直线的斜率均存在且不为，设的方程为，，，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可求出点坐标，同理可得点坐标，根据、、三点共线，表示出，即可得解；②首先得到，再利用并项求和法及错位相减法计算可得.【小问1详解】依题意设双曲线方程为，则渐近线方程，则，解得，所以的方程为；【小问2详解】①当直线中又一条直线的斜率为，另一条