《充分条件、必要条件、充要条件》教学设计二

高中数学精选资源3/3《充分条件、必要条件、充要条件》教学设计二教学设计一、情境引入1.生活问题.教师出示：“水是生命之源，万物之本.”学生思考：“水”和“人类生存”之间具有怎样的关系呢？2.物理问题.教师出示两张电路图，如图（1）、图（2），让学生观察并思考下列两个问题：思考1：哪一张电路图可以说明当p开关闭合时，q灯一定亮？思考2：哪一张电路图可以说明当q灯亮时，p开关一定闭合？通过以上两个问题的分析，我们不难发现，水和人类生存之间，p开关闭合与q灯亮之间都具有一定的逻辑关系，那么这种逻辑关系在数学中如何定义呢？教师指出：这就是我们今天所要探讨的课题—充分条件、必要条件、充要条件.设计意图：情境引入中的两个问题都来源于生活，而且体现了学科之间的关联性，这种引入方式新颖独特，能激发学生的学习兴趣.二、探究新知1.问题提出.教师给出数学和生活中的两个命题，并请学生判断其真假：命题1：若，则.命题2：若小红是中国人，则小红是山东人.学生思考，得出结论：命题1是真命题，命题2是假命题.教师结合以上两个命题，复习相关概念，并介绍新知以上两个命题的形式可以概括为：“若p，则q”或“如果p，那么q”，其中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.一般地，当命题“若p，则q”为真命题，我们就说“由p可以推出q成立”，记作“”，读作“p推出q”；如果命题“若p，则q”为假命题就说“由p不能推出q成立”，记作“”，读作“不能推出q”.学生理解推出符号，并思考问题1：你能举出一些在数学和生活中“若p，则q”形式的命题的例子，并判断给出的命题是真命题还是假命题吗？设计意图：通过对命题的新的表达方式（符号语言）的引入，顺利实现了本节课由“已有知识结构”向“新知生成过程的转化，提升学生的数学抽象核心素养，另外，根据学生已学习知识的体系提出问题1，在学生的最近发展区构建新知，符合学生普遍的认知规律，同时，学生自己构建命题并判断真假的学习过程，也为下面学习充分条件和必要条件做好了铺垫.2.问题生成.教师针对学生回答的问题1的答案进行点评，并提出问题2：请同学们把下面“若p，则q”的命题补充完整，使它成为一个真命题：若_______，则.学生思考，预估学生可得到以下三个正确答案：（1）若，则.（2）若，则.（3）若，则.设计意图：设计这个半开放性问题是对问题1的一个延续.学生在思考、回答问题2的过程中，会发现使结论成立的条件并不唯一，而这一环节有利于充分条件概念的顺利生成.教师介绍充分条件的定义：如果“”，那么称p是q的充分条件.等学生理解充分条件的定义后，再提出问题3：结合刚才的实例分析，如果“”，如何理解p是q的充分条件？学生思考，给出答案，教师概括表述结（1）有这个条件，就一定能推出成立.（有它就行）（2）只有这个条件，使得成立吗？（没它未必不行）设计意图：问题3的设置意在揭示充分条件概念的本质属性，有了p，q一定成立（有之则必然）；没有p，q也未必不成立（无之则未必不然）.例1下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？（2）p：四边形的对角线相等；q：四边形是正方形；（3）p：同位角相等，q：两条直线平行；（4）p：四边形是平行四边形；q：四边形的对角线互相平分解（1）因为，所以p是q的充分条件.（2）因为，所以p不是q的充分条件.（3）因为，所以p是q的充分条件.（4）因为，所以p是q的充分条件.教师出示例1，学生思考、回答，其他同学补充，完成例1设计意图：通过实例分析，再次强化学生对充分条件定义的理解.3.问题研判.教师再次引导学生思考例1（2），提出问题：思考1：q是p的什么条件呢？思考2：如何用推出符号描述p和q之间的逻辑关系呢？教师请一名学生回答，其他同学进行补充，教师适时引导，等学生意见一致后，给出必要条件的定义：如果“”，那么就称p是q的必要条件.教师继续提出问题：结合刚才的实例分析，如果“”，如何理解p是q的必要条件呢？学生思考，教师可借助情境引入中的实例进行辅助讲解：（1）如果只有水，不一定能充分保证人类一定能生存—有它未必行.（2）但如果没水，那么人类一定不能生存—没它定不行.设计意图：通过生活中的实例揭示必要条件概念的本质属性例2下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？（1），；（2）p：两个直角三角形全等，q：两个直角三角形的斜边相等；（3）p：同位角相等，q：两条直线平行；（4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分.解（1）因为，所以p是q的必要条件.（2）因为，所以p不是q的必要条件.