人教数学八年级上册电子教案

三角形的边

一、教学目标

（一）知识与技能：1.进一步认识三角形的概念及其基本要素;2.掌握三角形三条边之间关系.

（二）过程与方法：经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系.

（三）情感态度与价值观：帮助学生树立几何知识源于客观实际，用客观实际的观念，激发学

生学习的兴趣.

二、教学重点、难点

重点：了解三角形定义、三边关系.

难点：1.在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形；2.用三角形三边不等关系判

定三条线段可否组成三角形.

三、教学过程

图片欣赏

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

线段AB,BC,CA是三角形的边.点A,B,C是三角形的顶点.ZA,ZB,NC是相邻

两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.

顶点是A,B,C的三角形，记作AABC,读作“三角形ABC".

△ABC的三边，有时也用a,及c来表示.顶点A所对的边BC^

用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c%二----5------^C

表示.

思考

回想一下，三角形按照三个内角的大小可以分成几类？按照边的关系呢？

边

「锐角三角形三

不

都

等

接角今类《直角三角形相

三

的

形

I钝角三角形角

边都不相等的三角形

按边合类，底边和腰不相等的等腰三角形

I等腰三角形

等边三角形

探究

两只蚂蚁在B点，同时发现在C点的位置上有一小块

糖，于是它们各自沿着不同的路线出发去抢那唯一的一小

块糖（假设它们的速度相同）.看完了这两只蚂蚁抢糖吃

的全过程，你有何体会？

对于任意一个AABC,如果把其中任意两个顶点（例如B,C）看成定点，由“两点之间,

线段最短”可得AB+AOBC①

同理有AC+BOAB②

AB+BOAC③

一般地，我们有

三角形两边的和大于第三边.

由不等式②③移项可得BCAAB-AC,BOAC-AB.这就是说,

三角形两边的差小于第三边.

例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？

解：⑴设底边长为xcm,则腰长为2xcm.

x+2x+2x=18,解得x=3.6

所以，三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.

(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.

①如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm,则

4+2x=18»解得x=7

所以，三边长分别为4cm,7cm,7cm.

②如果4cmK的边为腰长，设底边长为Jicm,则

2X4+产18,解得x=10

因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成三角形.

由以上讨论可知，可以围成底边是4cm的等腰三角形.

练习

I.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.

解：图中共有5个三角形，分别如下：

△ABC,AABE,ABCE,ABCD,ACDE.

2.(口答)下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

(1)3,4,8(2)5,6,11(3)5,6,10

解：(1)不能组成三角形，因为3+4<8：

(2)不能组成三角形，因为5+6=11；

(3)能组成三角形，因为5+6>10.

只要选取两条较短的线段，求出和再与最长的线段比较，和较大，则可以；否则不能组成三

角形.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节课先让学生掌握三角形的有关概念及三角形的分类.重点研究“能围成三角形的三

条边之间到底有什么关系”.通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于

第三边这一结论.这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生

的动手能力.

三角形的高、中线与角平分线

一、教学目标

（一）知识与技能：1.掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质；2.会画三

角形的高、中线、角平分线.

（二）过程与方法：经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线.

（三）情感态度与价值观：培养学生乐于动手，肯于实践的精神.

二、教学重点、难点

重点：三角形的高、中线与角平分线.

难点：三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高.

三、教学过程

创设情境

把一根橡皮筋的一端固定在AABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边

移动到点C.

观察移动过程中形成的无数条线段（AD、AE、AF、AG…）中有没有特殊位置的线段？你认

为有哪些特殊位置？

预备知识

1.垂线的定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两

条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.

2.线段中点的定义：

把一条线段分成两条相等的线段的点.A，C，B

3.角平分线的定义：

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.

高

你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？如何求AABC的面积？

如何求aABC的面积？

从4ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做4ABC

的边BC上的高.（也叫三角形的高线，简称三角形的高）

几何符号语言：反之

,:AD是AABC的高,：ZBDA=90°（ZCDA=90°）

:.ZBDA=ZCDA=90°:.AD是△ABC的高

用同样的方法你能画出AABC的另两条边上的高吗？你有何发现？

锐角三角形的三条高宜角三角形的三条高钝角三角形的三条高

画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？

画出一个直角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？

直角边BC边上的高是；

直角边AB边上的高是―；

斜边AC边上的高是.

