2025年春新冀教版七年级下册数学全册教学课件

新冀教版数学七年级下册全册教学课件2025年春季新版教材第六章

二元一次方程组6.1二元一次方程组

七下数学JJ1.通过具体实例，理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的意义，发展抽象能力.2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程(组)的解.3.能根据实际问题中的数量关系列出简单的二元一次方程(组),体会方程是刻画现实世界数量关系的有效的数学模型，形成应用意识.

用载质量不同的两种货车来运货.已知4辆轻型货车和5辆中型货车一次最多能运货52t,10辆轻型货车和3辆中型货车一次最多能运货54t.那么，这两种货车每辆的载质量分别是多少吨?

设一个未知数

4辆轻型货车的载质量+5辆中型货车的载质量=52t10辆轻型货车的载质量+3辆中型货车的载质量=54t设两个未知数

4辆轻型货车的载质量+5辆中型货车的载质量=52t10辆轻型货车的载质量+3辆中型货车的载质量=54t

共同点：1.都是方程；2.含有未知数的项的次数都是1；3.都可以表示本题中的等量关系.不同点：1.前者含有有一个未知数，后者含有两个未知数；2.解法一用一个方程来表示数量关系，解法二是用两个方程来表示数量关系的.知识点1

二元一次方程的概念定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程，叫作二元一次方程.二元一次方程需满足以下三个条件：①含有两个未知数；②未知数所在项的次数都是1；③方程左右两边都是整式.知识点1

二元一次方程的概念例1判断下列方程是不是二元一次方程.

3a+5=9m+n=18x2+y=7d+p+t+9

2xy=8x+y=3知识点1

二元一次方程的概念

判断一个方程是否为二元一次方程的方法：

一看原方程是不是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0且含未知数的项的次数都是1.问题2、x=3，y=8是否满足方程4x+5y=52？x=4，y=8满足吗？二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的一组解.二元一次方程的解有无数组.解的写法：上下摆放，左弧号连接,如x=5，y=3是方程5x+y=28的一组解，记为的形式.知识点2

二元一次方程的解例2：x＝－3，y＝1为下列哪一个二元一次方程的解(

)A．x＋2y＝－1B．x－2y＝1C．2x＋3y＝6D．2x－3y＝－6A知识点2

二元一次方程的解

二元一次方程组：

含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1的一组方程，叫作二元一次方程组.温馨提示：二元一次方程组需满足以下三个条件：①含有两个未知数；②含未知数的项的次数都是1；③方程中所含代数式都是整式.方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组.知识点3

二元一次方程组的概念

例3下列方程组是二元一次方程组的是（）A.B.C.D.B知识点3

二元一次方程组的概念

注意：也是二元一次方程组.练一练：下列方程组中，哪些是二元一次方程组？知识点3

二元一次方程组的概念做一做

已知甲数的2倍和乙数的3倍之和是12，甲数的3倍与乙数的2倍之差是5.求这两个数.(1)列一元一次方程求解；解：设甲数为x，则乙数为.根据题意，得解得从而答：甲数为3，乙数为2.知识点4

二元一次方程组的解(2)如果设甲数为x，乙数为y,请根据问题中的等量关系，列出含有两个未知数的一组方程.2x+3y=12,①3x-2y=5.②想一想：方程2x+3y=12

和3x-2y=5中，x的含义相同吗？y呢？x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同时满足方程2x+3y=12

和3x-2y=5,把它们联立起来,得知识点4

二元一次方程组的解探究：对于二元一次方程，任意给定未知数x的一个值，你能求出满足方程的未知数y的值吗？填写下表.2x+3y=12x…245…y……3x-2y=5x…245…y……看一看：是否有同时满足这两个方程的一组解？332知识点4

二元一次方程组的解二元一次方程组的解：二元一次方程组中方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解.一般地，二元一次方程组记作

的形式，而

是这个方程组的解.知识点4

二元一次方程组的解

既是方程①5x+y=28的一组解，

也是方程②

x+5y=20的一组解.因此，就是二元一次方程组的解.例如知识点4

二元一次方程组的解例4：以为解的二元一次方程组是

(

)

A.B.

C.D.C知识点4

二元一次方程组的解1.下列各组数是不是方程2a=3b+20的解?a=4，b=3a=100，b=60①②左边≠右边右边=3×3+20右边=3×60+20左边=2×100左边=右边左边=2×43.二元一次方程组的解是()A. B.C.D.x+=1，y+x=22.下列不是二元一次方程组的是(

)A.x+y=3，x-y=1B.C.D.6x+4y=9，y=3x+4Bx=1，y=1x=1，y=32x+y=5，3x-2y=4x=1，y=2x=2，y=1x=2，y=-14.小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张，那么可列方程组(

)

A.

