函数导数及其应用知识点易考点考向总结分析,函数导数及其应用高考真题及解析

考点04函数及其表示

(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表

示函数.

(3)了解简单的分段函数，并能简单应用.

L知识整合

一、函数的概念

1.函数与映射的相关概念

(1)函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设48是两个非空数集设/、8是两个非空集合

A.B

按照某种确定的对应关系/,使对于集按某一个确定的对应关系/,使对于集

对应关系合力中的任意一个数x,在集合B中合N中的任意一个元素x,在集合8中

都有唯一确定的数/(X)和它对应都有唯一确定的元素v与之对应

称力为从集合4到集合8的一称/：4-8为从集合A到集合B的一个

名称

个函数映射

记法y=/(x)，x^A

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定

义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.

(2)函数的定义域、值域

在函数y=/(x),xCA中，x叫做自变量，x的取值范围/叫做函数的定义域，与x的

值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合"(x)|xG4｝叫做函数的值域.

(3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

(4)函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

2.必记结论

(1)相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等.

①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个

函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数.

②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：;(x)=2xT,g(f)=2Ll,

h(m)=2m-l均表示相等函数.

(2)映射的个数

若集合4中有机个元素，集合8中有〃个元素，则从集合4到集合8的映射共有〃

个.

二、函数的三要素

1.函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的

要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)y=x°的定义域是3存0}.

(5)》=0，伍＞0且a#l),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.

伊卜二卜却伍〉。且存1)的定义域为(0,+oo).

7T

(7»=tanx的定义域为{x|xW后兀+万,左£Z}.

2.函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y=危)的形式，可根据题目的条件转

化为该形式.

(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求

出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

3.函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：

(1)一次函数了=丘+/左为常数且厚0)的值域为R

(2)反比例函数夕=&e为常数且厚0)的值域为(-8,0)U(0,+oo).

X

(3)二次函数y=ox2+bx+c(a,b,c为常数且存0),

4QC—b~

当心0时、二次函数的值域为［,+8)；

4a

4cic—h2

当。＜0时，二次函数的值域为(—8

4a

求二次函数的值域时，应掌握配方法：y=ax2+bx+c=a(x+—y+4a-~b--.

2a4a

(4»=sinx的值域为［-1,1］.

三、分段函数

1.分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则

这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

2.必记结论

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

点考向,

考向一求函数的定义域

在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大.

1.求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)抽象函数：

①若已知函数人x)的定义域为可，则复合函数Xg(x))的定义域由“在a)Wb求出.

②若已知函数｛g(x))的定义域为口，b],则人x)的定义域为蛉)在xC[a,句时的值域.

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求.

2.求函数定义域的注意点

(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化.

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各

个基本初等函数定义域的交集.

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该

用并集符号“U”连接.

典例引领

典例1函数=J4Txl+lg广—5'+6的定义域为

x—3

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

【答案】c

4-|x|>0

2

【解析】由函数y=/(x)的表达式可知，函数/(x)的定义域应满足条件：\X-5X+6

----------->0

.x-3

-4<x<4

解之得«~~,即函数/'(X)的定义域为(2,3)U(3,4],故应选C.

【名师点睛】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.求函

数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它

们的解集即可.

变式拓展

+44"的定义域为

1.函数/(x)=2'

x

A.[-2,2]B.(―2,0)U(0,2)

C.(一8,-2]11[2,+8)D.[-2,0)U(0,2]

典例引领

/\

典例2若函数/(x+1)的定义域是[一1,1],则函数/log,x的定义域为.

\27

【答案】-,1

14」

【解析】•••/(X+1)的定义域是[-1,1],二/(》)的定义域是[0,2],则/log,%的定义

V2J

域为满足不等式OKlogix42的x的取值范围，.•.,〈xWl,故答案为-,1.

24[4

【名师点睛】根据“若已知函数/(x)的定义域为[。，句，则复合函数”g(x))的定义域由a<g(x)<b

求出.若已知函数_/(g(x))的定义域为[a,b],则兀v)的定义域为g(x)在xd口，〃时的值域”来

解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.

变式拓展

则,11)+.'的定义域为

2.设函数=

B.[2,4]

C.[1,-KO)D.