画出一个钝角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？

归纳

三角形的三条高所在直线交于同一点.

思考（中线）

已知D是BC的中点，试问AABD的面积与4ADC的面积有何关系？

连接4ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做AABC的边BC上的中线.

几何符号语言：反之

VAD是AABC的中线VBD=CD（或BD=，BC）

2

:.BD=CD=1BC・•・AD是△ABC的中线

2

用同样的方法你能画出AABC的另两条边上的中线吗？你有何发现？

探究

分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，认真观察！你可得到什么结论？

归纳

三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木

板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.

角平分线

任意画一个三角形，你能设法画出它

的一个内角的平分线吗？你能通过折

纸的方法得到它吗？

ZBAC的平分线AD,交NBAC所对的边

BC于点D,所得线段AD叫做△AB。的

的角平分线.

几何符号语言：反之

•・•AD是△ABC的角平分线VZ1=Z2

・•・Z1=Z2=-ZBAC:.AD是△ABC的角平分线

2

画出4ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？

探究

分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，认真观察！你可得到什么

结论？

三角形的三条角平分线交于同一点.

练习

1.如图，（1）（2）和⑶中的三个NB有什么不同？这三条aABC的边BC上的高AI）在各自三角

形的什么位置？你能说出其中的规律吗？

2.填空:

（1）如图（I）,AD,BE,CF是aABC的三条中线，则AB=2_,BD=,AE=-

2-

(2)如图(2),AD,BE,CF是4ABC的三条角平分线，则Nl=—,Z3=-_____,ZACB=2

2~

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节课由一个动画演示引入，让学生意识到三角形中有很多条特殊的线段.然后从画图

入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想,

同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的

定义以及表示方法.

三角形的稳定性

一、教学目标

（一）知识与技能：知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解三角形的稳定性在生产、

生活中的应用.

（二）过程与方法：通过引导学生主动探究得出三角形具有稳定性的过程，加强学生的探究与

总结能力.

（三）情感态度与价值观：通过了解三角形稳定性与四边形没有稳定性在生产、生活中广泛应

用，体会出三角形与实际生活的巨联系，激发学生对三角形的学习兴趣.

二、教学重点、难点

重点：了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用.

难点：灵活准确使用三角形稳定性于生产生活之中.

三、教学过程

猫与老鼠

有一天小老鼠Jerr遇到了灰猫Tom,眼看就要被灰猫抓住…

工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？盖房子时，在窗

框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条.为什么要这样做呢？

探究

如图（1）,将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，燃后扭动它，它的形状会改变吗？

如图（2）,将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

如图（3）,在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时

木架的形状还会改变吗？

(1)(2)(3)

稳定性

用三根木棒钉一个三角形,你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说,

如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了.在数学上把三角

形的这个性质叫做三角形的稳定性.

四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，你能举出一些例子吗?

^pinnn翡猥

lllllliBHIin

MBMSsgSSHSsMsSI££M£££M£££

练习

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗?

四、教学反思

在教学三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用

三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何解决

生活中的问题.学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种应用，

而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号.这样的教学既使得学生对稳定性有了正确

清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法奠定了认知

的基础.

三角形的内角

一、教学目标

（一）知识与技能：1.了解三角形的内角；2.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角

和等于180度；3.学会解决与求角有关的实际问题.

（二）过程与方法：经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理，初步掌握添加辅助线的

方法.

（三）情感态度与价值观：初步培养学生的说理能力.

二、教学重点、难点

重点：三角形的内角和定理及其运用.

难点：三角形内角和定理的推理过程.

三、教学过程

兄弟之争

在一个直角三角形里住着三兄弟，它们就是更角三角形的三个内角，平时，它们三兄弟

非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最

大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围

不起末了……”.

“为什么？”老二很纳闷.

同学们，你们知道其中的道理吗？

动手剪拼动态演示

NA=37

ZB=111'

ZC=32,

R三角形内角和

A2V©180°

定理证明

已知：如图，AABC.

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：如图，过点A作直线/,使/〃BC.