B.

C.D.D5.已知是方程2x-4y+2a=3的一组解，则a=____.6.若方程2x2m+3+3y3n-7=0是关于x，y的二元一次方程，则m=______，n=______；x=3，y=1

1

2-1

83二元一次方程组二元一次方程二元一次方程的解二元一次方程的定义二元一次方程组二元一次方程组的定义二元一次方程组的解6.2二元一次方程组的解法

课时3七下数学JJ第六章

二元一次方程组1.掌握用代入消元法解二元一次方程组.2.在解方程组的过程中，进一步体会转化和划归思想，提升运算能力.买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元.信息一：已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元；信息二：又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元.解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元，根据题意得，你会解这个方程组吗？3x+2y=23,5x+2y=33.解：由①得.

将③代入②,得③解得y=4.把y=4代入③，得x=5.所以原方程组的解为除代入消元，还有其他方法吗？①②3x+2y=23,5x+2y=33.x=5，y=4.3x+5y=21,①2x–5y=-11.②一起探究：怎样解下面的二元一次方程组呢？把②变形得：代入①，不就消去x了！知识点1

用加减消元法解二元一次方程组3x+5y=21,①2x–5y=-11.②把②变形得可以直接代入①呀！知识点1

用加减消元法解二元一次方程组3x+5y=21,①2x–5y=-11.②5y和－5y互为相反数……小丽知识点1

用加减消元法解二元一次方程组按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？①②分析：①+②①左边

+②左边

=①右边

+②右边3x+5y+2x

－5y＝105x=10(3x+5y)+(2x-5y)=

21+(－11)5y和－5y互为相反数……知识点1

用加减消元法解二元一次方程组解：由①+②,得将x=2代入①,得6+5y=21.y=3.所以原方程组的解是

x=2,

y=3.解方程组：①②5x=10.x=2.你学会了吗？知识点1

用加减消元法解二元一次方程组

①②例1

解方程组:解：由①+②，得7x=14.解得，

x=2.把x=2代入①中，得10+3y=16.解得，

y=2.所以方程组的解为当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，可以将两个方程两边分别相加，消元更简单.知识点1

用加减消元法解二元一次方程组做一做：解方程组①②解：由①－②，得y=2.把y=2代入②中，得3x+2=5.解得x=1.所以方程组的解为当方程组中同一未知数的系数相等时，该如何消元才更简单呢？当方程组中同一未知数的系数相等时，可以将两个方程两边分别相减，消元更简单.①②3x+2y=23,5x+2y=33.解方程组解：由②－①,得将x=5代入①,得15+2y=23.y=4.所以原方程组的解是

x=5,

y=4.2x=10.x=5.与前面的代入法相比，是不是更加简单了！知识点1

用加减消元法解二元一次方程组变式练习例2

解方程组①②两个未知数的系数既不相等也不互为相反数，怎么办？解：由②×2，得4x+6y=8.③

-

,得x=-1.把x=-1代入②中，得-2+3y=4.解得

y=2.所以方程组的解为

温馨提示：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元.我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.知识点1

用加减消元法解二元一次方程组定义：将二元一次方程组中两个方程相加(或相减，或进行时当变形后再相加减)，消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法，叫作加减消元法，简称加减法.

如果同一个未知数的系数存在整数倍关系，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，再进行加减.知识点1

用加减消元法解二元一次方程组7x=14

x=2加减消元5×2+3y=16

y=2求解代入得解得解二元一次方程组一元一次方程一元一次方程的解用加减法解二元一次方程组的一般步骤转化知识点1

用加减消元法解二元一次方程组

变式练习

解方程组:①②解：由①+②×3，得7x=0.解得

x=0.把x=0代入①中，得0+3y=12.解得

y=4.所以方程组的解为解：由①×2-②，得7y=28.解得

y=4.把y=4代入①中，得x+3×4=12.解得

x=0.所以方程组的解为知识点1

用加减消元法解二元一次方程组例3

用加减法解方程组:①②①×3,得所以原方程组的解是解：③-④,得

y=2.

把y＝2代入①，解得

x＝3.②×2,得6x+9y=36.③6x+8y=34.④找系数的最小公倍数回代：求出x的值相减：消去x求解：求出y的值变形：使x的系数相等写出解知识点1

用加减消元法解二元一次方程组解：②×4,得

①解方程组：②③①＋③,得7x=35.解得

x=5.把x=5代入②,得

y=1.4x-4y=16.知识点1

用加减消元法解二元一次方程组变式练习同一未知数的系数

时，利用等式的性质，使得未知数的系数

.不相等也不互为相反数相等或互为相反数

当两个未知数的系数不存在整倍数关系，将两个方程进行适当变形，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，再进行加减.知识点1

用加减消元法解二元一次方程组主要步骤：基本思路：写解求解加减消去一个元求出两个未知数的值写出方程组的解加减消元法解方程组基本思路和主要步骤：变形同一个未知数的系数相同或互为相反数消元:二元一元知识点1

用加减消元法解二元一次方程组

例4解方程组：

解：由①+②，得4(x+y)=36.

