专题03 抛物线的焦点弦问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

抛物线必会十大基本题型讲与练03抛物线的焦点弦问题典例分析类型一、求焦点弦的弦长1．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（

）A．12 B．18 C．16 D．8【答案】C【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由的中点的坐标，求出参数的值，即可得到，再根据焦点弦的性质计算可得；【详解】由条件得，设，，直线的方程为：，联立得，∴，由得.∴，所以.2．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，现将直线绕点F逆时针旋转得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】作图，求出A点旋转后的与x轴正方向的夹角，写出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据弦长公式即可.【详解】依题意作上图，，，设，由抛物线的性质，，，AF与x轴正方向的夹角为，A点绕F逆时针旋转后，得点，轴，直线l的方程为，代入抛物线方程得，；3．已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______【答案】#6.25【分析】设出直线AB，联立抛物线，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用的面积和向量比例关系得到，进而利用焦点弦公式进行求解.【详解】设直线AB为，联立抛物线得：，设，，则，，其中，，则，由可得：，则，解得：，此时，所以，故，解得：，当，时，，此时，当，时，，此时，综上：，.4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点.若，则__________.【答案】【分析】根据题意可得，由于对角线与垂直，得四边形是菱形，在由抛物线的定义即可得到为等边三角形，可得直线的方程，把直线和抛物线进行联立，进而求得答案.【详解】垂直平分，，，在四边形中，对角线与垂直，四边形是菱形，由抛物线的定义可得：，故，为等边三角形故，故，故直线。故把直线与抛物线进行联立得，设，则，。类型二、求焦点弦的所在直线的斜率1．已知抛物线，过焦点的直线l与C交于A，B两点，若以为直径的圆与C的准线切于点，则l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线联立抛物线并应用韦达定理求出、、、关于k的表达式，根据求出k值，即可写出直线方程.【详解】由题设，直线l的斜率存在且不为0，令，联立抛物线并整理得：，则，，所以，，又，综上，，可得，故直线，即.2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为4，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据题意，，进而设直线：，，，进而联立方程，结合韦达定理得，，再根据面积比得，进而结合焦半径公式得，再解方程组即可得答案；方法二：设直线AB的倾斜角为，进而根据面积比得，根据焦半径与倾斜角的关系得，，进而得，，即可得答案.【详解】解法一：由抛物线得，设直线：，，，故联立方程得，所以，由已知和抛物线定义知：，所以，故由焦半径公式得：，即，故，解方程组得.方法二：由已知和抛物线定义知：，设直线AB的倾斜角为，则，，所以，解得，所以．3．设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及，联立即可求得的值．【详解】设方程为，，由，消去得，则有①，由得，即②，由①②解得，4．（多选题）抛物线焦点为，直线经过点交于两点，交轴于点，若，则(

)A．B．点的坐标为C．D．弦的中点到轴的距离为【答案】ACD【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标可得的值，判断A；由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断B；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C；根据AB中点恒坐标可求AB中点到y轴的距离，从而判断D．【详解】抛物线的焦点为,，由题意可得，解得，即抛物线的方程为，∴A选项正确；过B作垂直于抛物线准线于，由得，∴，即，代入抛物线的方程可得，∴，∴B选项不正确；根据抛物线的对称性，不妨取当在轴下方时，即，，∴，∴直线的方程为，与抛物线的方程联立可得：，设，，∴，由抛物线的性质可得，∴C选项正确；∵的中点的横坐标为，∴AB中点到y轴距离为，∴D选项正确；类型三、有焦点弦的最值问题1．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线、，直线与交于A、B两点，直线与交于D、E两点，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设，，设、斜率分别为，则.联立直线方程和抛物线方程，得和，由即基本不等式即可求其最小值.【详解】设，，由题可知直线、的斜率存在且不为零，设方程为，联立方程，得，∴，同理设直线斜率为，则，，由抛物线定义可知，当且仅当(或)时，取得等号．2．已知抛物线过焦点的直线与抛物线交于、两点，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】推导出，然后在代数式上乘以，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】抛物线的焦点的坐标为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设点、，设直线的方程为，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.3．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为______．【答案】3【解析】【分析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l与抛物线方程，表示出，求其最值即可.【详解】已知，设，，，则，∵，所以，，∴，当且仅当m=0时，取..类型四、焦点与共线向量交汇问题1．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当斜率不存在时，即，，不符合题意，设直线的斜率为，则直线的抛物线为，联立直线与抛物线方程，可得，再结合韦达定理和抛物线的性质，即可求解．【详解】点为抛物线的焦点，，设，，，，当斜率不存在时，即，所以，不符合题意，设直线的斜率为，则直线的抛物线为，联立直线与抛物线方程，化简整理，可得①，由韦达定理，可得，，，解得②，将②代入①可得，，解得或，，，又，，．2．过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】由向量的关系可得线段|AB|，|BF|的关系，结合抛物线的定义，可求出直线AB的倾斜角，进而求出直线的斜率，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出B，C横坐标之和，进而求出线段BC的中点到准线的距离．【详解】由抛物线的方程可得焦点，渐近线的方程为：，由，可得由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作垂直于准线于，准线交x轴与N,则,故，故,而x轴，故,所以直线的倾斜角为，所以直线的方程为，设，，，，联立，整理可得：，可得，所以的中点的横坐标为3，则线段的中点到准线的距离为，巩固练习1．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，若使的直线有且仅有1条，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】利用抛物线对称性，即可得出满足条件的焦点弦必须垂直于轴，即可得出两点坐标，代入方程解出【详解】由抛物线的对称性，要使的直线有且仅有1条，则必须垂直于轴，故两点坐标为，代入抛物线方程可解得，2．过抛物线：焦点且斜率为的直线与交于，两点，设满足，则为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，代入可得．【详解】抛物线焦点为，直线方程为，设，由得，，，，，，则，，，所以，解得．3．已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，由轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，，则，，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，，（抛物线定义），C选项正确；，，D选项错误.4．抛物线：的焦点为，直线过点，斜率，且交抛物线于，（点在轴的下方）两点，抛物线的准线为，为坐标原点，作于，于，小明计算得出以下三个结论：①；②平分；③．其中正确的结论个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】对于①：设直线m的倾斜角为α，利用抛物线的焦点弦的弦长公式即可求解；对于②：利用几何法证明；对于③：由抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为：x=-1，如图对于①：令直线m的倾斜角为α，∵，∴，∴，①正确；对于②：∵，∴∠AA1F=∠AFA1，又∵AA1∥OF，∴∠AA1F=∠A1FO，∴∠A1FA=∠A1FO，∴A1F平分∠OFA，②正确；对于③：由抛物线的性质可得，，，∴，，∴|AA1|·|BB1|=|AA1|+|BB1|，③正确.5．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是（