・：/〃BC

:.Z2=Z4（两直线平行，内错角相等）

同理Z3=Z5

,:Zl,Z4,N5组成平角

・•・Zl+Z4+Z5=180°（平角定义）

BC

・・・Zl+Z2+Z3=180°（等量代换）

三角形内角和定理三角形的内角和等于180°即NA+NB+NC=180°

由下图，你能想出这个定理的其它证法吗？

证明：作BC的延长线CD,过点C作射线CE〃AB.

・•.N1=NA（两直线平行，内错角相等）

N2=NB（两直线平行，同位角相等）

VZl+Z2+ZACB=180°（平角定义）

・•・ZA+ZB+ZACB=180°（等量代换）

例1如图，在AABC中，ZBAC=40°,NB=75°,AD是AABC的角平分线.求NADB的度数.

解：由NBAC=40°,AD是AABC的角平分线，得

ZBAD=1ZBAC=20°

2

在^ABD中，ZADB=1800-ZB-ZBAD

=180°-75°-20°

=85°

例2如图，是A,D,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50。方向，D岛在A岛的北偏东

80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角NABC是多少度？从C

岛看A、B两岛的视角NACB呢？

解：ZCAB=ZBAD-ZCAD=80°-50°=30°

由AD〃BE,得NBAD+NABE=180°

所以ZABE=1800-ZBAD=I80°-80°=100°

ZABC=ZABE-ZEBC=100°-40°二60°

在aABC中，NACB=1800-ZABC-ZCAB

=180°-60°-30°=90°

答：从B岛看A,C两岛的视角NABC是60"，从C岛看A、B两岛的视角NACB是90°.

练习

1.如图，从A处观测C处的仰角NCAD=30°,从B处观测C处的仰角/CBD=45°,从C处观

测A、B两处的视角NACB是多少度？

解：,:ZABC+ZCBD=180°C

・•・ZABC-1800-ZCBD-1800-45°-135°

在△ABC中，ZACB=1800-ZCAB-ZABC

=180°-30°-135°_dD

D

=15°

2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中NA=150°,ZB=ZD=40°,求

NC的度数.

解：连接AC,

V四边形ABCD左右对称

:.ZCAB=1ZBAD=75°

2

在AABC中，ZACB=1800-ZCAB-ZB

=180°-750-40°

=65°

:.ZBCD=2ZACB=130°

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学

生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率.然后让学生自

主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想.在教学中，教师通过必要

的提示指明了学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意

让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法,这样更有助于学生接受三角形的内角和

是180°这一结论.

直角三角形

一、教学目标

（一）知识与技能：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直

角三角形.

（二）过程与方法：经历推理证明得出直角三角形两内角互余定理的过程，巩固提高学生的推

理证明能力.

（三）情感态度与价值观：通过对问题的解诀，体验成功的快乐，培养学生的合作精神，树立

学好数学的信心.

二、教学重点、难点

重点：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.

难点：用直角三角形的性质进行有关推理和计算.

三、教学过程

复习巩固

求出下列各图中X的值.

问题引导

如下图所示是我们常用的一副三角板，两锐角的度数之和为多少度?

你能把下列推理补充完整吗？

如图，在△ABC中，

ZA+NB+NC-（）

VZC=90°（）

:.ZA+ZB=_____

直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形可以用符号“RtA”表示，直角三角ABC可以写成Rt^ABC.

几何符号语言：在Rt2\ABC中，：ZC=90°/.NA+NB=90°

探究

1.如图（1）,NB=NC=90°,AD交BC于点0,

NA与ND有什么关系？请说明理由.

2.如图（2）,ZB=ZD=90°,AD交BC于点0,

NA与NC有什么关系？请说明理由.

1.解：ZA=ZD.理由如下：

方法一：（利用平行的判定和性质）

,/NB=NC=90°

:.AB〃CD

:.NA;ND

方法二：（利用直角三角形的性质）

在RCAOB和RtaCOD中，

VZB=ZC=90°

:.ZA+ZA0B=90°,ZD+ZC0D=90°

VZA0B=ZC0D

:.ZA=ZD

①两个图形的相同点和不同点各是什么？

②图（1）的两种解答方法能用于图（2）的解答吗？哪个更具一般性?