考向二求函数的值域

求函数值域的基本方法

1.观察法：

通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”

和“最低点”，观察求得函数的值域.

2.利用常见函数的值域：

一次函数的值域为R；反比例函数的值域为®|yw0｝；指数函数的值域为(0,+8)；对

数函数的值域为R；正、余弦函数的值域为正切函数的值域为R.

3.分离常数法：

将形如y=邦)的函数分离常数，变形过程为：

ax+h

c(44,be,he

cx+d_：("+)+*，再结合工的取值范围确定了的取值范

——十

ax+bax+baax+hax+b

围，从而确定函数的值域.

4.换元法：

对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关

方法求值域.如：函数/(x)=ax+b+Jcx+a(ac1O),可以令f=Jcx+d(f20),

t2-d

得到x=----,函数/(x)=ax

c

+h+y/cx+d(ac丰0)可以化为y=~d)+t+b(仑0),接下来求解关于，的二次函

c

数的值域问题，求解过程中要注意f的取值范围的限制.

5.配方法：

对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用

求二次函数的值域的方法求函数的值域.

6.数形结合法：

作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域.

7.单调性法：

函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求

函数的最值和值域.

8.基本不等式法：

利用基本不等式a+bN2J茄(“>0,6>0)求最值.

若“和定”，贝犷积最大”，即已知a+b=s,则abW("2)2=:，成有最大值三，当a

244

=6时取等号；若“积定”，贝I“和最小”，即已知a6=f,则a+茄=2〃，a+b

有最小值2”，当。=6时取等号.应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.

9.判别式法：

将函数转化为二次方程：若函数y=/(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程

a(y)x2+b(y)x+c(»=0,则在a(y)^O时，由于为实数，故必须有/=〃&)—4a(y>c(y巨0,

由此确定函数的值域.

利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、"无理''函数等，使用此法要特别

注意自变量的取值范围.

10.有界性法：

充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.

11.导数法：

利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域：另

一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.

典例引领

典例3求下列函数的值域：

(1)y=x2-4x+3,xe[-l,l]；

(2)y=x-Vl-2x；

x2

⑶y=—(x>l).

x-l

【答案】⑴[0,8]：(2)(-oo,1];(3)[4,+oo).

【解析】(1)y=x2—4x+3=(x—2)2—1,

V-1<X<1.A-3<x-2<-l,r.l<(x-2)2<9,贝l」0W(x-2)2-lw8.

故函数y=--4x+3,xe的值域为[0,8].

(2)4x)的定义域为(-co,l],

2

I-----1—/11

令/=Jl—2x,X=-y-«N0),得丁=一城9—+]，

故”(—8,；].

(3)y=三一=S-D+2(土-1)+1=x_i+J+224.当且仅当x=2时"=”成立.

X—1X—1X—1

V2、

故y=三-(x>1)的值域为［4,+8).

x-l

变式拓展

3.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子'’的称号，用其名字命

名的“高斯函数”为:设XGR,用［x］表示不超过x的最大整数，则歹=卜］称为高斯函数,

例如:［一2.1］=—3,［3.1］=3,已知函数/(力=为白，则函数y=［/(x)］的值域为

A.B.{051}

C.{0,1,2}D.{0,1,2,3)

考向三求函数的解析式

求函数解析式常用的方法

1.换元法：

已知复合函数/(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

2.配凑法:

由已知条件Xg(x))=尸(x),可将尸(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),便得

«r)的表达式；

3.待定系数法：

若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

4.方程组法：

已知关于{x)与/(,)或人一x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方

X

程组，通过解方程求出於).

典例引领

典例4已知f(G+1)=x+2五，则/(x)

A.—l(x>1)B.x?—1

C.x2+l(x>1)D.x2+1

【答案】A

【解析】方法一(配凑法)：/(4+l)=x+2«=x+26+1-1=(4+1>-1,又

Vx+1>1,

所以/(x)=x2-l(x>l).

方法二(换元法)：令，=、&+1,则X=(Z-l)2,f>l,所以

/(/)=(Z-1)2+2(z-1)=Z2-1(Z>1),所以/(x)=x2_1(x21).

