【易错专训】03 正方形的性质与判定（解析版）

【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年九年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错03正方形的性质与判定【易错1例题】正方形的性质1．（2021·河北八年级期末）正方形有而矩形不一定有的性质是（）A．四个角都是直角 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【答案】D【分析】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；B、正方形和矩形的对角线相等，故本选项错误；C、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项错误；D、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，熟记性质并正确区分是解题的关键．【易错2例题】正方形的判定2．（2021·上海八年级期末）下列命题中正确的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形B．一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形是正方形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形【答案】D【分析】利用正方形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【详解】解：A、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，原命题错误；

B、一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形可能是直角梯形，不一定是正方形，原命题错误；

C、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题错误；

D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题正确；

故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．【专题训练】选择题1．（2021·湖北八年级期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角相等【答案】C【分析】根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论．【详解】解：正方形和矩形都是特殊的平行四边形，所以具有平行四边形所有的性质，即对边相等，对角相等，对角线互相平分，正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线只是相等不垂直．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形、正方形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．2．（2021·四川成都市·八年级期末）下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度C．对角线平分每一组对角D．四边相等且有一个角是直角【答案】D【分析】根据各个选项中的说法，可以判断能否构成正方形，不正确的说明理由或举出反例即可．【详解】解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意；对角线平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意；四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是明确正方形的判定方法．3．（2021·山东八年级期末）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点F处，折痕与边BC交于点E，则CF的长为（）A．3 B．2 C．8 D．10【答案】B【分析】先根据折叠性质可证四边形为正方形，，然后根据可得到的值，最后根据勾股定理即可求出的长．【详解】∵，，∴四边形为矩形．∵，∴四边形为正方形，∴，∴，∴在中，．故选：．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形和正方形的判定及性质，根据正方形的判定证明四边形是正方形是解题的关键．4．（2021·重庆八年级期末）如图，正方形和正方形中，点在上，，是的中点，，那么的长是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据正方形的性质求出∠ACF的度数，然后根据直角三角形和勾股定理即可求出CE的长度．【详解】如图所示，连接，∵四边形ABCD和四边形GCEF都是正方形，，，∴，又∵点H是AF的中点，AF=2CH=8．∴在中，CF，∴在中，CE=EF，，，∴．故选：C．【点睛】此题考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是根据题意做出辅助线构造直角三角形．5．（2021·江苏中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则为（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α【答案】B【分析】根据题意可得，从而即可．【详解】∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，∴AP=CP，PF=PB，，∴，∴∠AFP=∠CBP，又∵，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键．二、填空题6．（2021·江苏八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在BC的延长线上．如果BE=BD，那么CE=____【答案】【分析】由正方形的性质可知BC=CD=1，再由勾股定理求BD，从而可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD=1，由勾股定理，得，∴CE=BE-BC=BD-BC=．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，及勾股定理的运用．关键是熟练掌握相关的性质是解题的关键．7．（2021·江苏八年级期中）如图，在正方形中，E是上一点，将绕点E顺时针旋转60°，点A的对应点F恰好落在上，则_______°．【答案】75【分析】根据旋转的性质得出△AEF是等边三角形，进而可证明Rt△ABE≌Rt△ADF得∠BAE=∠ADF,再根据角的和差可得结论．【详解】解：由旋转得，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=AF，∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD在Rt△ABE和Rt△ADF中∴Rt△ABE≌Rt△ADF∴∠BAE=∠ADF又∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAF=90°∴∠DAF=∴∠DAE=∠DAF+∠EAF=15°+60°=75°故答案为75【点睛】本题主要考查了旋转的性质,直角三角形全等的判定与性质,正方形的性质等知识,求出∠DAF=是解答此题的关键．8．（2021·上海八年级期末）如图，正方形ABCD的边长等于4，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE的面积等于____．【答案】【分析】根据正方形的性质得到，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【详解】解：四边形是正方形，，，，，，，，，的面积．故答案为：．【点睛】本题考查的是正方形的性质、勾股定理，掌握正方形的对角线平分一组对角是解题的关键．9．（2021·上海八年级期末）如图，在正方形中，对角线与BD相交于点O，的平分线分别交、于点G、H，如果，那么________．【答案】【分析】根据正方形的性质求出△ABO的面积，过点G作GM⊥AB于点M，根据角平分线的性质得到OG=MG，利用△ABO的面积列出关于MG的方程，解之即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，∴AC⊥BD，∴OA=OB==，∴S△ABO==4，过点G作GM⊥AB于点M，∵AC⊥BD，GM⊥AB，AG平分∠BAC，∴OG=MG，∴S△ABO=S△AOG+S△ABG===4解得：x=，即OG=，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，面积法，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，利用面积法构造方程．10．（专题09特殊四边形中的最值问题-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习（湘教版））如图，在边长为正方形中，是对角线上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为________．【答案】【分析】连接PC，EF证出四边形PECF为矩形，由矩形的性质得出EF=PC，当PC⊥BD时，PC取得最小值，据此求解即可．【详解】解：连接，EF四边形是正方形，，.于，于，四边形为矩形，.当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，由勾股定理得，的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形以及垂线段最短，熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．三、解答题11．（2021·江苏八年级期中）如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．（1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论；（2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件）【答案】（1）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（2）或【分析】（1）根据三角形中位线定理得到GH∥AD，GH=AD，EF∥AD，EF=AD，得到四边形EFGH是平行四边形，根据题意得到EF=EH，根据菱形的判定定理证明结论；（2）根据正方形的判定定理解答即可．【详解】解：（1）四边形EFGH是菱形，理由如下：在△ACD中，G、H分别是CD、AC的中点，∴GH∥AD，GH=AD，同理，EF∥AD，EF=AD，∴GH∥EF，GH=EF，∴四边形EFGH是平行四边形，在△ABC中，E、H分别是AB、AC的中点，∴EH=BC，∵AD=BC，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形；（2）当AD⊥BC或∠DAB+∠ABC=90°时，四边形EFGH为正方形，理由如下：∵EH∥BC，∴∠AEH=∠ABC，同理，∠BEF=∠BAD，∴∠AEH+∠BEF=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH为正方形，故答案为：AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC=90°）答案不唯一．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．12．（2021·上海八年级期末）如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．（1）求证：；（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据正方形性质证明全等即可；（2）连接BD，首先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据垂直平分线的性质求出BE的长度，即可求出CG的长度．【详解】（1）证明：∵正方形，∴，，同理：，，∴，∴在和，，∴，∴在中，，∴，∴，∴；（2）如图所示，连接BD，∵点H为中点，，∴为的垂直平分线，∴，∵，∴，∴．∵，∴．【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等和垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握以上性质并作出辅助线．13．（2021·江苏八年级期中）如图,在正方形ABCD中,点E､F､G分别在CD､AD､BC上,且,垂足为O．（1）求证:;（2）若O是BE的中点,且,,求AF的长．【答案】（1）见解析;（2）【分析】（1）作交BE于N,BC于M,可证,从而得到,又有,可得四边形AMGF为平行四边形,即可证出结论．（2）连接BF､EF,则可得,在和中,利用勾股定理可得到,,然后设,可列出关于的方程,解出方程即可.【详解】（1）证明:作交BE于N,BC于M．∵在正方形ABCD中,∴,,．∵,∴．∵,∴．∴∵．∴．∴．∵在和中∴．∴．∵,∴．∵,∴四边形AMGF为平行四边形．∴．∵,∴．（2）如图,连接BF､EF,∵,O是BE的中点,∴．∵在正方形ABCD中,∴．∵,∴．设,则,在中,由勾股定理得:．在中,由勾股定理得:．∵,∴．即,解得:．∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质,三角形全等的判定和性质,平行四边形的性质和勾股定理的应用,解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形,直角三角形．14．（2021·山东八年级期末）问题情境：如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明．【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）CF＝E'F，证明见解析．【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，则可由正方形的判定证得四边形BE'FE是正方形；