2.解：ZA=ZC.理由如下：

在R/ZXAOB和R/4COD中，

VZB=ZD=90°

:.ZA+ZA0B=90°,ZC+ZC0D=90°

VZA0B=ZC0D

/.ZA=ZC

例3如图，ZC=ZD=90°,AD,DC相交于点E,ZCAE

与NDBE有什么关系？为什么？

解：ZCAE=ZDBE.理由如下：

在RfZXACE中，ZCAE=900-ZAEC

在Rf^BDE中，NDBE=900-ZBED

VZAEC=ZBED

:.NCAE二NDBE

思考

我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.此结论，反过来

是—.它成立吗？请你说说理由.

直角三角形的判定：

有两个角互余的三角形是直角三角形.

几何符号语言：

VZA+ZB=90°

・♦・AABC是直角三角形

练习

1.如图，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,NACD与NB有什么关系？为什么？

解：ZACD=ZB.理由如下:

■:ZACB=90°

:.ZACD+ZBCD=90°

VCD±AB

，ZBDC=90°

:.ZB+ZBCD=90°

:.ZACD=ZB

2.如图，NC=90°,Z1=Z2,△ADE是直角三角形吗？为什么？

解：4ADE是直角三角形.理由如下：

VZC=90°

:.N2+NA=90°

VN1=N2

/.Zl+ZA=90°

・•・ZXADE是直角三角形

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节课的内容是史角三角形的性质与判定：直角三角形的性质：宜角三角形的两个锐角

互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.上节课已经学过三角形的内角和是180。，据此

证明直角三角形两锐角互余这个定理并不难，教学中应该加强学生应用三角形内角和定理、

直角三角形两内角互余定理解诀一些简单的实际问题的能力.

三角形的外角

一、教学目标

（一）知识与技能：理解三角形的外角的概念，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角的和，能利用三角形的外角性质解决实际问题.

（二）过程与方法:通过学生小组合作推理三角形的外角的性质的过程，加强学生的推理能力，

运用几何语言有条理的表达能力.

（三）情感态度与价值观：通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作

交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人，养成良好的学习习惯.

二、教学重点、难点

重点：三角形的外角性质.

难点：能准确地表达推理的过程和方法.

三、教学过程

教材导学

I.在aABC中，ZA=30°,NB=40°,则NC=

2.如图，在AABC中，NA=65°,NB=55°,则NACB二,ZBCD=

B

/\A

ACD/A

三角形的内角是三角形内部的骄子./\

那三角形的外部呢？/\

什么都没有呀，让人感到很无奈！BCD-

只要你添上一笔就精彩了！

把aABC的一边BC延长，得到NACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的

角，叫做三角形的外角./

画一个△ABC,你能画出它的所有外角来吗？请动手\A/

试一试.同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？常分

归纳/\

1.每个外角是相邻内角的邻补角；/\

2.每一个顶点相对应的外角都有2个；__________&

3.每一个三角形都有6个外角.叶

找一找

如图，NBEC是哪个三角形的外角？NAEC是哪个三角形的外角？NEFD是哪个三角形

的外角？

ZBEC是AAEC的外角；ZAEC是aBEC的外角；ZEFD是△BEF和ACDF的外角.

思考

如图，ZXABC中,ZA=70°,ZB=60°.NACD是的一个外角.能由NA,NB求出NACD

吗?如果能，NACD与NA,NB有什么关系？

ZACD=ZA+ZB

任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都

有这种关系？

VZA+ZB+ZACB=180°

ZACB+Z?\CD=180°

:.ZA+ZB=1800-ZACB

ZACD=I8O°-ZACB

:.ZACD=ZA+ZB

推论I-

推论是由定理直接

一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：

推出的结论.和定理一

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

样，推论可以作为进一

几何符号语言：

步推理的依据.

VZACD是4ABC的外角_

:.ZACD=ZA+ZB(ZA=ZACD-ZB)

推论2

如图，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它

不相邻的两个内角的和.(NACD=NA+NB)完成下列填空:

NACD_NA(填V、>)NACD_NB(填V、»

因此，我们还可以得出这样的结论：

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

几何符号语言：

V/ACD是AABC的外角

:.ZACD>ZA,ZACD>ZB

例4如图，ZBAE,ZCBF,NACD是aABC的三个外角，它们的和是多少？

解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得

NBAE=N2+N3,NCBF=N1+N3,ZACD=Z1+Z2

所以ZBAE+ZCBF+ZACD=2(Z1+Z2+Z3)

由Nl+N2+N3=180°,

得NBAE+NCBF+NACD-2X180°-360°

你还有其它解法吗？

练习

说出下列图形中N1和/2的度数.