所以x+y=9.③由①-②，得6(x-y)=24.

所以x-y=4.④由③④组成方程组解得法二：整理得【方法总结】整体加减法（换元法）是数学中的重要方法之一，往往能使运算更简便．知识点2

用整体加减消元法解二元一次方程组变式练习

已知方程组的解满足方程x+y=8,求m的值.解：①+②，得5x+5y=2m+2.又∵x+y=8，∴5×8=2m+2.解得m=19.故m的值为19.知识点2

用整体加减消元法解二元一次方程组

2.用加减法解方程组6x+7y=－19,①6x-5y=17.②应用（）A.①-②消去yB.①-②消去xC.②-①消去常数项D.以上都不对B

3.已知

则a+b等于_____.

3

①②分析：方法一:直接解方程组，求出a与b的值，然后就可以求出a+b.方法二：+,得4a+4b=12，

a+b=3.【方法总结】解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用整体法求解．4.解下列方程组解：5.已知x，y满足方程组

求代数式x-y的值．解：②-①，得2x-2y＝-1-5，整理得x-y＝-3.加减消元法定义步骤条件方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍变形

加减

求解

回代

写出解

七下数学JJ6.2二元一次方程组的解法

课时1第六章

二元一次方程组1.掌握用代入消元法解二元一次方程组.2.在解方程组的过程中，体会转化和划归思想，提升运算能力.问题1：你能用一元一次方程解决鸡兔同笼的问题吗？

解：设鸡有x只，根据题意列方程，得2x+4(35-x)=94.解这个一元一次方程，得x=23.从而，得35-23=12.即鸡有23只，兔子有12只.问题2：如何利用二元一次方程组解决鸡兔同笼问题？解：设鸡有x只，兔子有y只.根据题意，可得方程组①②由①，得

y=35-x.③将③代入②中，得

2x+4(35-x)=94.④①②

y=35-x变形代入2x+4(35-x)=94想一想：由方程组

是怎样得出方程

④的？从中你体会到怎样解二元一次方程组吗？求解x=23代入求解y=12将二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法，叫作代入消元法.求二元一次方程组的解的过程，叫作解二元一次方程组.知识点

用代入消元法解二元一次方程组例1

求二元一次方程组

的解.

①②解：将①代入②中，得x+2(x-6)=9.解这个一元一次方程，得x=7.将x=7代入①中，得y=1.所以，原方程组的解为当方程组中有一个方程为y=ax+b的形式，则直接将该方程代入到第二个方程中进行消元.把x=7代入②可以吗？把求出的解代入原方程组，可以知道你解的对不对.

知识点

用代入消元法解二元一次方程组例2

解二元一次方程组

①②解：方程①可变形为x=10-y.③将③代入②中，得10-y-2y=4.解这个方程，得y=2.将y=2代入③中，得x=8.所以，原方程组的解为方法一：还有其他解法吗？③能代入①吗？知识点

用代入消元法解二元一次方程组

解二元一次方程组

①②解：方程①可变形为y=10-x.③将③代入②中，得x-2(10-x)=4.解这个方程，得x=8.将x=8代入③中，得y=2.所以原方程组的解为方法二：1.将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；2.用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；3.把这个未知数的值代入变形的式子，求得另一个未知数的值；4.写出方程组的解.用代入法解二元一次方程组的一般步骤变代求写知识点

用代入消元法解二元一次方程组解：方程②可变形为x=4+2y.③将③代入①中，得4+2y+y=10.解这个方程，得y=2.将y=2代入①中，得x=8.所以原方程组的解为方法三：解二元一次方程组

①②知识点

用代入消元法解二元一次方程组变形：用一个未知数表示另一个未知数代入：消元解：解一元一次方程得到一个未知数的值回代：求另一个未知数的值写出解代入法解二元一次方程组步骤：知识点

用代入消元法解二元一次方程组二元一次方程组一元一次方程转化代入消元法选择方程中未知数系数为±1的方程进行变形.解题思路解二元一次方程组的基本思想是“化归思想”，通过“代入消元”法，也就是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元一次方程.知识点

用代入消元法解二元一次方程组m=1+2n.变式练习1.若方程5x

m-2n+4y

3n-m

=9是关于x、y的二元一次方程，求m

，n

的值.由①，得③把③代入②，得把n=2代入③，得所以n=2,m=5.解：由题意知,m-2n=1，3n–m=1.①②3n–（1+2n）=1.解方程，得n=2.m=5.即m

的值是5，n

的值是2.知识点

用代入消元法解二元一次方程组y=2–3x.由①，得③把③代入②，得把x=2代入③，得所以x=2,y=-4.解：由题意知,

y+3x–2=0，5x+2y–2=0.①②解方程，得x=2.y=-4.即x

的值是2，y的值是-4.2.