【名师点睛】在方法二中，用/替换后，要注意/的取值范围为，21,如果忽略了这一点，

在求/(X)时就会出错.

变式拓展

4.若一次函数/(x)满足/(/(x))=x+4,则/(-1)=.

考向四分段函数

分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量

大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、

解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题.分段函数问题的

常见类型及解题策略：

1.求函数值：

弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套''的函数值，要从最内层逐层

往外计算.

2.求函数最值：

分别求出每个区间上的最值，然后比较大小.

3.求参数：

“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式.

4.解不等式：

根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的

大前提.

5.求奇偶性、周期性：

利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.

典例引领

[2x,x>044

典例5已知/(x)=则/()+/()等于

l/(x+l),x<033

A.—2B.4

C.2D.-4

【答案】B

【解析】••"(卞=$/(—$=/(T=/0\，"§)+/(—)=4做选B.

【名师点睛】分段函数的应用：

设分段函数/(x)=y'.

f2(x),x&I2

⑴已知刈，求心o)：

①判断xo的范围，即看xo£/i，还是配£，2；

②代入相应解析式求解.

(2)已知於0)=4,求X0：

①当XoW/]时，由力(枇)=〃，求X0；

②验证X0是否属于力，若是则留下，反之则舍去;

③当Xo£/2时，由力(xo)=4，求M)，判断是否属于/2，方法同上;

④写出结论.

(3)解不等式

XELxel2

a

f2M>

变式拓展

12x-l,x>0

5已知函数/⑴=x+3K。'若/⑷+.=。，则实数。的值为

A.-4B.-1或2

C.1D.-3或1

典例引领

Q~xX<0

典例6已知函数/(x)=(；一，若/(a—1"/(—a),则实数a的取值范

-x-2x+l,x>0

围是

(H「1)

A.—00—B.—,+oo

I2」[2)

C.0,—D.一,1

_2」12.

【答案】A

【解析】函数/(x)=eT=(1厂在(-oo,0]上为减函数，函数y=—2x+l的图象开口

e

向下，对称轴为x=-l,所以函数/(x)=-x2-2x+l在区间(0,+oo)上为减函数，且

e«=-02-2x0+1.

所以函数/(x)在(f。,+oo)上为减函数.由/(a—1)2/(—a)得a—14—a,解得

故选A.

{e'xx<0

【思路点拨】判断分段函数—=1"两段的单调性，当x<0时，

[-x2-2x+l,x>0

/(力=尸=(，)、为指数函数，可判断函数/(力=0=(1)、在(-oo,0]上为减函数；第二

ee

段函数y=———2x+l的图象开口向下，对称轴为x=-l,可得函数/(X)=—X2—2X+1

在区间(0,+8)上为减函数.x=0时，两段函数值相等.进而得函数/(x)在(-00,+0。)上为

减函数.根据单调性将不等式-1)2/(—。)变为a—1W。，从而解得即可

【名师点睛】(1)分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的

大小；

(2)抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“/"，转化成解不等式，要注意函数定义

域的运用.

变式拓展

3(》<1)

6.已知函数=<]z则不等式B/(x)+x-2W0的解集是

、学点冲关充

1.已知集合4={x|y=J(l-x)(x+3)},5={x|log2x<1},则=

A.{x|-3<x<1}B.1x|0<x<1|

C.{x|-3<x<2}D.{x|x<2}

x

2'\x<4若/S)=：，则。=

2.设函数/(x)=<

-log2(x+l),x>4o

1,

A1B

--巫-1

i1I

C.3D.1或彳7=-1

3.函数/(co&r)=cos2x,那么/的值为

A.1B.也

22

1

cD6

22

4.若函数y=*x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=/90的定义域是

1m:

A.[0,1]B.[0,1)

C.[O,l)u(l,4]D.(0,1)

5.设下列函数的定义域为(0,+8),则值域为(0,+8)的函数是

A.y=ex-xB.y=e'+Inx

C.y=x-y/xD.y=ln(x+l)

6.已知函数/(x)满足+=则/(一2)=

79

A.一一B.-

22

79

C.-D.一一

22

A

e,x<Q.