⑴

CE平分NACD

(4)

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，应

让学生自主探索，利用多种方法进行研究.同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路,

让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的

能力.在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵

活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新

能力.

多边形

一、教学目标

（一）知识与技能：观察生活中大量的图片，认识一些简单的几何体（四边形、五边形），了

解多边形及其内角、对角线等数学概念.

（二）过程与方法：能由实物中辨别寻找出几何图形，由几何图形联想或设计一些实物形状,

丰富学生对几何图形的感性认识.

（三）情感态度与价值观：了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学的道理.

二、教学重点、难点

重点：了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形状的辨别.

难点：正多边形的正确理解以及凸多边形的辨别.

三、教学过程

创设情境

从这些图形中，你能抽象出哪些平面图形？

八边形

温故而知新

三角形八

在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首/\

尾顺次相接所组成的图形叫做三角形./-------

多边形

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.

如果一个多边形由〃条线段组成，那么这个多边形就叫做«边形.

有关概念

多边形的内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.图中NA,NB,ZC,ND,NE是五边形ABCDE

的5个内角.

多边形的外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.图中N1是五边形ABCDE

的一个外角.

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.图中，AC,AD是五边形

ABCDE的两条对角线.

五边形ABCDE共有几条对角线？请画出它的其他对角线.

观察

下列两个多边形有何异同呢？

凸多边形的判断方法：

画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个

多边形就是凸多边形.反之，则是凹多边形.本节只讨论凸多边形.

⑵

凹四边形

观察下列多边形，它们的边、角各有什么特点？

像正方形一样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.

练习

I.画出下列多边形的全部对角线；

2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条

对角线？它们将五边形分成几个三角形？

乙二72条对角线

3个三角形

2个三角形

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节课采取的是合作探究的教学方式，在小组活动中，每个学生都能发挥自己的作用,

都有表达和倾听的机会,每个人的价值作用都能显现出来.在这个过程中，学生得到了锻炼,

明白了和他人怎样合作，取长补短.在教学设计时要从学生的角度出发，设计出合理的，具

有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定因素和障碍点，并在教学过程中加强组织

引导和巡视力度.

多边形的内角和

一、教学目标

(一)知识与技能：掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问

题.

(二)过程与方法：通过多边形内角和计算公式的推导，培养学生探索与归纳能力.

(三)情感态度与价值观：通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望,

养成良好的数学思维品质.

二、教学重点、难点

重点：理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式.

难点：灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.

三、教学过程

思考

三角形的内角和等于180°,正方形、长方形的内角和都等于,任意一个四边形

的内角和是否也等于360°呢？

在四边形ABCD中，连接对角线AC,则四边形ABCD被分为aABC和aACD两个三角形.

由此可得

ZDAB+ZB+ZBCD+ZD=Z1+Z2+ZB+Z3+Z4+ZD

=(Z1+ZB+Z3)+(Z2+Z4+ZD)

VZl+ZB+Z3=180°,Z2+Z4+ZD=180°

:.ZDAB+ZB+ZBCD+ZD=1800+180°=360°

即四边形的内角和等于360°.

探究

边数3456n

从一个顶点出发

的对角线的条数0123n-3

上述对角线分成

的三角形的个数1234n-2

180°X2180°X3180°X4

多边形的内角和180°180°X(n-2)

=360°=540°=720°

归纳

一般地，从〃边形的一个顶点出发，可以作(〃-3)条对角线，它们将〃边形分为(〃-2)

个三角形，〃边形的内角和等于180°X(n-2).

这样就得出了多边形内角和公式：〃边形的内角和等于S-2)X1BO°.

把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和

公式吗？

例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

解：如图，在四边形ABCD中，ZA+ZC=180°

VZA+ZB+ZC+ZD=(4-2)X180°=360°

:.NB+ND=360°-(NA+NC)=3600-180°=180°

这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.

例2如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六

边形的外角和等于多少？

解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.

因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于

6X180°.