如果∣y+3x-2∣+∣5x+2y-2∣=0，求x，y

的值.5x+2（2–3x）-2=0.知识点

用代入消元法解二元一次方程组1.用代入法解方程组下列说法正确的是(

)A．直接把①代入②，消去yB．直接把①代入②，消去xC．直接把②代入①，消去yD．直接把②代入①，消去xB由①直接代入②2.下列各方程组中，应怎样代入消元？由①得y=7x–11.③将③代入②x=4y-1,

①3x+y=10.

②7x-y=11,

①5x+2y=0.

②

小技巧：用代入法时，往往对方程组中系数为1或-1的未知数所在的方程进行变形代入.3.解方程组2y-x=3，

①

x=y+1；

②(1)2x-y=5，

①

4x+3y=15.

②

(2)解：(1)将②直接代入①中，得2y-(y+1)=3,解得y=4.将y=4代入②中，得

x=5.所以原方程组的解为(2)方程①可变形为y=2x-5.③将③代入②中，得4x+3(2x-5)=15,解得x=3.将x=3代入③中，得

y=1.所以原方程组的解为4.已知

和

是方程ax+by=15的两个解，求a，b的值.解析：把两组解分别代入方程中，得到关于a,b的两个方程，解方程组，即可求得a,b的值.解：将和分别代入方程ax+by=15中，得解这个方程组，得5.某校组织活动，共有100人参加，要把参加活动的人分成两组，已知第一组人数比第二组人数的2倍少8人，问这两组人数各是多少？解：设第一组有x人，第二组有y人，根据题意，可列方程组解这个方程组，得答：第一组有64人，第二组有36人.6.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法．如解方程组：解：把②代入①，得x＋2×1＝3，解得x＝1.把x＝1代入②，得y＝0.所以原方程组的解为①②x＝1，y＝0.代入消元法定义步骤变形：用一个未知数表示另一个未知数代入：消元解：解一元一次方程得到一个未知数的值回代：求另一个未知数的值写出解整体代入法6.2二元一次方程组的解法

课时2七下数学JJ第六章

二元一次方程组1.掌握用代入消元法解二元一次方程组.2.在解方程组的过程中，体会转化和划归思想，提升运算能力.“曹冲称象”的故事生活中解决问题的方法把大象的体重转化为石块的重量.情景引入解二元一次方程组的基本思想是“化归思想”，通过“代入消元法”，也就是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元一次方程.例1

解方程组②①解：由方程①，得③将③代入②，整理，得解方程，得将代入③，得所以，原方程的解为知识点1

用代入消元法解二元一次方程组例2

解方程组②①解：原方程组可化为③④由方程④，得⑤将⑤代入③，整理得解得将代入⑤，得所以，原方程的解为解法不只一种，独立完成，然后与大家分享哦！知识点1

用代入消元法解二元一次方程组结合下列实例和图示,说一说怎样运用“代入消元法”解二元一次方程组.知识点1

用代入消元法解二元一次方程组【追问】(1)解二元一次方程组的基本思路是什么?(转化.)(2)代入消元的目的是什么?(转化为简单的方程,即一元一次方程.)知识点1

用代入消元法解二元一次方程组温馨提示：用代入消元法解二元一次方程组时,消去x或y都可以，为了简便计算,需要对每个方程的未知数系数情况进行比较分析,并根据自己的认识进行选择.解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”.主要步骤是:(1)将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;(2)将这个代数式代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程;(3)解这个一元一次方程;(4)把求得的一元一次方程的解代入方程中,求得另一个未知数的值,组成方程组的解.知识点1

用代入消元法解二元一次方程组

解方程组②①解：原方程组可化为③④由方程④，得⑤将⑤代入③，得⑤解这个一元一次方程，得将代入⑤，得所以，原方程的解为知识点2

整体代入消元例2知识点2

整体代入消元(1)当方程组中的二元一次方程为ax+by+c=k时，一般先将方程化为ax+by=k-c的形式.(2)当相同未知数的系数成整数倍关系时，我们常用整体代入法会使解法更加快捷简便！1.已知3x-y=7,则用含x的代数式表示y为___________,用含y的代数式表示x为____________.2.解方程组的最佳方案是（）②①A.由方程①，得,再代入②

