2025高考数学一轮复习-高考难点突破系列(一)导数中的综合问题-第二课时 构造函数证明不等式【课件】

第三章一元函数的导数及其应用高考难点突破系列(一)导数中的综合问题第二课时构造函数证明不等式题型一移项构造函数或直接利用函数的最值证明不等式例1(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；解

f′(x)＝aex－1，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)>0，得x>－lna；令f′(x)<0，得x<－lna，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增.综上，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增.证明

法一由(1)得当a>0时，函数f(x)的最小值为f(－lna)＝1＋a2＋lna.所以当a>1时，u′(a)<0；当0<a<1时，u′(a)>0，所以函数u(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以u(a)≤u(1)＝0，即lna≤a－1，感悟提升1.若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可直接求函数的最值，利用最值证明不等式.2.若待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证.训练1(2023·新高考Ⅱ卷节选)证明：当0<x<1时，x－x2<sinx<x.证明令h(x)＝x－x2－sinx(0<x<1)，则h′(x)＝1－2x－cosx(0<x<1).令p(x)＝1－2x－cosx(0<x<1)，则p′(x)＝－2＋sinx<0，所以p(x)即h′(x)在(0，1)上单调递减，又h′(0)＝0，所以当0<x<1时，h′(x)<h′(0)＝0，h(x)单调递减，所以当0<x<1时，h(x)<h(0)＝0，即x－x2<sinx.令g(x)＝sinx－x(0<x<1)，则g′(x)＝cosx－1≤0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，又g(0)＝0，所以当0<x<1时，g(x)<g(0)＝0，即sinx<x.综上，当0<x<1时，x－x2<sinx<x.题型二分拆函数法证明不等式例2(2024·长沙模拟节选)已知函数f(x)＝axlnx＋x2，g(x)＝ex＋x－1，0<a≤1，求证：f(x)<g(x).证明

要证明f(x)<g(x)，只需证明axlnx＋x2<ex＋x－1，则0<x<e时，u′(x)>0，函数u(x)在(0，e)上单调递增；x>e时，u′(x)<0，函数u(x)在(e，＋∞)上单调递减；则0<x<2时，v′(x)<0，函数v(x)在(0，2)上单调递减；x>2时，v′(x)>0，函数v(x)在(2，＋∞)上单调递增；感悟提升1.若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.含lnx与ex的混合式不能直接构造函数，要将指数与对数分离，分别计算它们的最值，借助最值进行证明.2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商形式，便于求导后找到极值点.再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.题型三放缩后构造函数证明不等式例3

当x>0时，证明：ex－sinx－1>xlnx.证明设h(x)＝x－sinx，则h′(x)＝1－cosx≥0，h(x)单调递增，所以当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即x>sinx(x>0).所以ex－sinx－1>ex－x－1，所以要证ex－sinx－1>xlnx，只需证明ex－x－1>xlnx，设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，则x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的最小值为f(0)＝0.当x∈(0，1)时，f(x)>0，xlnx<0，所以ex－x－1>xlnx.当x∈[1，＋∞)时，设F(x)＝ex－x－1－xlnx，则F′(x)＝ex－lnx－2，因为g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，且g′(1)＝e－1>0，所以g′(x)>0在[1，＋∞)上恒成立，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝e－2>0，所以F′(x)>0在[1，＋∞)上恒成立，故F(x)在[1，＋∞)上单调递增，F(x)≥F(1)＝e－2>0在[1，＋∞)上恒成立.综上，当x>0时，ex－sinx－1>xlnx.感悟提升训练3(2024·济南模拟节选)已知函数f(x)=ex，证明：当x＞－2时，f(x)＞ln(x+2).证明设g(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex－x－1(x＞－2)，则g′(x)＝ex－1，当－2＜x＜0时，g′(x)＜0；当x＞0时，g′(x)＞0，即g(x)在(－2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x＝0时，g(x)min＝g(0)＝0，因此f(x)≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)，令h(x)＝x＋1－ln(x＋2)(x＞－2)，则当－2＜x＜－1时，h′(x)＜0；当x＞－1时，h′(x)＞0，即有h(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，于是当x＝－1时，h(x)min＝h(－1)＝0，因此x＋1≥ln(x＋2)(当且仅当x＝－1时取等号)，因为等号不同时成立，所以当x＞－2时，f(x)＞ln(x＋2).微点突破

利用切线放缩法证明不等式导数方法证明不等式中，最常见的是ex和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号.(2)lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.因为y＝ex－1在x＝1处的切线方程为y＝x，因此用切线放缩法可得不等式ex－1≥x，当且仅当x＝1时取等号，所以得ex－1－lnx－1≥x－lnx－1，当且仅当x＝1时取等号.当0＜x＜1时，g′(x)＜0，所以g(x)单调递减；当x＞1时，g′(x)＞0，所以g(x)单调递增.所以x＝1是g(x)的最小值点.故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0.证明设h(x)＝ex－x－1(x>0)，则h′(x)＝ex－1>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(0)＝0，即ex>x＋1>1，令m(x)＝xlnx－x＋1，则m′(x)＝lnx，∴当x∈(0，1)时，m′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，m′(x)>0，∴m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴m(x)min＝m(1)＝0，即m(x)≥0，∴xlnx≥x－1，则f(x)>2g(x)－1得证.课时分层精练KESHIFENCENGJINGLIAN证明当x＞0时，要证f(x)≤x－1，即证lnx－x2＋x≤0，令g(x)＝lnx－x2＋x(x＞0)，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴g(x)≤g(1)＝0，即当x＞0时，f(x)≤x－1.2.(2024·唐山模拟)已知x>－1，证明：(1)ex－1≥x≥ln(x＋1)；当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，等号仅当x＝0时成立，即x≥ln(x＋1)，从而ex≥eln(x＋1)＝x＋1，所以ex－1≥x.综上，ex－1≥x≥ln(x＋1).(2)(ex－1)ln(x＋1)≥x2.证明显然当x＝0时，(ex－1)ln(x＋1)＝x2＝0.令h(x)＝(1－x)ex－1，则h′(x)＝－xex，当x<0时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x>0时，h′(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)≤h(0)＝0，等号仅当x＝0时成立，由(1)知，当－1<x<0时，0>x>ln(x＋1)；当x>0时，x>ln(x＋1)>0，所以g(x)<g[ln(x＋1)]，又当x>－1且x≠0时，x(ex－1)>0，所以(ex－1)ln(x＋1)>x2.综上，当x>－1时，(ex－1)ln(x＋1)≥x2.3.已知函数f(x)＝ax－sinx.(1)若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围；解∵f(x)＝ax－sinx，∴f′(x)＝a－cosx，由函数f(x)为增函数，则f′(x)＝a－cosx≥0恒成立，即a≥cosx在R上恒成立，∵y＝cosx∈[－1，1]，∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞).(2)求证：当x>0时，ex>2sinx.证明由(1)知，当a＝1时，f(x)＝x－sinx为增函数，当x>0时，f(x)>f(0)＝0⇒x>sinx，要证当x>0时，ex>2sinx，只需证当x>0时，ex>2x，即证ex－2x>0在(0，＋∞)上恒成立，设g(x)＝ex－2x(x>0)，则g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0解得x＝ln2，∴g(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(ln2)＝e