7.设函数/(')=12则下列结论中正确的是

x-x+a,x>a.

A.对任意实数。，函数/(x)的最小值为a-工

4

B.对任意实数a,函数/(x)的最小值都不是a-2

4

C.当且仅当aW；时，函数/(x)的最小值为

D.当且仅当。时，函数/(x)的最小值为a

44

8.函数/(x)=乂=更的定义域为.

2—2

9.己知函数/(x)=ax-b(a〉0),/(/(x))=4x-3,则/(2)=.

{%12X<0

10.设函数/(x)={J'则使得/(x)>/(-X)成立的X的取值范围是__________.

[y/x,x>0,

直通高考/

1.(2019年高考全国n卷文数)设/)为奇函数，且当xK)时，危尸e'-l,则当x<0时,

/(x)=

A.尸一1B.ell

C.-e-JC-1D.-e-A+1

2.（2018年高考新课标I卷文科）设函数/（x）=1'r一<o，则满足了（》+1）</'（2工）的

1,x>0

X的取值范围是

A.（-co,-1jB.（0,+8）

C.（-1，0）D.（-8,0）

3.（2017年高考山东卷文科）设/•（x）=[£n，若/（a）=/（a+l）jij/f-K

[2（x-l）,x>l\a）

A.2B.4

C.6D.8

|x|+2,x<l,

2设acR,若关于x的不等

x-\--,x>1.

）X

Y

式/（乃^^+刈在R上恒成立，则。的取值范围是

A.[-2,2]B.[-273,2]

C.[-2,273]D.[-273,273]

5.（2018年高考江苏卷）函数/（x）=Jbg2》-1的定义域为.

6.（2018年高考新课标I卷文科）已知函数/（x）=log2（x2+a）,若/（3）=1,则

x-4,x>A

7.（2018年高考浙江卷）已知人WR,函数於尸4,,当2=2时，不等式大幻〈0

x-4x+3,x<Z

的解集是.若函数人工）恰有2个零点，贝版的取值范围是.

JC2।।ci_2x0

8.（2018年高考天津卷文科）已知aWR,函数=1~一'若对任意x

-x~+2x—2Q,x>0.

G[-3,+00）,恒成立，则a的取值范围是.

9.（2018年高考江苏卷）函数满足/（X+4）=〃X）（XGR）,且在区间（-2,2]上,

TUC

cos—,0<x<2,

/(x)=,则/(/(15))的值为.

XH----，-2<x<0,

2

10.(2017年高考江苏卷)记函数〃》)=而二7的定义域为。.在区间[-4,5]上随机取

一个数x,则xe。的概率是.

11.(2017年高考江苏卷)函数尸bzx-X2的定义域是-

12.(2017年高考新课标III卷文科)设函数/(x)=[x+Lx'°,则满足〃x)+/(x-L)>l

[2X,x>02

的x的取值范围是.

13.(2019年高考江苏)函数y=j7+6x-f的定义域是—

变式拓展

1.【答案】D

4-x2>0

【解析】由题意可知，自变量x满足，故-2WxW2且XHO,

xwO

故函数的定义域为[―2,0)U(0,2],故选D.

【名师点睛】解答本题时，列出自变量满足的不等组，它的解集即为函数的定义域.函数

的定义域一般从以下几个方面考虑：

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次根号标(neN,,M>2,〃为偶数)中，«>0；

(3)零的零次方没有意义；

(4)对数的真数大于零，底数大于零且不为1.

2.【答案】B

【解析】由题意，函数/卜)=1斤满足x-l?0,即X21,

所以函数+满足且解得2WXW4,

即函数/(£!+/1)

的定义域为［2,4］,

故选B.

【名师点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域

的概念，合理列出不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.解

X

答本题时，由函数/(x)=dF解得xNl,再由函数/,得到一21且

2

4

->1,即可求解.

x

3.【答案】C

【解析】/(X)的定义域为R,

*川+1)+；15.1

2'+3

/(》)=

1+2川1+2'+1221+2V+1

>。,所以。《占弓

因为2川

所以/(x)的值域为(53),所以、="(耳］的值域为{0,1,2},

故选C.