（3）因为，所以p是q的必要条件.（4）因为，所以p是q的必要条件.学生思考、回答，教师点评学生的答案.设计意图：强化学生对必要条件判定方法的理解，为后面问题升华做好铺垫.4.问题升华.教师提出问题：通过前两道例题的分析，你认为如何判定p是不是q的充分条件，q是不是p的必要条件？学生思考，理解，得出关键点：判断命题“若p，则q”是真命题还是假命题，或者说“p能否推出q”.师生共同归纳总结：（1）文字表达：“若p，则q”为真命题.（2）符号表达：.（3）逻辑表达：p是q的充分条件，q是p的必要条件.教师补充：以上这几种形式的表达，其实讲的都是同一种逻辑关系，只是说法不同而已.设计意图：通过对两道例题的分析，意在让学生自主发现判断p是不是q的充分条件，q是不是p的必要条件，最关键的是都在判断“若p，则q”是否为真命题或者说“p能否推出q”归纳总结出的这几种不同的表达形式，其实都是同一种逻辑关系，进而突破本节课的一大难点.教师让学生观察例1（3）和例2（3）、例1（4）和例2（4）,看看能发现什么？教师给出充要条件的定义：如果，且，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，记作.显然，q也是p的充要条件.因此，当p是q的充要条件时，也常说成：p与q等价，或p等价于q.设计意图：充要条件概念的生成部分不仅仅给出了定义本身的本质属性，更重要的是揭示了充要条件和充分条件、必要条件之间的关系：（1）充分条件包含着充分不必要条件和充要条件；（2）必要条件包含着必要不充分条件和充要条件.例3指出下列命题中，p是q的什么条件：（1）p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等（2）p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形；（3），（4），解（1）根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相等，所以.反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出两个三角形全等例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相等，这两个三角形就不全等，所以.因此，p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.（2）根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等，所以.反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的边相等，所以因此，，即p是q的充要条件.（3）因为或或，所以.反过来，，所以.因此，，但，即p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.（4）取，，此时，但，所以.反过来取，此时，，但，所以.因此，p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件.教师出示例3，学生思考、回答，教师通过提问的方式抽查学生的掌握情况，并对于学生回答过程中存在的问题进行剖析、指导.设计意图：明确问题的条件和结论，进而强调“推出”符号的方向性让学生能够从两个角度“p能否推出q”以及“q能否推出p”来判断p是q的什么条件，体会定义判定方法的使用.5.问题探索.教师出示问题：我们设集合，设集合当p是q的充分不必要条件时，集合A与集合B之间具有怎样的包含关系呢？学生思考，尝试回答，并根据已给的条件，共同完成下面的表格集合关系.设计意图：让学生从集合关系的角度进一步理解充分条件和必要条件的概念，并学会用两个集合之间的关系（图示语言：Venn图）判定p和q的关系，体会“数”与“形”合的思想方法.6.性质定理与必要条件、判定定理与充分条件的关系.以平行四边形的性质定理与判定定理为例，师生共同探讨性质定理与必要条件、判定定理与充分条件的关系.师生共同得出结论：（1）性质定理具有“必要性”；（2）判定定理具有“充分性”.设计意图：建立数学知识之间的联系，加强学生对性质定理与必要条件、判定定理与充分条件的关系的理解.三、小结与作业小结：本节课你学习了哪些内容？你有什么新的收获？与你的同伴交流.作业：教材第32页练习第1，2，3题.设计意图：通过小结，提高学生的归纳概括能力，使学生的认知结构更加完整，对知识的理解更加系统完善.通过布置作业，进一步帮助学生巩固新知.板书设计2.2充分条件、必要条件、充要条件1.问题提出一般地，当命题“若p，则q”为真命题时，我们就说“由p可以推出q成立”，记作“”，读作“p推出q”；