河南省周口市2024-2025学年高一上学期期末数学试题【含答案解析】

绝密★启用前周口市普通高中2024-2025学年高一年级期末（上）联合考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则中元素的个数为（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由集合的并集的定义求得后可得．【详解】因为，所以中有4个元素．故选：C．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由诱导公式化简即可直接得答案．详解】．故选：B.3.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数式与对数式互化，再根据指数的运算求解．【详解】由，得，由，得．故选：C．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数的性质判断的取值范围，即得答案.【详解】因为，所以．故选：D.5.要得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则，即可得解．【详解】因为，所以把的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．故选：A.6.若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由复合函数的单调性满足“同增异减”即可求解，注意对数函数的定义域．【详解】由题知且．设，则在区间上单调递减，由复合函数的单调性可得，即．又因为当时，所以，解得．综上得．故选：D.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角恒等变换公式及同角三角函数的基本关系即可直接求得答案．【详解】由，得，，两式相加，得，即．故选：B.8.已知函数，若方程有3个不同的实数根，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由方程有3个不同的实数根，可得函数的图象与直线有3个交点，由图象可得，是方程的根，当时，可求得，进而计算可求得的取值范围．【详解】如图，画出大致图象．方程有3个不同的实数根，即函数的图象与直线有3个交点，由图可知．易知：是方程的根，即的根，所以．当时，令，可得，所以时，．所以．所以的取值范围是．故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若A，B均为非空集合且，则“”是“”的必要不充分条件B.若a，，则“”是“”的充分不必要条件C.若x，，则“”是“”的充要条件D.“”是“”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即可.【详解】对于A，由“”可以推出“”，但由“”不能推出“”，则“”是“”的必要不充分条件，A正确；对于B，由，得，从而，但由只能得到，不能得到，则“”是“”的充分不必要条件，B正确；对于C，等式成立的前提是，则“”不是“”的充要条件，C错误；对于D，若，则，必有，反之不成立，则“”是“”的充分不必要条件，D正确故选：ABD10.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用赋值法可判断A，D，利用不等式性质可得，进而分析可得，可判断B；利用不等式性质可得，可判断C.【详解】对于A，D，取，则，故A，D错误；对于B，因为，所以，所以，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，结合B选项的分析，可得，所以，故C正确．故选：BC.11.若函数满足对任意，都有，且当时，则（）A.的值不可能是0 B. C.是奇函数 D.是增函数【答案】AC【解析】【分析】A选项令，求出，再验证，得到结论；B选项令求得；C选项令得到与的关系即可；D选项根据题意写出一个不是增函数的解析式排除即可.【详解】对于A，在中，令，得或，若，则当时，，与已知矛盾，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，故B错误；对于C，令，得，所以是奇函数，故C正确；对于D，取，是符合已知条件的函数，但不是增函数，故D错误．故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则，的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求最大值．【详解】因为，所以，故，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．故答案为：．13.已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：）满足的关系式为，若该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，则该食品在时的保鲜时间是__________．【答案】64【解析】【分析】根据指数函数模型列式求解．【详解】由该食品在时的保鲜时间是，得，所以，由在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，得，所以，所以该食品在时的保鲜时间是．故答案为：64.14.已知函数，在上的最大值为，则__________．【答案】1【解析】【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，再根据三角函数的性质即可求得n的值．【详解】，当时，，所以，所以，所以．故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的图象关于直线对称，的最小正周期为．（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用最小正周期可求得，利用对称轴可求得，可求解函数的解析式；（2）利用的单调递增区间为，可求的单调递增区间.【小问1详解】因为的最小正周期为，所以，因为图象关于直线对称，所以，即，又，所以，所以．【小问2详解】因为的单调递增区间为，所以令，得，所以的单调递增区间为.16.已知函数．（1）若的图象经过点，求不等式的解集；（2）若存在x，使得，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集；（2）将问题转化为方程在时有解，再借助一元二次函数的性质进行求解即可.【小问1详解】因为的图象经过点，所以，即，又，所以．因为的定义域为，且在上单调递增，所以由，得，解得，故原不等式的解集为．【小问2详解】，即，化简可得，所以方程在时有解．易知在上的值域为，所以，又，所以，即a的取值范围为．17.已知．（1）求；（2）若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用齐次式可求解；（2）由二倍角的正切函数公式求得，由，求得，进而利用两角和的正切函数公式可求解.【小问1详解】因，所以．【小问2详解】因为，所以．因为，①两边平方得，所以，又因为，所以，所以，②①②联立，得，所以，故．18.已知是偶函数．（1）求的值；（2）用单调性的定义证明在上单调递增；（3）解关于不等式．【答案】（1）（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质根据即可求解，（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可求解，（3）根据一元二次不等式的解的特征，结合分类讨论即可求解.【小问1详解】因为是偶函数，其定义域为，所以，即，所以（负值舍去）．当时，，满足，是偶函数，所以．【小问2详解】由（1）知．，且，有，由，得，所以，即，所以在上单调递增．【小问3详解】由（1）知，故原不等式为，可得．若，得，原不等式的解集为，若，原不等式等价于，因为，所以原不等式的解集为，若，原不等式等价于，当时，原不等式的解集为，当，即时，原不等式的解集为，当，即时，原不等式的解集为．19.给定区间D，若在D上有最大值M及最小值m，且，则称为D上的“单位距函数”．（1）若是上的“单位距函数”，求a的值．（2）若函数在区间上的最小值为．（i）求的表达式；（ii）若为整数，且为区间上的“单位距函数”，求m，a的值．【答案】（1）（2）（i）；（ii），【解析】【分析】（1）当时，，根据题意可得，求解即可；（2）（i），令，分，，三种情况讨论可求得的表达式；（ii）由（i）知，当时，，，结合已知可求得的值.【小问1详解】因为，当时，，当且仅当时取等号，所以，此时；，此时．因为为上的“单位距函数”，所以，所以．【小问2详解】（i）．设，