2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第2课时两角和与差的正弦余弦正切公式教师用书新人教A版必修第一册

PAGE1-第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式考点学习目标核心素养两角和与差的正弦、余弦、正切公式理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程逻辑推理两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P217－P220，并思索以下问题：1．两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？2．两角和与差的正弦、正切公式是什么？两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式名称公式简记符号条件两角和的余弦cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__βC(α＋β)α，β∈R两角和的正弦sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__βS(α＋β)两角差的正弦sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__βS(α－β)两角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)■名师点拨公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系．C(α＋β)eq\o(→,\s\up7(以－β代β))C(α－β)eq\o(→,\s\up7(诱导公式))S(α－β)eq\o(→,\s\up7(以－β代β))S(α＋β)(2)留意公式的结构特征和符号规律．对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．(3)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，这是由正切函数的定义域确定的．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是随意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于随意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(4)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(5)对随意α，β∈R，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)都成立．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×已知tanα＝2，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．－3 B．3C．－4 D．4答案：Acos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．0 D．1答案：C设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，则2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(7\r(2),5) B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(7,5) D.eq\f(4,3)答案：Asin75°＝________，taneq\f(π,12)＝________．答案：eq\f(\r(6)＋\r(2),4)2－eq\r(3)给角求值求值：(1)cos105°；(2)tan75°；(3)eq\f(sin50°－sin20°cos30°,cos20°).【解】(1)cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)－\r(6),4).(2)tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq\f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq\r(3).(3)原式＝eq\f(sin（20°＋30°）－sin20°cos30°,cos20°)＝eq\f(sin20°cos30°＋cos20°sin30°－sin20°cos30°,cos20°)＝eq\f(cos20°sin30°,cos20°)＝sin30°＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al()解决给角求值问题的方法(1)对于非特别角的三角函数式求值问题，肯定要本着先整体后局部的基本原则，假如整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特别角化为特别角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．求下列各式的值．(1)sin105°；(2)tan165°；(3)eq\f(sin47°－sin17°cos30°,sin73°).解：(1)sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°·sin60°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)tan165°＝tan(180°－15°)＝－tan15°＝－tan(45°－30°)＝－eq\f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)＝－eq\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝eq\r(3)－2.(3)eq\f(sin47°－sin17°cos30°,sin73°)＝eq\f(sin（17°＋30°）－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(cos17°sin30°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).给值求值已知eq\f(π,2)＜β＜α＜eq\f(3π,4)，cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，求cos2α与cos2β的值．【解】因为eq\f(π,2)＜β＜α＜eq\f(3π,4)，所以0＜α－β＜eq\f(π,4)，π＜α＋β＜eq\f(3π,2).所以sin(α－β)＝eq\r(1－cos2（α－β）)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))\s\up12(2))＝eq\f(5,13)，cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2（α＋β）)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(4,5).所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(12,13)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(5,13)＝－eq\f(33,65)，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(12,13)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(5,13)＝－eq\f(63,65).(变问法)若本例的条件不变，求sin2α的值．解：由本例解析可知sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\f(12,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(56,65).eq\a\vs4\al()给值(式)求值的解题策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．1．已知cosα＝－eq\f(4,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝()A．－eq\f(1,7) B．－7C.eq\f(1,7) D．7解析：选D.由cosα＝－eq\f(4,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，得sinα＝eq\f(3,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(tan\f(π,4)－tanα,1＋tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－\f(3,4))＝7.故选D.2．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则sinα＝()A.eq\f(\r(2),10) B.eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)或eq\f(7\r(2),10) D．－eq\f(7\r(2),10)解析：选B.由已知，可得eq\f(3π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(5π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(4,5)，所以sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)＋\f(4,5)))＝eq\f(7\r(2),10).故选B.3．已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3,5)，其中α，β都是锐角．求：(1)sin(α－β)的值；(2)tan(α＋β)的值．解：因为cosα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3,5)且α、β都是锐角．所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(4,5).(1)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25).(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝eq\f(4,3).所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝－2.给值求角(值)已知tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，其中0＜α＜eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＜β＜π.(1)求tan(α－β)；(2)求α＋β的值．【解】(1)因为tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2＋\f(1,3),1－\f(2,3))＝7.(2)因为tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，又因为0＜α＜eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＜β＜π，所以eq\f(π,2)＜α＋β＜eq\f(3π,2)，在eq\f(π,2)与eq\f(3π,2)之间，只有eq\f(5π,4)的正切值等于1.所以α＋β＝eq\f(5π,4).eq\a\vs4\al()解决给值求角(值)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再依据公式求解．(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再依据角的取值范围确定该角的大小．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\f(1,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))＝eq\f(\r(3),2)，其中eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,4)<β<eq\f(π,2)，求α＋β的值．