）A．若直线l⊥x轴，则|AB|=2 B． C．y1·y2=-4 D．∠A1FB1=【答案】CD【解析】【分析】选项A，求解A，B点的坐标，从而求出AB的长；选项BC，设出直线l的方程，联立直线l与抛物线C的方程组，消元得一元二次方程，得到两根之积；D选项，由抛物线定义得到∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，从而得到答案.【详解】抛物线C的焦点F（1，0），准线方程x=-1，显然l不垂直于y轴，设l的方程为x=my+1，由得：y2-4my-4=0，y1，y2是此方程的二根，选项A，直线l⊥x轴，m=0，y1=2，y2=-2，则|AB|=4，即选项A错误；选项B，y1·y2=-4，则，即选项B错误；选项C，y1·y2=-4，即选项C正确；选项D，如图中，由抛物线的定义知，|AF|=|A1A|，∴∠AA1F=∠AFA1，又AA1//x轴，∴∠AA1F=∠A1FO，∴∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，同理可得，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，∴∠A1FB1=∠A1FO+∠B1FO=（∠AFO+∠BFO）=，即选项D正确.6．（多选题）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（

）A．没有最大值也没有最小值 B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】可设直线AB的方程为，将其与抛物线的方程联立，得到关于y的一元二次方程，得到，判断出C选项，由抛物线的定义知，，，求出，判断出B选项，由基本不等式判断出A选项，表达出，代入两根之和，两根之积即可.【详解】由题意知，，直线AB的斜率不可能为0，故可设其方程为，联立，消去x，得，，，即选项C正确；由抛物线的定义知，,，所以，即选项B正确；∵，∴，∴，∴有最小值，即选项A错误；又，∴，即选项D正确；7．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则平分C．若，则D．若，延长交直线于点，则，，三点共线【答案】ABD【解析】【分析】根据求出焦点为、A点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，求出可判断AC；时可得，．由可判断B；求出点坐标可判断D.【详解】若，则抛物线，，的焦点为，直线的方程为：，可得，，选项正确；时，因为，所以，又，所以，所以平分，选项B正确；若，则抛物线，，，的焦点为，直线的方程为，联立抛物线方程求解可得，所以，选项C不正确；若，则抛物线，，，延长交直线于点，则，由C选项可知，所以，，三点共线，故D正确.8．已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（

）A．B．以为直径的圆与直线相切C．的最小值为D．的最小值为【答案】ABCD【解析】【分析】设出直线方程联立抛物线方程，得出根与系数关系，根据向量运算可判断A，结合图形及抛物线的定义可判断B，设，利用抛物线定义、三角函数及均值不等式判断C，根据抛物线定义，根与系数的关系及均值不等式判断D.【详解】由可得，所以焦点，准线方程为，显然直线斜率存在，设直线方程为，，，如图，联立可得，所以，对于A,，故正确；对于B，取AB的中点为N过分别作准线的垂线，垂足分别为,则,即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与直线相切，故正确；对于C，设,则，,则，所以，当且仅当且仅当时，即时等号成立，故正确；对于D,，当且仅当时等号成立，故正确.9．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线的两个交点，则（