这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总

和减去内角和，即外角和等于

6X1800-(6-2)X180°=2X180°=360°

思考

如果将例2中的六边形换为〃边形(〃是不小于3的任意整数)，可以得到同样的结果吗？

〃边形的外角和=〃X1800-5-2)X180°

=nX180°一〃X180°+2X180°

=2X180°

=360°

多边形的外角和等于360°

如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走

过各顶点，再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中

所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，

所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于

360°.

练习

1.求下列图形中x的值:

解：(1)x+x+140+90=360,解得户65

(2)90+120+150+2x+x=(5-2)X180,解得x=60

(3)75+120+80+(180-v)=360,解得产95

2.一个多边形的各内角都等于120°,它是几边形?

解法一：;各内角都等于120°

・•・每个外角都是60°

・••边数为：360°+60°=6

即它是六边形.

解法二：设它是〃边形.

120n=(w-2)X180

解得，*6

即它是六边形.

3.一个多边形的各内角和与外角和相等，它是几边形？

解：设它是〃边形，依题意得，

(«-2)X180=360

解得，n=4

即它是四边形.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用

完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教

学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，

在“合作”中增知，在“探究”中创新.要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发

现，方法让学生自主寻找，思路七学生自主探究，问题让学生自主解决.

第11章三角形小结与复习

一、教学目标

（一）知识与技能：I.了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），理解三角形两边

的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画任意三角形的高、

中线、角平分线，了解三角形的稳定性；2.了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平

行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180。，探索并了解三角形的一个外角等于

与它不相邻的两个内角的和；3.了解多边形的有关概念（边、内角、对角线、正多边形），探

索并了解多边形的内角和与外角和公式.

（二）过程与方法：结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧，

在此基础上进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多边

形内角和、外角和知识综合运用能力.

（三）情感态度与价值观：通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到一

般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的FI的.

二、教学重点、难点

重点：三角形的三条重要线段、三角形的内角和、外角和、多边形的内角和、外角和等知识

的灵活运用.

难点：简单的几何证明及几何知识的简单应用.

三、教学过程

知识梳理A

1.三角形的三边关系：

三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边./

如：AB+AOBC,BC-AC<ABgZ_____________二

2.三角形的分类

「锐角三角形（^三边都不相等的三角形

按角分〈直角三角形按边分，［底边和腰不相等的等腰三角形

〔钝角三角形等腰三角形

It等边三角形

3.三角形的高、中线与角平分线

高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图①.

中线；顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点（重心），如图②.

角平分线：三条角平分线相交于一点，如图③.

4.三角形的内角和与外角

（1）三角形的内角和等于180°；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;

（4）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

ccAB

ZA+ZB+ZC=180°ZA+ZB=90°ZACD=ZA+ZB,ZACD>ZA,ZACD>ZB

5.多边形及其内角和

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形是各个角都相

等，各条边都相等的多边形.

〃边形内角和等于(〃-2)X1800523的整数)

〃边形的外角和等于360°

正多边形的每个内角的度数是(〃-2)x180或18。一弛

正多边形的每个外角的度数是我

考点讲练

考点一三角形的三边关系

例1已知两条线段的长分别是3cm、8cm,要想拼成一个三角形，且第三条线段。的长为奇

数，问第三条线段应取多长？

解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得8-3V〃V8+3,解得5<«<11.

又;第三边长为奇数，

/.第三条边长为7cm或9cm.

针对训练

1.以线段3、4、x—5为边组成三角形，那么x的取值范围是.

例2等腰三角形的周长为16,其一边长为6,求另两边长.

解：(1)当6为底边长时，腰长为(16-6)+2=5,这时另两边长分别为5,5；

(2)当6为腰长时，底边长为16-6-6=4,这时另两边长分别为6,4.

综上所述，另两边长为5,5或6,4.

针对训练

2.已知等腰三角形的一边长为4,另一边长为8,则这个等腰三角形的周长为()

A.16B.20或16C.20D.12

3.若(a—2)2+历一3|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为____.