B.由方程②，得,再代入①

C.由方程①，得,再代入②

D.由方程①，得,再代入②

y=3x-73.已知方程组

的解x与y的值相等，则k=___

.解析：由题意可知x与y的值相等，即x=y.可将其代入方程2x+3y=5中，解得x=1.而后将x=y代入4x-3y=k中，整理，得x=k.即k=x=1.4.若

，则x=___

,y=＿＿.1解析：根据绝对值的非负性可列出方程组解这个方程组，得1-15.已知和都是方程mx+ny=7的解，求3m+2n的值.解：将和代入方程mx+ny=7中，得②①由方程②，得③将③代入②，整理得③解得将代入③，得

二元一次方程组一元一次方程转化代入消元法变形代入消元代入求值写解整体代入6.3二元一次方程组的应用

课时1七下数学JJ第六章

二元一次方程组1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤.2.通过探究实际问题,进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型,发展模型观念.3.在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，提高分析问题与解决问题的能力，形成应用意识.3月12日是我国的植树节.这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动.如果平均每人每天挖树坑6个或植树10棵，那么怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？问题1在上面的问题中，找出两个等量关系.(1)挖树坑的人数+植树的人数=240;(2)挖树坑的人数×6=植树的人数×10.问题2设每天安排x名学生挖树坑，y名学生植树，那么列出的二元一次方程组是怎样的？知识点1

配套问题

问题3

请试着解2中所列的二元一次方程组.你与小明的解答一样吗？

将①变形为x=240-y.③将③代入②，得6（240-y）=10y.解这个方程，得y=90.将y=90代入①，得x=150.所以，方程组的解为

答：每天安排150名学生挖树坑，90名学生植树，才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗.知识点1

配套问题例1

某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件.已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套.如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套?分析：本题中的等量关系是：生产甲种零件的工人数+生产乙种零件的工人数=660；甲种零件个数×2=乙种零件个数.1.审审清题意及题目中的等量关系；2.找审清题意及题目中的等量关系；已知：车间工人数及每人每天的工作效率；未知：人员如何调配.知识点1

配套问题答：设安排275人生产甲种零件，385人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套..解：设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套.3.设设未知数；根据题意，得.4.列根据题目中的等量关系列出方程组；解这个方程组，得5.解解这个方程组，求出未知数的值；写出答案.6.检验检验解的正确性与合理性；7.答

知识点1

配套问题大家谈谈用二元一次方程组解决实际问题一般有哪些步骤？请与同学交流你的想法.实际问题寻找适当的等量关系建立二元一次方程组解二元一次方程组检验实际问题的解知识点1

配套问题用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题并找相等关系：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用______表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用___

_____法或

解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.数量关系字母2代入消元加减消元法知识点1

配套问题变式练习：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？分析：将题中出现的量在表格中呈现产品类型所需人数生产总量螺钉x螺母y螺母总产量是螺钉的2倍人数和为22人1200x2000y知识点1

配套问题解：设生产螺钉的有x人，生产螺母的有y人.依题意，可列方程组：解方程组，得

答：生产螺钉的有10人，生产螺母的有12人.解决配套问题要弄清：（1）每套产品中各部分的比例；（2）生产各部分的工人数之和=工人总数.知识点1

配套问题例2

一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了16g.已知金在水中称，金重减轻；银在水中称，银重减轻.求这块合金中含金、银各多少克.解:设这块合金中含金为x克，含银为y

克.根据等量关系得解这个方程组得答：这块合金中含金190克，银60克.知识点2

和、差、倍、分问题变式练习：某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11；胜场得分+平场得分=27.胜场平场合计场数得分x3xyy1127知识点2

和、差、倍、分问题解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得8y3xy3答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.x知识点2

和、差、倍、分问题1.小洪买了80分与60分邮票共17枚，花了12.2元.试问：80分与60分邮票各买了多少枚？解：设小洪买80分的邮票共x枚,买60分邮票共y枚，根据题意有解得答：小洪买80分的邮票共10枚，买60分的邮票共7枚.2.某星期日，七年级与八年级分别有20，30人去颐和园参观，有30，15人去圆明园参观.七年级买门票花去450元，八年级买门票花去525元.试问：颐和园和圆明园的门票各多少元？解：设颐和园门票为x元，园明园门票为y元，根据等量关系得解这个方程组得答：颐和园门票为15元，园明园门票为5元.隔壁听到人分银，不知人数不知银。每人五两多六两，每人六两少五两。多少人数多少银？解：设有x个人，y两银，由题意得：

5x+6=y,6x-5=y.3.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：解得：

x=11,

y=61.答：有11个人，61两银.4.一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套?解：设生产圆形铁片的工人有x人，生产长方形铁片的工人有y人，根据题意列出方程组得