）A．B．以为直径的圆与直线相切C．的最小值D．经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上【答案】BD【解析】【分析】设出直线方程并代入抛物线方程，根据根与系数的关系可以判断A；根据抛物线的定义可以判断B；验证与x轴平行时可以判断C；求出两条直线的交点坐标即可判断D.【详解】由题意，抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在，设，代入抛物线方程并整理得：，则.故A错误；由椭圆的定义可知，以为直径的圆的圆心坐标为，它到直线的距离为，则以为直径的圆与直线相切.故B正确；当与x轴平行时，易得，则.故C错误；，与的交点坐标为，根据A，可知坐标为，即在直线上.故D正确.10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（

）A．以线段为直径的圆与直线相切B．以线段为直径的圆与轴相切C．当时，D．的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】A选项由判断即可；B选项判断和之间的关系，C选项，先联立得到，再结合条件解出，即可解出；D选项借助基本不等式进行判断.【详解】准线方程，，设在准线上的射影为，，可得以线段为直径的圆与直线相切，故A正确；设，则，，设中点为,在轴上的射影为，则，令，即，解得，故只有时，以线段为直径的圆与轴相切，B错误；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得，，，由得，解得，，故C正确；由得，当且仅当时取等号，故D正确.11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（

）A．若点，则的最小值是4B．C．若，则直线的斜率为D．的最小值是9【答案】ABD【解析】【分析】对于A，过点A作C的准线的垂线，垂足为，则利用抛物线的定义结合图形求解即可，对于B，设直线AB的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根据与系数的关系，从而可求出的值，对于C，由，可得，化简后将选项B中的式子代入可求出的值，从而可求出直线的斜率，对于D，根据选项B中的式子可求得，则化简后利用基本不等式可求得结果【详解】由题意知，C的准线方程为，焦点F（1，0），过点A作C的准线的垂线，垂足为，则，故的最小值是点Q到C的准线的距离，即为4，故A正确；设直线AB的方程为，，，由得．所以，，，，所以，故B正确；若，又，，所以，解得，则直线AB的斜率为，故C错误；，所以，当且仅当，时，等号成立，故D正确，12．已知直线过抛物线：的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，.则下列选项正确的是（

）A． B．以线段为直径的圆与直线相离C．当时， D．面积的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】求出抛物线C的焦点、准线，设出直线l的方程，与抛物线C的方程联立，再逐一分析各个选项，计算判断作答.【详解】抛物线：的焦点，准线，显然直线斜率存在，设直线的方程为，由消去y并整理得：，于是得：，，A不正确；，线段AB中点到准线的距离为，因此，以线段AB为直径的圆与直线相切，该圆与直线相离，B正确；当时，则点F是线段AB的中点，，，C不正确；设抛物线C在点处切线方程为：，由消去y并整理得：，则，解得，于是得抛物线C在A处切线方程为：，同理在B处切线方程为：，联立两切线方程解得，，即点，点G到直线AB的距离为，而，因此，面积的，当且仅当时取“=”，所以面积的取值范围为，D正确.13．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则______________.【答案】【解析】【分析】设,利用点差法表示出直线的斜率,取AB的中点,利用抛物线的定义和梯形中位线判断出MM0平行于x轴.可以求出y1+y2=4,即可求出斜率k.【详解】设,则，所以,所以,取AB的中点,分别过点A,B作准线x=2的垂线,垂足分别为A1,B1.因为,所以∠AMB=90°,所以.因为M0为AB的中点,所以MM0平行于x轴.因为,所以y0=2,则y1+y2=4,即k=-2.14．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______．【答案】2【解析】【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由，，三点共线，推得，由三角形的中位线性质可得到准线的距离，可得的值．【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，所以，则，由抛物线的定义可得，又是的中点，所以到准线的距离为,15．已知抛物线：直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率___________.【答案】【解析】【分析】设，，利用点差法可得直线的斜率.【详解】设，，因为，如图，过作准线的垂线，为垂足，设中点，过作准线的垂线，是垂足，则，则，，，又，所以以为直径的圆与准线相切，点即为点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，所以，因为．所以，16．已知F是抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，线段中点的纵坐标为4，则________．【答案】16【解析】【分析】设出，得到，两式相减，结合中点纵坐标求出中点横坐标，进而求出焦点弦长.【详解】由题意，焦点为，设的中点为，设直线l的斜率为k，所以，又，两式相减得：，故，故，直线l为：，所以，．18．如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则=_______.【答案】2【分析】根据抛物线的定义，已知条件及直角三角形边角关系和抛物线焦半径公式即可求解.【详解】如图所示，过作准线的垂线，则|，由，得直线的倾斜角为.设，由，得，又因为，所以解得.17．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______.【答案】【分析】过焦点作直线要分为有斜率和斜率不存在两种情况进行分类讨论.【详解】抛物线的焦点，当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程可设为，不妨令，则，故当过焦点的直线斜率存在时，直线方程可设为，令由整理得，则，，综上，18．已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为2．(1)求实数p的值；(2)若直线