641平面几何中的向量方法课件-高一下学期数学人教A版

第六章平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法学习目标：1.会运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题，提升数学运算和直观想象素养.2.掌握向量法解决几何问题的三步曲，体会向量在解决数学和实际问题中的作用，提升数学建模素养.教学重难点：重点：用向量的知识解决平面几何问题的方法和步骤.难点：选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题.问题1：在四边形ABCD中，则四边形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形问题2：平面几何的许多性质，如平行、长度、夹角可以由向量的线性运算及数量积表示，下表几何性质如何用向量知识来表示？几何性质向量图示向量及其运算平行垂直长度夹角

如图，DE是∆ABC的中位线，证明二、创设情境，引入课题问题3：我们已经学习三角形中位线定理的证明,你还记得如何证明吗？二、创设情境，引入课题证明：延长DE到F，使EF=DE连结CF.∵DE=EF、∠AED=∠CEF、AE=EC∴△ADE≌△CFE∴AD=FC、∠A=∠ECF∴AB∥FC又∵AD=DB∴BD∥CF且BD=CF所以，四边形BCFD是平行四边形∴DF∥BC，DF＝BC即DE∥BC又∵

如图，DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明：DE∥BC,三、合作探究，活动领悟问题4：如何利用向量法三角形证明中位线定理？

如图，DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明：DE∥BC,分析：DE是∆ABC的中位线DE∥BC

如图，DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明：DE是∆ABC的中位线DE∥BC问题5：用向量解决平面几何的基本思路和步骤是什么？思路：形到向量恰当的向量运算向量到形步骤：几何元素向量化向量运算关系化结果翻译几何化问题6：如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，求证：AF⊥DE.四、师生互动，变式深化追问2：非零向量垂直的充要条件是什么？追问1：向量法解决平面几何问题的步骤一是什么？问题6：如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，求证：AF⊥DE.四、师生互动，变式深化提示：我们把这种方法叫做基底法追问：还有别的证明方法吗？问题6：如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，求证：AF⊥DE.提示：我们把这种方法叫做坐标系法追问：比较基底法和坐标法，它们优、缺点是什么？如何选择？

追问：比较基底法和坐标法，它们优、缺点是什么？如何选择？

方法小结优劣推荐使用基底法适用范围广，特殊图形问题计算量比坐标法稍大一般图形坐标系法适用范围小，一般图形可能无法使用，特殊图形问题计算量稍小特殊图形，如：正方形，矩形问题7：如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？追问2：解决线段长度问题常用的向量公式是什么？追问1：向量法解决平面几何问题的步骤一是什么？五、尝试练习，巩固提高如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？追问：你还能用另外的方法证明吗？知识回顾：一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.距离测量时，我们常常遇到“不能达到”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.应用举例：ABCD45°30°45°75°例1：ABCD45°30°45°75°解析：为计算AB的长度，需在包含AB的三角形内，通过解三角形来实现。也就是说，我们的目的是要找到一个包含AB的三角形，并获得这个三角形尽量多的元素，以便求解。此例中包含AB的三角形有两个，为了后期计算方便，我们会选择△ADB进行突破。ABCD45°30°45°75°由于我们已经知道∠ADB的大小，所以若能由其它条件推演出AD、BD的长度，即可使用余弦定理求出AB的长度。而AD和BD分属于△ACD和△BCD，所以可以在此两个三角形中分别求解AD和BD。在△ACD中，已知∠ACD和∠ADC的大小以及CD的长度，满足解三角形“知三求三”的条件，可以求解，同理△BCD亦然。

在求解AD和BD时，分别使用了余弦定理和正弦定理，你能说说这两个定理的使用条件的区别吗？正余弦定理的一般使用条件正弦定理已知一边及其对角余弦定理已知两边及其夹角对于解非直角三角形，需要根据已知条件灵活选择使用正弦定理和余弦定理，而且很多题目的方法也不是唯一的，但我们一般都会选择便于计算的那种，即可以利用常见角（30°，45°，60°）求解的方案。ABCD45°30°45°75°此题的条件中给了多个角度，但只给了一个长度，按照教材上“这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案”的思路，我们选择了包含预测量元素AB的△ADB作为突破对象，你能说说选择这个方案的原因吗？ABh例2：如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观测点A、B测得山顶的仰角分别为α，β，该两点间的距离是l米，则此山的竖直高度h为米（用含α，β，l的式子表达）。ABh解析：本例中的AB与例1中的CD，都是根据测量的需要而确定的线段，这样的线段叫做测量过程中的基线。测高问题的解决方法与例1中测量“不可达”区域的办法类似，由于直角三角形的存在，在计算上还会相对简便一些。ABhQP包含PQ的两个直角三角形（△PAQ，△PBQ）均可以作为突破口，而且在直角三角形中，仅需知道一边和一个非直角角，就可以进行解三角形。对本例而言，可以有两种以上的方法进行求解。ABhQPABhQP由以上两例可知，在此类包含基线的“不可达区域”的相关测量问题中，解决方法大致类似，都需要先确定一个包含欲测量元素的三角形，然后通过基线和相关角度获得这个三角形的若干其它元素，最后通过余弦定理或正弦定理等三角知识进行求解。这类题目的解决方案一般都不唯一，而且个别方案在计算上会遇到很大困难，要注意规避。S20°BA北65°例3：如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为32.2nmile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上.30min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上.已知距离灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？S20°BA北65°在三角相关知识的应用问题中，常见这种动态的航行或风暴问题，而且很多题目还需要通过构建图形来解决。这类问题中的航海或气象等术语，比如“北偏东20°”、“风暴中心”等，会在解题中抽象成具体的角或点。这类题目更加偏向于实际化，也是新高考更加偏重的题目类型，要求学生有较高的阅读与理解能力，