答：生产圆形铁片的工人有24人，生产长方形铁片的工人有18人.列方程组解决问题一般步骤：审、找、设、列、解、验、答关键：找等量关系6.3二元一次方程组的应用

课时2七下数学JJ第六章

二元一次方程组1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤.2.通过探究实际问题,进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型,发展模型观念.3.在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，提高分析问题与解决问题的能力，形成应用意识.二元一次方程组的前世今生“方程”:

我国:汉

郑玄

“解九数”《九章算术》

第八卷

“方程”

13世纪

“立天元一为某某”(“设x为某某”)西方:古巴比伦人

古希腊人

拉T文oequation英文equation亚历山大里亚时期

丢番图

《算术》“元”:表示未知数

我国宋元时期的天元术.李冶

《测圆海镜》和《益古演段》、朱世杰《算学启蒙》和((四元玉鉴)).清末

李善兰

和伟烈亚力

译英国数学家德摩根

《代数学》

创用“多元一次方程”这样的术语现代:二元一次方程组的重要应用例1

我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动.他们分工合作，在一架3150m长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算:“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为42.5s,列车完全在桥上的时间约为32.5s.你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗?知识点1

行程问题列车42.5s内所行路程=桥长+车长列车32.5s内所行路程=桥长-车长知识点1

行程问题思考：(1)问题中涉及了哪些量？(2)画示意图，并寻找等量关系.(3)用x、y分别表示火车的速度(m/s)和长度(m)，列方程组.(4)解答上面的问题.知识点1

行程问题

例2

小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？知识点1

行程问题分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.平路：60m/min下坡路：80m/min上坡路：40m/min走平路的时间+走下坡的时间=________，走上坡的时间+走平路的时间=_______．路程=平均速度×时间1015知识点1

行程问题方法一（直接设元法）平路时间坡路时间总时间上学放学解：设小华家到学校平路长xm，下坡长ym.根据题意，可列方程组：解方程组，得所以，小华家到学校的距离为700m.知识点1

行程问题方法二（间接设元法）平路距离坡路距离上学放学解：设小华下坡路所花时间为

xmin,上坡路所花时间为

ymin.

所以，小华家到学校的距离为700m.故平路距离：60×（10-5）=300（m）.

坡路距离：80×5=400（m）.知识点1

行程问题变式练习

甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.知识点1

行程问题（1）同时出发，同向而行甲出发点乙出发点4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程（2）同时出发，相向而行甲出发点乙出发点4km相遇地甲0.5h

行程乙0.5h

行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km知识点1

行程问题解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系，得解方程组，得答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.知识点1

行程问题例3

去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增加20%，高中一年级招生人数比去年增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总数将比去年招生总数增加18%，今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？今年，七年级人数+高中一年级人数=500(1+18%)；分析：本题中的等量关系去年，七年级人数+高中一年级人数=500；今年，七年级人数=去年七年级人数+增长数；今年，高中一年级人数=去年高中一年级人数+增长数；知识点2

增长率问题解：设去年七年级招生x名，高中一年级招生y名.根据题意，得解得所以答：今年秋季七年级计划招生360名，高中一年级计划招生230名.如果将今年两个年级计划招生人数设为未知数，如何列方程组呢？知识点2

增长率问题知识点2

增长率问题基本关系式：增长率＝（增长后的量－增长前的量）/增长前的量×100%；

相等关系：增长前的量×(1＋增长率)＝增长后的量；下降前的量×(1－降低率)＝下降后的量．【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有总产值/万元总支出/万元利润/万元去年今年(1+20﹪)x(1-10﹪)y780xy变式练习某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?知识点2

增长率问题去年的总产值-去年的总支出=200万元，

今年的总产值-今年的总支出=780万元．分析关键:找出等量关系.今年的总支出=去年的总支出×(1-10%）今年的总产值=去年总产值×(1+20%）知识点2

增长率问题解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有x-y=200，(1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780.因此,去年的总产值是2000万元，总支出是1800万元.解得x=2000，y=1800.知识点2

增长率问题实际问题

设未知数、找等量关系、列方程（组）

数学问题

[方程（组）]解方程（组）数学问题的解检验实际问题的答案

知识点2

增长率问题1.甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为(

)B

2.某食品厂要配制含蛋白质15％的食品100kg，现在有含蛋白质分别为20％，12％的甲乙两种配料．用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？分析本问题涉及的等量关系有：甲配料质量+乙配料质量=总质量，甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量=总蛋白质质量.解:设含蛋白质20％的配料需用xkg，含蛋白质12％的配料需用ykg.根据等量关系得解这个方程组得答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质20％的配料需用37.5kg，含蛋白质12％的配料需用62.5kg.3.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％.求甲、乙两种商品原来的单价.解:设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元.根据等量关系得解这个方程组得答：甲商品原来的单价为40元，乙商品原来的单价为60元.4.一班和二班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81﹪,如果一班学生的体育达标率为87.5﹪,二班学生的体育达标率为75﹪,那么一、二班的学生数各是多少?分析