（2）过点D作DH⊥AE于点H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论．【详解】解：（1）四边形BE'FE是正方形．理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°．又∵∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形．又∵BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形．（2）CF＝E'F；理由如下：如图2，过点D作DH⊥AE于点H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∠ADH+∠DAH＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°．∴∠DAH+∠EAB＝90°．∴∠ADH＝∠EAB．又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS）．∴AH＝BE＝AE．∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CE'．∵四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F．∴E'F＝CE'．∴CF＝E'F．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．15．（2021·四川成都市·八年级期末）（1）如图1，与都是等边三角形，联结和．求证：．（2）如图2，四边形和四边形都是正方形，连接和．探究线段和有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论．（3）如图3，在图2的基础上，连接，将正方形绕着点旋转到某一位置时，恰好使得，．求出此时的度数．【答案】（1）见解析；（2）AG=CE，AG⊥CE，证明见解析；（3）60°【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，则∠BCE=∠ACD，再证∠BCE≌△ACD（SAS），即可得出结论；（2）证△ADG≌△CDE（SAS），得AG=CE，∠DAG=∠DCE，再由三角形的外角得∠DAG+∠ANM=∠DCE+∠ADC，则∠ANM=∠ADC=90°，即可得出结论；（3）连接CG，证△CDE≌△CDG（SAS），得CE=CG，则AG=AC=CG，△ACG是等边