2024-2025学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=x2的焦点坐标为(

)A.(12,0) B.(0,12)2.已知直线l1：3x+ay+1=0，l2：(a+2)x+y+a=0.当l1//l2A.1 B.−3 C.−3或1 D.−3.已知f(x)是定义在R上的可导函数，若limℎ→0f(2+ℎ)−f(2)2ℎ=1A.−1 B.−14 C.1 4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(

)A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏5.已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，100，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{aA.438 B.450 C.254 D.2786.椭圆x24+y29=1上任意一点A.455 B.5 C.7.若曲线y=x3与直线y=3ax+2有3个不同的交点，则实数a的取值范围是(

)A.(−∞,1) B.(−1,1) C.(1,+∞) D.(2,+∞)8.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线x−y+22=0上，半径为1，点A(3,0).若圆C上存在点M，满足|MA|=2|MO|，则点C的横坐标的取值范围是A.(−∞,0] B.[−1−22,0] C.[0,1+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则(

)A.在x=−2时，函数y=f(x)取得极值

B.在x=1时，函数y=f(x)取得极值

C.y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零

D.函数y=f(x)在区间(−2,2)上单调递增10.已知实数x，y满足y=−x2A.2x+1的最小值为−5 B.x2+y2的最大值为9

C.yx的最大值为11.已知数列{an}满足an+1=aA.an+1<3an B.{an}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N∗，an>an+113.若双曲线x2a214.已知直线y=kx+b(k,b∈R)与曲线f(x)=e2x−x相切，则k+b四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=14，S6=126．

(1)求{an16.(本小题12分)

已知圆C过点A(1,−1)，且与圆O：x2+y2=100相切于点B(8,6)．

(1)求圆C的方程；

(2)设直线l过点P(32,0)，且与圆C交于M17.(本小题12分)

已知数列{an+1−an}是首项为4，公差为2的等差数列，且a1=2．

(1)求数列{an}的通项公式；

18.(本小题12分)

已知函数f(x)=x2+alnx，a∈R．

(1)若曲线f(x)在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求a的值；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)当x∈[1e,e]19.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=3x，且过点(2,3).设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点．

(1)求C的方程；

(2)若直线MN过点P(3,0)，且MN的斜率为2，求||MP|−|PN||的值；

(3)设直线AM，参考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.B

6.A

7.C

8.B

9.AD

10.ABD

11.BCD

12.6−n(答案不唯一)

13.1+14.e215.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，

因为S3=14，S6=126，所以a4+a5+a6=S6−S3=112，

因为S3=a1+a2+a3=14，则a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3，

即112=14q3，解得q16.解：(1)(方法一)设圆心C(a,b)，由题意得CA=CB，kOC=kOB=34，

所以(a−1)2+(b+1)2=(a−8)2+(b−6)2，且ba=34，

解得a=4，b=3，即圆心C(4,3)，

所以半径r=CA=(4−1)2+(3+1)2=5，

所以圆C的方程为(x−4)2+(y−3)2=25．

(方法二)因为圆C与圆O相切于点B，所以C，O，B三点共线，

因为kOB=34，所以OB的方程为y=34x．

因为kAB=6+18−1=1，所以AB的中垂线斜率为−1，

又AB的中点为(92,52)，所以AB的中垂线方程为y−52=−(x−92)，即y=−x+7．

由y=34x,y=−x+7,解得x=4,y=3,即圆心C(4,3)，

所以半径r=CA=17.解：(1)因为{an+1−an}是首项为4，公差为2的等差数列，

所以an+1−an=4+2(n−1)=2n+2．

由a2−a1=4，a3−a2=6，…，an−an−1=2n(n≥2)，

将以上式子左右分别相加得：an−a1=4+6+...+2n，

又因为a1=2，所以当n≥2时，an=2+4+6+...+2n=n(2+2n)2=n2+n，

又因为a18.解：(1)∵f(x)=x2+alnx，∴f′(x)=2x+ax，

∴f′(1)=2+a，

又f(x)在x=1处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，∴f′(1)⋅(−23)=−1，

即2+a=32，∴a=−12．

(2)f′(x)=2x+ax=2x2+ax，x>0．

①当a≥0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．

②当a<0时，令f′(x)=0，得x=−a2．

当x∈(0,−a2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(−a2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

综上，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a<0时，f(x)在(0,−a2)上单调递减，在(−a2,+∞)上单调递增．

(3)由f(x)≥(a+2)x，得a(x−lnx)≤x2−2x在[1e,e]上恒成立．

令g(x)=x−lnx，x>0，则g′(x)=1−1x=x−1x，令g′(x)=0，得x=1，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，

∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

∴g(x)≥g(1)=1>0，即x−lnx>0，

则a≤x219.解：(1)因为双曲线C的一条渐近线方程为y=3x，且过点(2,3)，

所以ba=34a2−9b2=1，

解得a=1b=3，

则双曲线C的方程为x2−y23=1；

(2)易知直线MN的方程为y=2(x−3)，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=2(x−3)3x2−y2=3，消去y并整理得x2−24x+39=0，

由韦达定理得x1+x2=24，

因为M，N在P点的两侧，

所以x1−3与x2−3异号，

所以||MP|−|PN||=|1+22|x1−3|−1+22|x2−3||

=5|(x1−3)+(x2−3)|=5|x1+x2−6|=185；

(3)证明：若MN的斜率不存在，

设直线MN