北京市朝阳区2017-2018学年高一上学期期末质量检测数学试题

北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测高一年级数学学科试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得：,结合交集的定义可得：，，结合选项可知，只有选项A是正确的.本题选择A选项.2.已知平面向量，，且∥，则=A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意结合平面向量平行的充要条件可得：.本题选择B选项.3.已知，，且，则A.B.C.D.【答案】C【解析】结合题意和反比例函数的单调性可知：，选项A说法错误；若，则，选项B错误；若，则，选项D错误；结合题意和指数函数的单调性可知：，选项C说法正确；本题选择C选项.4.函数的零点所在的区间为A.B.C.D.【答案】B【解析】结合函数的解析式有：，，且函数的函数图象在区间上具有连续性，据此结合函数零点存在定理可得函数的零点所在的区间为.本题选择B选项.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.5.设奇函数的定义域为，且，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是A.B.C.D.【答案】C【解析】求解不等式可得，结合奇函数的性质补全函数图象如图所示，观察可得，不等式的解集为：.本题选择C选项.6.在△中，若，则△的形状为A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】D【解析】由题意可得：,即：,整理可得：，则向量与的夹角为钝角，即，据此可知：则△的形状为钝角三角形.本题选择D选项.点睛：处理两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．7.将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则A.，的最小值为B.，的最小值为C.，的最小值为D.，的最小值为【答案】B【解析】由题意可知，为函数最高点横坐标，则：，据此可得：，函数，则将函数的图象向右平移个单位即可的函数的图象，即的最小值为.本题选择B选项.8.定义域为的函数，满足，若函数与图象的交点为（），将每一个交点的横、纵坐标之和记为（），则A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得：，则函数关于坐标原点对称，函数关于点对称；而函数的图象也关于点对称，结合函数的定义域可得两函数图象交点的个数为偶数个，不妨假设这些点的坐标为：，其中其中关于点对称，则：，据此可得：.本题选择A选项.点睛：如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知，，则____,____.【答案】(1).(2).【解析】由题意结合同角三角函数基本关系可得：，.10.已知函数则___；若，则___.【答案】(1).2(2).【解析】(1)由分段函数的解析式可得：；(2)当时，，不合题意，舍去；当时，，综上可得，若，则.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．11.已知平面向量a，b的夹角为60°，，，则__；=___.【答案】(1).1(2).2【解析】由题意可得：，则：，.12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若角α的终边经过点，则____.【答案】【解析】由题意可知的终边过点，的终边过点，由三角函数的定义有：，13.已知函数（），（1）若，则函数的零点是____；（2）若存在实数，使函数有两个不同的零点，则的取值范围是____.【答案】(1).0(2).【解析】(1)当时，，分类讨论：当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意，综上可得，函数的零点是.(2)原问题等价于函数在上单调，在同一个平面直角坐标系中绘制函数和的图象，观察可得：当时，二次函数部分不单调，满足题意，当时，函数在定义域内单调递增，不合题意，当时，，这使得函数不单调，满足题意，综上可得：的取值范围是.14.对任意两个非零的平面向量，定义一种运算“”为：．若平面向量的夹角，且和的值均为集合中的元素，则__.【答案】2【解析】由题中的新定义有：，，两式相乘可得：，不妨假设，则，且，由平面向量的夹角可得：，即，据此可得：，则：.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.函数的定义域为，关于的不等式的解集为.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，试求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)函数有意义，则真数大于零，被开方数不小于零，分母不等于零，据此求解不等式组可得(Ⅱ)求解二次不等式可得结合可知据此得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域满足：则集合（Ⅱ）解不等式可得.解得若则所以解得：则的取值范围是.16.已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)整理函数的解析式有.据此可得函数的最小正周期为，函数的单调递减区间为，；(Ⅱ)结合函数的定义域有：．则时，函数有最大值．当时，函数有最小值试题解析：（Ⅰ）.所以函数的最小正周期为.令得，.所以函数的单调减区间为，．（Ⅱ）因为，所以．所以当，即时，函数有最大值．当即时，函数有最小值17.已知二次函数的图象经过四个点中的三个.（Ⅰ）求函数的解析式，并求的最小值；（Ⅱ）求证：存在常数，使得当实数满足时，总有.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得的图象经过三点.利用待定系数法可得函数的解析式.则的最小值为.试题解析：（Ⅰ）解：因为横坐标相同，所以函数图象不能同时经过两点；因为纵坐标相同，所以二次函数图象不能同时经过三点，所以的图象经过三点.设（）.将三点坐标代入，可以解得.所以.的最小值为.（Ⅱ）证明：因为，所以.，又，所以，成立，当且仅当即.所以存在实数，使得当实数满足时，总有.18.函数的定义域为，如果存在实数，使得对任意满足且的恒成立，则称为广义奇函数.（Ⅰ）设函数，试判断是否为广义奇函数，并说明理由；（Ⅱ）设函数，其中常数，证明是广义奇函数，并写出的值；（Ⅲ）若是定义在上的广义奇函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？若是，求出的一个周期，若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）是广义奇函数（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)是广义奇函数.理由如下：满足题意时只需证明存在实数，使得对任意恒成立.转化为对任意恒成立,据此可得存在，使得是广义奇函数.(Ⅱ)由题意结合广义奇函数的定义可得，时，是广义奇函数.则，据此可得原式.(Ⅲ)由题意可得，恒成立.则：..故恒成立.把用代换得据此可得分类讨论有：当时，是函数的一个周期.当时，对恒成立.则题中的结论成立.试题解析：（Ⅰ）是广义奇函数.理由如下：的定义域为，只需证明存在实数，使得对任意恒成立.由，得，即.所以对任意恒成立,即从而存在，使对任意恒成立.所以是广义奇函数.（Ⅱ）记的定义域为，只需证明存在实数，使得当且时，恒成立，即恒成立.所以，化简得，.所以,.因为，可得，,即存在实数，满足条件，从而是广义奇函数.由以上证明可知，是广义奇函数，对，有，即，故（Ⅲ）因为是定义在上的广义奇函数，且函数的图象关于直线对称，所以有，恒成