解：因为eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,4)<β<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－α<0，eq\f(π,2)<eq\f(π,4)＋β<eq\f(3,4)π.所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝eq\f(\r(3),2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β)))＝－eq\f(1,2)，所以cos(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(\r(3),2).又因为eq\f(π,2)<α＋β<π，所以α＋β＝eq\f(5,6)π.1．(2024·北京清华附中月考)若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，则tan(α－β)等于()A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：选C.tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq\f(1,3).2．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小值为()A.eq\r(2) B．－2C．－eq\r(2) D.eq\r(3)解析：选C.因为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝sin2xcoseq\f(π,4)＋cos2x·sineq\f(π,4)＋sin2xcoseq\f(π,4)－cos2xsineq\f(π,4)＝eq\r(2)sin2x，所以所求函数的最小值为－eq\r(2).3．若cosα＝－eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝________．解析：因为cosα＝－eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))\s\up12(2))＝eq\f(12,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝cosαcoseq\f(π,6)－sinα·sineq\f(π,6)＝－eq\f(5,13)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(12,13)×eq\f(1,2)＝－eq\f(5\r(3)＋12,26).答案：－eq\f(5\r(3)＋12,26)4．已知tan(α＋β)＝eq\f(3,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))).解：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3)))))＝eq\f(tan（α＋β）－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3))),1＋tan（α＋β）tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,3))))＝eq\f(\f(3,5)－\f(1,3),1＋\f(3,5)×\f(1,3))＝eq\f(2,9).[A基础达标]1．下面各式中，不正确的是()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)coseq\f(π,4)B．coseq\f(5π,12)＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(π,3)－coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(6),4)D．coseq\f(π,12)＝coseq\f(π,3)－coseq\f(π,4)解析：选D.因为sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，所以A正确；因为coseq\f(5π,12)＝－coseq\f(7π,12)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,4)))，所以B正确；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,3)))，所以C正确；因为coseq\f(π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,4)))≠coseq\f(π,3)－coseq\f(π,4)，所以D不正确．2．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值为()A.eq\f(\r(2),5) B．－eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(2),10) D．－eq\f(\r(2),10)解析：选C.因为角α的终边经过点(－3，4)，则sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).3．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2cos(π－α)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝()A．－4 B．4C．－eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)解析：选C.因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα⇒tanα＝2，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝－eq\f(1,3).4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α的值为()A．－eq\f(4,7) B.eq\f(4,7)C.eq\f(1,8) D．－eq\f(1,8)解析：选A.tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝eq\f(tan（α＋β）＋tan（α－β）,1－tan（α＋β）tan（α－β）)＝eq\f(3＋5,1－3×5)＝eq\f(8,－14)＝－eq\f(4,7).5．在△ABC中，cosA＝eq\f(\r(5),5)，cosB＝eq\f(3\r(10),10)，则△ABC的形态是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等边三角形解析：选B.由题意得sinA＝eq\f(2\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，所以cosC＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝－eq\f(\r(50),50)＝－eq\f(5\r(2),50)＝－eq\f(\r(2),10)<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．cos105°＋sin195°的值为________．解析：cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°)＝2cos105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))＝eq\f(\r(2)－\r(6),2).答案：eq\f(\r(2)－\r(6),2)7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))，则tanα＝________．解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝cosαcoseq\f(π,3)－sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝sinαcoseq\f(π,3)－cosαsineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)sinα－eq\f(\r(3),2)cosα，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)))sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)))cosα，故tanα＝1.答案：18．已知tanα＝eq\f(1,3)，tan(β－α)＝－2，且eq\f(π,2)<β<π，求β.解：tanβ＝tan[α＋(β－α)]＝eq\f(tanα＋tan（β－α）,1－tanα·tan（β－α）)＝eq\f(\f(1,3)－2,1＋\f(2,3))＝－1.又因为eq\f(π,2)<β<π，所以β＝eq\f(3π,4).9．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且cos(α－β)＝eq\f(3,5)，sinβ＝－eq\f(\r(2),10)，求sinα.解：因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以α－β∈(0，π)．因为cos(α－β)＝eq\f(3,5)，所以sin(α－β)＝eq\f(4,5).因为β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，sinβ＝－eq\f(\r(2),10)，所以cosβ＝eq\f(7\r(2),10).所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(7\r(2),10)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),10)))＝eq\f(\r(2),2).[B实力提升]10．下列四个式子中是恒等式的为()A．sin(α＋β)＝sinα＋sinβB．cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1－tanαtanβ)D．sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β解析：选D.sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，故A错误；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，故B错误；tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，故C错误；sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)·(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(sin2αcos2β＋sin2αsin2β)－(sin2αsin2β＋cos2αsin2β)＝sin2α－sin2β，故D正确．11.eq\f(sin7°＋cos15°sin8°,cos7°－sin15°sin8°)＝________．解析：原式＝eq\f(sin（15°－8°）＋cos15°sin8°,cos（15°－8°）－sin15°sin8°)＝eq\f(sin15°cos8°,cos15°cos8°)＝tan15°＝tan(45°－30°)＝eq\f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)＝2－eq\r(3).答案：2－eq\r(3)12．已知函数f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).解：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝eq\r(2)coseq\f(π,4)＝1.(2)因为cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，sin