【名师点睛】解答本题时，先求/(尤)的值域，再根据高斯函数的定义求y=［/(x)］的

值域.函数值域的求法，大致有两类基本的方法：

(1)利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函

数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子(或分母)有理化等.

(2)利用导数讨论函数的性质，从而得到函数的值域.

4.【答案】1

【解析】因为/(尤)是一次函数，故可设/(》)=履+6,

则/(/(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k?x+kb+b=x+4,

k~—1k=l

所以《,解得

kb+b=4b=2'

所以/(x)=x+2,

所以/(-1)=L

故答案为1.

【名师点睛】本题考查了函数解析式的求法，在已知函数名称时常采用待定系数法求解.

解答本题时，先用待定系数法求出一次函数/(x)的解析式，然后代入求出/(一1).

5.【答案】A

2*T,X>0°

【解析】因为函数/(》)=，所以/(1)=2。=1,

x+3,x<0

因为/(0+/(1)=0,所以可得/(0=-1,

因为y=2i在R上的函数值恒大于0,

故/(a)=a+3=—1,即a=-4.

故选A.

【名师点睛】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查方程思想和运算能力，属于基

础题.解答本题时.，由分段函数求得了(I),结合指数函数的值域和方程思想，可得”的

值.

6.【答案】｛x|—LX」｝

1

x<-…？

【解析】由题意可得J2或J：c或〈2,

3x~+x—2,,0x2'—Fx-2,,0T,X.-X,1

.x3i

r.-Lx<g或x,1,即解集为*|一1,x,1｝.

【名师点睛】本题考查的知识点是分段函数，一元二次不等式的解法，一元一次不等式

的解法，而根据分段函数分段处理的原则，对不等式x2y(x)+x-2W0,分为和

x两种情况进行讨论，然后给出两种情况中解集的并集，即可得到答案.

2

考点冲关

1.【答案】B

【解析】由二次根式有意义的条件可得(1—x)(x+3)20,解得—3Wx<l,

所以A=[x\y=J(l-x)(x+3)}={x|-3<x<1}.

由对数函数的性质可得logzXKlogz2,解得0<xW2,

所以8={x|log2X«l}={x|0<x<2},

所以4[18={x[0<x〈l}.

故选B.

【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系

时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合4且属于集

合8的元素的集合.解答本题时，根据函数的定义域化简集合4,利用对数函数的单调性

化简集合8,由交集的定义可得结果.

2.【答案】A

【解析】当时，2°-4=-=2-3,a—4=一3,得a=l,

8

当a〉4时，—log2(a+l)=；,得a=2l_r这与a>4矛盾，故此种情况下无解，

由上知a=1,故选A.

【名师点睛】该题考查的是分段函数中已知函数值求自变量的问题，在解题的过程中，

需要时刻关注自变量的取值范围，在明显感觉解是不符合要求时可以不解确切值，只说

无解即可.

3.【答案】C

【解析】由题意，函数了(cosx)=cos2x,令》=三，则

故选C.

【名师点睛】本题主要考查了函数值的求解，以及特殊角的三角函数值的应用，其中解

答中合理赋值，根据特殊角的三角函数求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力,

兀

属于基础题.解答本题时，根据函数的解析式，令％=—即可求解.

3

4.【答案】D

【解析】的定义域为［0,2］,...要使寅2x)有意义，必有0W2烂2,.•.0WE1,

f0<x<l

，要使g(x)有意义，应有<n,A0<x<l,

JnxH0

故选D.

5.【答案】D

【解析】由题，对于A,y=ev-l(x>0),在(0,+8)上，y>0,所以函数〉=/一、

单调递增，其值域为(1,七》)，排除A：

对于B,函数y=e*+lnx,为增函数，且当》一>0,111》3—8,6*-1,:.丁3—00,排

除B；

对于c,函数歹=x-4可以看作关于五的二次函数，即y=(J，)？—4,易得值域为

一;,+8),排除C,

故选D.

【名师点睛】本题考查了函数的定义域和值域问题，熟悉导函数、基本初等函数的性质

是解题的关键，属于较为基础题.解答本题时，利用导函数，基本初等函数的值域，分别

对A、B、C选项进行分析，可得答案.

