2024-2025学年北京昌平区高二上学期期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京昌平区高二上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=x,3,1，b=−2,y,2，若a//A.−5 B.−3 C.3 D.52.已知直线l:2x−3y+6=0，则直线l的倾斜角的正切值为(

)A.−32 B.−23 C.3.在x−25的展开式中，x的系数为A.−80 B.−40 C.40 D.804.以A(2,3)，B(4,9)为直径的两个端点的圆的方程为(

)A.(x−1)2+(y−3)2=10 5.已知四面体O−ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为OD的中点，则AEA.−a+14b+14c6.曲线x216+y2A.短轴长相等 B.长轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等7.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有(

)A.24种 B.48种 C.72种 D.144种8.“a>1”是“坐标原点在圆x2+y2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍(cℎu)甍(meng)”.若底面ABCD是边长为4的正方形，EF=2，且EF//AB，▵ADE和▵BCF是等腰三角形，∠AED=∠BFC=90∘，则该刍甍的高(即点F到底面ABCD的距离)为(

)

A.1 B.3 C.2 D.10.已知集合A={(x,y)|y=x2+n,n≠0}，对于实数m，集合B={(x,y)|y=mx}且满足A.m=±1 B.m=1 C.m∈(−1,1) D.m∈[−1,1]二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知直线l1:2x+my−3=0与直线l2:x−y+1=0垂直，则实数m的值为______

__12.已知双曲线C:  x26−y23=1，则其渐近线方程为

；过C的右焦点F作圆x213.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线14.已知抛物线C:x2=2y的焦点为F，准线为l.则焦点F到准线l的距离为____

_____

；若点M在抛物线C上，过点M作准线l的垂线，垂足为E，A3,1，则MA+15.已知曲线W:x2+y①曲线W关于原点对称；②曲线W围成的区域(不含边界)内恰好有8个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；③曲线W围成区域的面积大于8；④曲线W上任意一点到原点的距离都不小于2其中正确结论的序号是______

__________

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知▵ABC的三个顶点的坐标分别为A−1,2，B3,−2，C(1)设D为AC的中点，求直线BD的方程；(2)求▵ABC的面积．17.设(2x−1)6(1)a(2)a(3)64a618.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为C(1)求证：EF//AC；(2)求直线DE与平面ACE所成角的正弦值；(3)求点B1到平面ACE的距离．19.已知圆C:(x−1)2(1)过点A(2,−1)的直线l与圆C交于M,N两点，当MN=4时，求直线l(2)判断直线mx−y+1−m=0与圆C的位置关系，并说明理由．20.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，平面ABB1A1条件①：AD⊥BE；

条件②：A1(1)求证：AD⊥AB；(2)求平面BCE与平面ADD(3)已知点M在线段CC1上，直线EM与平面BCC1B1所成角的正弦值为2221.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，F是C的右焦点，D是C的下顶点，且|DF|=2.过点D作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A,B两点(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)判断在y轴上是否存在定点Q，使得MQ的长度为定值？若存在，求出点Q的坐标和MQ的长度；若不存在，请说明理由．

参考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.A

6.C

7.C

8.B

9.B

10.A

11.2

12.y=±22x

；

；

；

；

13.π314.1

；15.①③④

16.(1)AC的中点D的坐标为0,3.

所以直线BD的斜率k所以直线BD的方程为y=−53x+3(2)法一：因为kBC=4−(−2)1−3=−3，所以直线BC所以点A到直线BC的距离d=3×(−1)+2−7因为BC=所以S▵ABC法二：因为kAB=2−(−2)−1−3所以kAB所以AB⊥AC.

因为|AB|=|AC|=[1−(−1)所以S▵ABC法三：由题意：S▵ABC

17.(1)在展开式中，令x=0，得：a0令x=1，得：a6所以a6(2)令x=−1，得：a6由(1)知，a6两式相加得：2(a所以a6(3)令x=2，得：64a

18.(1)法一：

在正方体ABCD−A因为平面A1B1平面ABCD∩平面ACE=AC，平面A1B1所以AC//EF.

法二：在正方体ABCD−A因为平面ABCD//平面A1B1C1所以AC//平面A1又因为AC⊂平面ACE，平面ACE∩平面A1所以AC//EF．(2)如图，建立空间直角坐标系D−xyz.则

D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，B1(2,2,2)所以AE=(−2,1,2)，AC=(−2,2,0)，设平面ACE的法向量n=(x,y,z)n⋅AE=0n令x=2，则y=2,z=1．所以n=(2,2,1).设直线DE与平面ACE所成角为α，所以sinα=|所以直线DE与平面ACE所成角的正弦值为4(3)因为AB1=(0,2,2)所以点B1到平面ACE的距离为2

19.(1)由圆C:(x−1)2+(y−3)2当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2．圆心C(1,3)到直线l的距离为d=1，此时MN=2当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x−2)，即kx−y−2k−1=0．圆心C(1,3)到直线l的距离为d=|k−3−2k−1|因为|MN|=2r2−d解得k=−158.所以直线l的方程为y+1=−综上，所求直线的方程为x=2或15x+8y−22=0．(2)法一：因为直线mx−y+1−m=0过定点D(1,1)，又因为|CD|=所以点D(1,1)在圆C内.所以直线mx−y+1−m=0与圆C相交．法二：圆心C到直线mx−y+1−m=0的距离d=|m−3+1−m|因为m2+1所以0<2所以直线mx−y+1−m=0与圆C相交．

20.(1)解：选择条件①：AD⊥BE．因为侧面ABB所以AA又因为平面ABB1A1⊥平面ABCDAA1⊂所以AA1⊥因为AD⊂平面ABCD，所以AA又因为AD⊥BE，AA所以AD⊥平面ABB所以AD⊥AB.

选择条件②∶A1连接AC．因为侧面ABB所以AA又因为平面ABB1A1⊥平面ABCDAA1⊂所以AA1⊥所以AA所以AC=因为AD=CD=1，

所以AD所以AD⊥CD.

因为AB/​/CD，所以AD⊥AB．(2)因为AA1⊥平面ABCD所以AA如图，建立空间直角坐标系A−xyz，则

A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，E(0,0,1)，B1(0,2,2)，C1所以BC=(1,−1,0)，BE设平面BCE的法向量m=(x,y,z)m⋅即x−y=0,−2y+z=0.令x=1，则y=1,z=2．所以m=(1,1,2).因为平面ADD1A设平面BCE与平面ADD1Acosθ=所以平面BCE与平面ADD1A(3)法一：设M(x1,所以(x所以x1所以M(1,1,2λ)．所以EM=(1,1,2λ−1).因为BC=(1,−1,0)，B设平面BCC1Bt⋅BC=0,t令x2=1，则所以t=(1,1,0).设直线EM与平面BCC1Bsinβ=解得λ=14，或所以CM=12，或法二：设M1,1,a，则EM因为BC=(1,−1,0)，B设平面BCC1Bt⋅BC=0,t令x2=1，则所以t=(1,1,0).设直线EM与平面BCC1Bsinβ=解得a=12，或所以CM=12或

21.(1)解：由题意得：2b=2,解得b=1,a=所以椭圆C的方程为x22+(2)由题意可知，直线AD的斜率k存在且不为零．又因为AD⊥BD，所以kBD因为D(0,−1)，所以直线AD的方程为y=kx−1，直