设一、二班的学生数分别为x名，y名.则有下表.一班二班两班总和学生数达标学生数xy10087.5﹪x75﹪y81﹪×100解:设一、二班的学生数分别为x名，y名.根据题意,得解得答：一、二班的学生数分别为48名和52名.x+y=100，87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100.x=48,y=52.5.某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练某次训练中，他骑自行车的平均速度为10m/s，跑步的平均速度为，自行车路段和长跑路段共5km，共用时15min．求自行车路段和长跑路段的长度．分析：本问题涉及的等量关系有：自行车路段长度+长跑路段长度=总路程，骑自行车的时间+长跑时间=总时间.解：设自行车路段的长度为xm，长跑路段的长度为ym.根据等量关系，得解这个方程组，得因此自行车路段的长度为3000m，长跑路段的长度为2000m．二元一次方程组的应用增长率问题原量×（1+增长率）=增长后的量；原量×（1-减少率）=减少后的量.

行程问题设元方法:直接法,间接法和设辅助元.路程=速度×时间.第六章

二元一次方程组6.4三元一次方程组*七下数学JJ1.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会转化思想，并能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.2.体会用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高模型观念，发展应用意识.

流氓兔比加菲猫大1岁流氓兔年龄的2倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大18岁求三个小动物的年龄三个小动物年龄之和为26岁问题1题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？未知量

流氓兔的年龄

加菲猫的年龄

米老鼠的年龄（1）流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26；（2）流氓兔的年龄-1=加菲猫的年龄；（3）2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18.等量关系知识点1

三元一次方程（组）问题2你能用学过的知识计算出三个小动物的年龄吗？解：设流氓兔的年龄为x岁，加菲猫的年龄为y岁，则米老鼠的年龄为(26-x-y)岁.根据题意，得解得所以26-x-y=26-8-7=11.答：流氓兔的年龄为8岁，加菲猫的年龄为7岁，米老鼠的年龄为11岁.知识点1

三元一次方程（组）(1)流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26(2)流氓兔的年龄-1=加菲猫的年龄(3)2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

问题3若设三个未知数，如何列方程组呢？设流氓兔的年龄为x岁，加菲猫的年龄为y岁，米老鼠的年龄为z岁知识点1

三元一次方程（组）解：设流氓兔的年龄为x岁，加菲猫的年龄为y岁，米老鼠的年龄为z岁，根据题意，得想一想：对比我们学过的二元一次方程和二元一次方程组，这三个方程及组成的方程组有什么特点？知识点1

三元一次方程（组）

含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程，叫作三元一次方程；含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫作三元一次方程组.三元一次方程组中各方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解.知识点1

三元一次方程（组）

问题1

解二元一次方程组的基本思想是什么？问题2

解二元一次方程组的基本方法有哪些？问题3

解二元一次方程组的基本步骤是怎样的？消元代入法加减法通过代入法或加减法进行消元求未知数的值写解知识点2

三元一次方程组的解法

能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？怎样下面的方程组呢？解：由方程②得x=y+1.④

把④分别代入①③得

2y+z=22.⑤3y-z=18.⑥

解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得

y=8，z=6.

把y=8代入④，得x=9.

所以原方程组的解是x=9,y=8,z=6.知识点2

三元一次方程组的解法解：③+①，消去z之后，得方程组②×2+⑤，得5x=45，解得

x=9，y=8，将x=9，y=8代入①得z=6，所以原方程组的解是⑤②x=9,y=8,z=6.例1

解方程组①②③解：由①，得z=x-4.④将④分别代入②③，得⑤⑥解这个二元一次方程组，得将x=4代入由①，得z=0.所以,原方程组的解为知识点2

三元一次方程组的解法

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行

，把

转化为

，使解三元一次方程组转化为解

，进而再转化为解

.三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元消元“三元”“二元”二元一次方程组一元一次方程知识点2

三元一次方程组的解法变式练习

在等式

y=ax2＋bx＋c中，当x=－1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.解:根据题意，得三元一次方程组a－b＋c=0，①4a＋2b＋c=3，②25a＋5b＋c=60.③②－①，得

a＋b=1.④③－①，得4a＋b=10.⑤④与⑤组成二元一次方程组a＋b=1，4a＋b=10.a=3，b=-2.解这个方程组，得把代入①，得a=3，b=-2c=-5,a=3，b=-2，c=-5.因此知识点2

三元一次方程组的解法例2

幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A，B，C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A，B，C分别所含的铁、钙和维生素的量.（单位）你能计算出配餐中三种食物的份数吗？食物铁钙维生素A5205B51015C10105