6.【答案】C

［解析］由X)=2x⑴,可得/(一=--(2),

217

将⑴xx+⑵得:2/(-x)=2x2--=>/(-%)=x2—f(-2)=—,

故选C.

7.【答案】D

【解析】因为/(外=『2""”’

lx-x+a,x>a.

所以，当时，/(x)=e”单调递增，此时0</(x)<e"；

c01.1

当x>a时，f(x)=x-x+a=(x--)+a-a;

11,1"、e\x<a,

(1)若4>；,则/'(')=(N一32+。一上>0,此时/口)=4，'的值域

4241x—x+a,x>a

为(0,+8),无最小值：

11er.x<a.

(2)若。4一，则/(力僦=。一;<0,此时/(X)=〈2的值域为

44[x-x+a,x>a

[«-—,+oo),此时，最小值为a-』.

44

故选D.

【名师点睛】本题主要考查分段函数，求分段函数的最值问题，灵活运用分类讨论的思

想即可求解，属于常考题型.解答本题时，分别讨论aW,、a>,两种情况，即可得出

44

结果.

8.【答案】(0,l)U(l,e]

x>0x>0

【解析】依题意得<1—lnxZO,得<0<x4e,即函数的定义为(O,l)U(l,e].

T-2^0x¥l

I

【名师点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，解答本题时，利用偶次方根被开方数

为非负数、对数真数大于零和分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义

域.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：第一个是分数的分母不能为零，第二个是

偶次方根的被开方数为非负数，第三个是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数

不能为零,属于基础题.

9.【答案】3

a2=4

【解析】由题意，得/(/(x))=a(ax-b)-b=a2x-ab-b=4x-3,即<一。6—6=-3,

a>0

a=2/、/、

解得,,,即/(工)=2*_1,/(2)=3.故填3.

b=1

10.【答案】

x<0x>0

【解析】由/(x)>/(-x),得<x2>戈［Vx>(-x)2,得x<-l或0<x<l,

即X的取值范围是(一。。,一1)U(O,1),故答案为(―8,—l)U(O,l).

【名师点睛】本题主要考查分段函数的解析式、由分段函数解不等式，属于中档题.对

于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维

能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.

直通高考

1.【答案】D

【解析】由题意知/(X)是奇函数，且当它0时，Hx尸e'-l，

则当x<0时，-X>0,则/(-%)=e-X

得了(xh—e-'+l.

故选D.

【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养.采

取代换法，利用转化与化归的思想解题.

2.【答案】D

【解析】将函数/(x)的图象画出来,

2x<0

观察图象可知会有〈.i,解得x<0,

2x<x+1

所以满足/(x+l)</(2x)的x的取值范围是(一8,0),故选D.

【思路分析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现:

八/\、|2x<0

若有/(x+l)</(2x)成立，一定会有1，从而求得结果.

【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关

的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要

出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大

小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.

3.【答案】C

【解析】由xNl时/(x)=2(x—l)是增函数可知，若°21,则/(。)//(。+1),所以

0<a<1,由/(«)=/(a+1)得C=2(a+1-1)，解得a=；，则

/［：)=/(4)=2(4-1)=6,故选C.

【名师点睛】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入

求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每

一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变

量的值或取值范围.

4.【答案】A

【解析】当。=±2百，且x=0时，/(x)N|］+a|即22|±2百|,即2226，显然

上式不成立，由此可排除选项B、C、D,故选A.

【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x的两种不同情况进行

讨论，针对每种情况根据x的范围，利用极端原理，求出对应的a的取值范围.本题具

有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解

题时能够节省不少时间.当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解.

5.【答案】［2,+oo)

【解析】要使函数/(X)有意义，则需log?》—120,解得x»2,即函数/(X)的定义

域为［2,+8).

【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题.求解本题时，根

据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

6.【答案】一7

【解析】根据题意有/(3)=唾2(9+。)=1,可得9+。=2,所以。=—7,故答案是—7.

【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值

的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础

题目.

7.【答案】(1,4)(l,3]U(4,+oo)

x>2[x<2

【解析】由题意得《，八或《,，所以2«x<4或l<x<2,即

[x-4<0[X2-4X+3<0