考点二三角形中的重要线段

例3如图，CD为aABC的AB边上的中线，4BCD的周长比4ACD的底长大3cm,BC=8cm,

求边AC的长.A

解：：CD为aABC的AB边上的中线

：.AD=BD匕/\

VZXBCD的周长比4ACD的周长大3cm/

:.(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3cmB/----------—

:.BC-AC=3cm

VBC=8cm

:.AC=5cm

例4如图，D是AABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面

积为24,求aBEF的面积.A

解：•・•点E是AD的中点

SAABE=-SAABD>SziACf^-S&MJC

22

**•SZSABE+SAACIF—(S4\BD+S&WC)=—S&MJC=--X24=12

222

**•SAWT=SA,WC-(SA,WE+SAACF)=12

V点F是CE的中点

SABEF=-SABC^—X12=6

22

针对训练

4.下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是()

5.在4ABC中，AB=AC,DB为AABC的中线，且BD将AABC周长分为12cm与15cm两部分,

求三角形各边长.

解：如图，:DB为AABC的中线A

:.AD=CDA

设AD=CD中，则AB=AC=2r/V

当x+2x=12,BC+产15,解得产4,BC=11

此时AABC的三边长为AB=AC=8,BC=11；--------

当x+*15,BC+尸12,解得产5,BC=7

此时4ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7.

考点三有关三角形内、外角的计算

例5ZA,ZB,NC是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求/A,ZB,NC中未知

角的度数.

(1)ZA-ZB=16°,ZC=54°；

(2)NA:NB:NC—2:3:4.

解：(1)由NC=54°知NA+NB=180°-54°=126°①

又NA-NB=16°②，由①②解得/A=71°,ZB=55°；

(2)设NA=Zi,ZB=3x,NC=4x

则2x+3x+4产180°,解得产20°

・•・ZA=40°,ZB=60°,ZC=80°.

例6如图，已知在AABC中，D是BC边上一点，Z1=Z2,N3=N4,ZBAC=63°,求

ZDAC的度数.

解：设Nl=N2=x,则N4=N3=2x

VNBAC=63°

:.Z2+Z4=117°

即x+2x=117°,解得x=39°

N3=N4=78°

JZDAC=1800-N3-N4=24°

针对训练

6.在aABC中，三个内角NA、ZB>ZC,满足NB-NA=NC-/B,则NB=.

7.如图，在aABC中，CE,BF是两条高，若/A=7(T,ZBCE=30n，则/EBF的度数是,

ZFBC的度数是.

8.如图，在AABC中，两条角平分线BD和CE相交于点0,若NB0C=132°,那么NA的度

数是.

第7题图第8题图

考点四多边形的内角和与外角和

例7已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的,，求这个多边形的边数.

4

解：设这个多边形的外角的度数为4,则相邻内角的度数为4x,则x+4-180,解得产36.

边数〃=360°+360=10.

例8如图，五边形ABCDE的内角都相等，且N1=N2,Z3=Z4.求NCAD的度数.

解：•・•五边形ABCDE的内角都相等

JZE=ZB=ZBAE=540°4-5=108°

又＜N1=N2,N3=N4

由三角形内角和定理可知

Zl=Z2=Z3=Z4=(180°-108°)4-2=36°

・•・ZCAD=ZBAE-Zl-Z3=108°-36°-36°=36°

针对训练

9.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,求这个多边形的边数.

解：设这个多边形的边数是〃，依题意得

5-2)X180°=3X3600-180°

解得〃二7

・•・这个多边形的边数是7.

10.如图,六边形ABCDEF的内角都相等,Z1Z2=60°,AB与DE及AD与BC有怎样的位

置关系？为什么？

解：AB/7DE,AD〃BC.理由如下：

■:六边形ABCDEF的内角都相等

ZEDC=ZFAB=ZC=72004-6=120°

VZl=Z2=60°

AZEDA=Z1=6O0

・•・AB/7DE

•・•Z2+ZC=180°

:.AD〃BC

考点五本章中的思想方法

分类讨论思想

例9(1)已知等腰三角形的两边长分别为10和6,则三角形的周长是.

(2)已知等腰三角形的两边长分别为16和8,则三角形的周长是.

方程思想

例】0如图，在aABC中，ZC=ZABC,BE±AC,Z^BDE是等边三角形，求NC的度数.

解：设NC=x°,则NABC=x°A

•・•Z\BDE是等边三角形入

AZABE=60°/\

:.NEBC=x。-60。