分析：(1)如果设食谱中A，B，C三种食物各为x，y，z份，请列出方程组，使得A，B，C三种食物中所含的营养量刚好满足婴儿营养标准中的要求.（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，C的份数.知识点3

三元一次方程组的应用食物铁钙维生素A5205B51015C10105

例2

幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A，B，C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A，B，C分别所含的铁、钙和维生素的量.（单位）你能计算出配餐中三种食物的份数吗？知识点3

三元一次方程组的应用变式练习

已知小明与爸爸、妈妈的年龄之和为108岁，爸爸比妈妈大2岁，小明与妈妈的年龄之和比爸爸大12岁.它们的年龄分别是多少？(1)本题中有几个等量关系？请你分别表示出来.爸爸的年龄+妈妈的年龄+小明的年龄=108岁；爸爸的年龄-2=妈妈的年龄；小明的年龄+妈妈的年龄=爸爸的年龄+12.知识点3

三元一次方程组的应用(2)如果设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小明的年龄是z岁，请列出方程组并解这个方程组.解这个方程组，得答：爸爸的年龄为48岁，妈妈的年龄为46岁，小明的年龄是14岁.解:根据题意，得知识点3

三元一次方程组的应用1.下列方程组中，是三元一次方程组的是()A.B.C.D.D2.解方程组时，最好先消去()BA.xB.yC.zD.都可以3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（）A.2B.3C.4D.5D4.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组解得解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.

由题意，得解得

答：原三位数是368.

三元一次方程组概念解法含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组.通过消元，将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，通过求一元一次方程的解，进而求得二元一次方程组的解，最后求得三元一次方程组的解.第七章相交线与平行线七下数学JJ7.1

命题课时11.了解命题、真命题和假命题的定义,结合具体实例，能区分命题的条件与结论.2.了解反例的作用,知道利用反例可以说明一个命题是假命题.

比较下列语句，想一想它们之间有什么共同点？(1)如果x=1是方程

x+3=m的解，那么

m=4.(2)两个锐角之和是钝角.(3)同角的余角相等.(4)两个负数，绝对值大的反而小.(5)负数与负数的差仍是负数.(6)负数的奇次幂是负数.都是对一件事情作出判断的句子.能够进行肯定或者否定判断的语句，叫作命题.例1 判断下列语句是不是命题.(1)画线段AB=2cm；(2)你喜欢画画吗?(3)分数一定是有理数；(4)同角的补角相等；(5)两个锐角互余.不是.不是.是.是.是.易错提示：一个词语、疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题.

知识点1

命题的相关概念观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同特征？1.如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1.2.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等.3.如果两个角的和等于180°，那么这两个角互补.4.如果|a|=1,那么a=1.

知识点1

命题的相关概念

知识点1

命题的相关概念一般地，命题是由条件和结论两部分组成.条件：是已知事项；结论：是由已知事项推出的事项.

数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，

“如果”引出的部分是_____，“那么”引出的部分是_____.条件结论（1）如果AC=BC，那么C是线段AB的中点.条件结论如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.（2）同角的余角相等.条件结论例2

指出下列命题中的条件和结论.

知识点1

命题的相关概念命题的题设和结论不明显，怎么办？（1）正方形的对边相等.（2）连接A，B两点.（3）相等的两个角是锐角.（4）已知∠ABC=40°，∠ABD=50°，则∠CBD=90°.（5）同角的补角相等.做一做下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请你先将它改写为“如果······那么······”的形式，再指出命题的条件和结论.是是是

知识点1

命题的相关概念是不是（1）正方形的对边相等.如果一个四边形是正方形，那么它的对边相等.条件：一个四边形是正方形，结论：它的对边相等.（3）相等的两个角是锐角.如果两个角相等，那么这两个角是锐角.条件：两个角相等，结论：这两个角是锐角.

知识点1

命题的相关概念（5）同角的补角相等.如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.条件：两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等.（4）已知∠ABC=40°，∠ABD=50°，则∠CBD=90°.如果∠ABC=40°，∠ABD=50°，那么∠CBD=90°.条件：∠ABC=40°，∠ABD=50°，结论：∠CBD=90°.

知识点1

命题的相关概念（1）正方形的对边相等.（2）连接A，B两点.（3）相等的两个角是锐角.（4）已知∠ABC=40°，∠ABD=50°，则∠CBD=90°.（5）同角的补角相等.做一做下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请你将先将它改写为“如果······那么······”的形式，再指出命题的条件和结论.是是是是

知识点2

真命题、假命题、反例上面的语句中，（1）（3）（4）（5）是命题，且（1）（5）是正确的命题.我们把正确