2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版）08 一次函数与几何综合的五种考法（解析版）

专题08一次函数与几何综合的五种考法

类型一、等腰三角形存在性问题

4

例.如图，直线y=§x+8和直线），=履+〃都经过4轴负半轴上一点8,分别与y轴的交点

分别为A、C,且O8=2OC.

⑴求直线CB的解析式；

（2）点E在x轴上，.ABE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标.

【答案］⑴》=1+3

（2）（4,0）、（—16,0）、（6,0）、（2,0）.

3

4

【分析】（1）根据直线），=§x+8可求出与x轴交点4（d，0）,由O8=2OC可求出点点C坐

标为（。，3）,由待定系数法即可求出直线C8的解析式.

（2）先根据A、3两点的坐标求出AB=10,然后等腰三角形的腰长分类讨论：当

A8=8E=10时，当AB=AE=10时,当£4=旗时,分别求出点E坐标.

4

【详解】⑴解：当），=二工+8=0时，x=-6,

即点8坐标为：（F0）,03=6,

团O8=2OC,

0OC=3,

团即点C坐标为：（0,3）,

回设直线C8解析式为丁="+"得:

[-6k+h=0

b=3，解得：2,

b=3

团直线CB解析式为y=1x+3.

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（2）同直线y=§x+8交）'轴于点A,

团点A坐标为（。,8）,

乂回点3坐标为（-6,0）,

当8E=A8=10时，骂点的坐标为（4,0）,马点的坐标为（T6,0）：

当石时，点3与点E是关于V轴对称，4点的坐标为（60）,

当£4=硕时，设点E坐标为（尤0）,

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则*2+8?=*+6）2,解得：x=-

七点的坐标为g.o），

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综上所述，点E的坐标为（4,0）、（-16,0）、（6,0）、（p0）.

【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的

坐标特征，等腰三角形的判定，难点在第三问，分类讨论思想的运用是解题的关犍.

【变式训练1】如图，直线丁=工+4与K轴、y轴分别交于点A、点8,点户是射线8。上的

动点，过点8作直线AP的垂线交工轴于点。，垂足为点C,连接OC.

⑴当点P在线段80上时，

①求证：ZXA。叫△B。。：

②若点P为80的中点，求△OC。的面积.

⑵在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△。。。成为等腰三角形？若存在，求点P

的坐标；若不存在，请说明理山.

io

【答案】⑴①见解析；@y

（2）P（0,4夜-4）或P（0,-4x/2-4）.

【分析】（1）①根据一次函数解析式得出。8=4,。4=4,根据垂直关系以及等角的余角相

等，得出NOAP=NO3Q,进而证明800（ASA）；

②由①知：^AOP^^BOQ,则Q（2,0）,直线AP的解析式为：y=^x+2,同理可得：

y=­x+2412

直线8Q的解析式为：），=-21+4,联立“2得*Cq,彳），进而根据三角形面积公

y=-2x+455

式即可求解；

（2）分当点P在线段0B上时，当点尸在3。的延长线上时，根据等腰..角形的定义，即可

求解.

【详解】⑴①证明：当x=0时，），=4,

.•.08=4,

当y=o时，x+4=0,

:.x=-4t

：.OA=4,

:.OA=OB,

NBOQ=90。，

NO3Q+NOQ3=90。,

BC1AC,

/.Z4C（?=90°,

NO4P+NOQB=90°,

ZOAP=NOBQ,

ZAOP=ZBOQ=90°t

.•…A02.A0Q（ASA）；

②解：OB=4,点P是OB的中点，

：.OP=BP=；OB=2,

由①知：△AOg43O0,

/.OQ=OP=2,

.*.0（2,0）,

设直线A尸的解析式为：y=K+b,

b=2

4+b=0

1今

y=—x+2,

同理可得：直线3Q的解析式为：y=-2x+4,

1-

由尸5K2得，

y=-2x+4

4

。1八八1c1212

「・S=—0Q,y=—x2x—=—；

8Q2r255

当点P在线段。8上时，

若OC=OQ,由于OP=OQ,则有OC=OP,

在△OCP中，ZOPC=Z4OP+ZOAP=90。+NQ4P是钝角,

/.OC>OP，

即OC=。。不可能；

若CQ=OQ,由于OP=OQ,则有CQ=OP,

过点C作C”_Lx釉于点从