全优课堂·数学·必修第二册(人教A版) 课后提能训练 试题及答案 第10章

第十章10.110.1.1、2A级——基础过关练1．许洋说：“本周我至少做完3套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为()A．至多做完3套练习题 B．至多做完2套练习题C．至多做完4套练习题 D．至少做完2套练习题【答案】B【解析】至少做完3套练习题包含做完3，4，5，6，…套练习题，故它的对立事件包含做完0，1，2套练习题，即至多做完2套练习题．2．若颜色分别为红、黑、白的三个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球，事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是()A．对立事件 B．不可能事件C．互斥事件 D．必然事件【答案】C【解析】由于三个人都可以持有红球，故事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不可能是对立事件，又事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不可能同时发生，故两事件的关系是互斥事件．故选C．3．(2024年上海普陀区模拟)从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A，B，白球标记为C，则它的一个样本空间可以是()A．{AB，BC} B．{AB，AC，BC}C．{AB，BA，BC，CB} D．{AB，BA，AC，CA，CB}【答案】B【解析】两个红球分别标记为A，B，白球标记为C，则抽取两个球的情况为AB，AC，BC，即它的一个样本空间可以是{AB，AC，BC}．故选B．4．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为()A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品【答案】C【解析】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C．5．(多选)小华在校运动会上有意向报名“100米”与“跳远”两个项目，事件A表示“他只报100米”，事件B表示“他至少报其中一个项目”，事件C表示“他至多报其中一个项目”，事件D表示“他不报100米”，事件E表示“他一个项目也不报”，则()A．A与C是互斥事件B．A与D是互斥事件，但不是对立事件C．B与D不是互斥事件D．B与E是互斥事件，也是对立事件【答案】BCD【解析】样本空间Ω＝{只报100米，只报跳远，100米与跳远都报，100米与跳远都不报}，A＝{只报100米}，B＝{只报100米，只报跳远，100米与跳远都报}，C＝{只报100米，只报跳远，100米与跳远都不报}，D＝{只报跳远，100米与跳远都不报}，E＝{100米与跳远都不报}．由A∩C＝A≠∅，知A与C不是互斥事件，A错误．由A∩D＝∅，A∪D≠Ω，知A与D是互斥事件，但不是对立事件，B正确．由B∩D≠∅，知B与D不是互斥事件，C正确．由B∪E＝Ω，且B∩E＝∅，知B与E是互斥事件，也是对立事件，D正确．6．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验的样本点共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【解析】该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以试验的样本点共有3个．7．(2024年上海宝山区校级月考)下列事件中，属于随机现象的序号是________．①明天是阴天；②方程x2＋1＝0有两个不相等的实数根；③明天吴淞口的最高水位是4.5米；④三角形中，大角对大边．【答案】①③【解析】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；对于②，由x2＋1＝0，得x2＝－1，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件．综上，属于随机现象的序号是①③．8．(2024年上海黄浦区期末)袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为________．(只需写出一个)【答案】{红色}(答案不唯一)【解析】由题意得，样本空间Ω＝{红色，白色，黑色}．9．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．【答案】36【解析】将这个试验的所有结果一一列举出来为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种．10．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该事件的样本空间Ω．(2)用集合表示事件A、事件B．(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}，B＝{S7，S8，S9，S10}．(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．B级——综合运用练11．(多选)(2024年溧阳期末)某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D【答案】ABD【解析】对于A，事件A表示“两次都投中”，事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故A⊆D，故A正确；对于B，事件B和事件D是对立事件，故B∩D＝∅，故B正确；对于C，事件A∪B表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件B∪D表示“两次都未投中”“两次都投中”或“恰有一次投中”，故C错误；对于D，事件A∪C表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故A∪C＝D，故D正确．故选ABD．12．如图所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”，则A∪B∪C表示的含义为____________，eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)∩eq\x\to(C)表示的含义为____________．【答案】电路工作正常电路工作不正常13．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．解：(1)是互斥事件．理由：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，它与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．C级——创新拓展练14．(2024年巴中期末)如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是()A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮【答案】C【解析】根据题意，这是一个并联电路，当闭合开关时，电流会经过开关，然后分别流经A灯和B灯，因此，A灯和B灯都会亮，所以，必然事件是A，B两盏灯均亮．故选C．第十章10.110.1.3A级——基础过关练1．(多选)下列是古典概型的有()A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【答案】ABD【解析】A，B，D为古典概型，因为都符合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不符合等可能性，故不为古典概型．故选ABD．2．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，记为M，则集合M恰是集合{a，b，c}的子集的概率是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)【答案】C【解析】集合{a，b，c，d，e}的子集有25＝32(个)，而集合{a，b，c}的子集有23＝8(个)，所以所求概率p＝eq\f(8,32)＝eq\f(1,4)．3．同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根的概率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)【答案】B【解析】因为方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根，所以Δ＝a2－8b＞0，又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则共包含36个样本点，满足a2－8b＞0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9个样本点，所以方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根的概率为eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)．故选B．4．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为()A．eq\f(4,27) B．eq\f(8,27)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)【答案】B【解析】在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率p＝eq\f(8,27)．5．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】B【解析】所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．故选B．6．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,5)【答案】A【解析】如图，从O，A，B，C，D5个点中任取3个，有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共10个样本点．3点共线有(O，A，C)与(O，B，D)共2个样本点，由古典概型的概率计算公式知，取到的3点共线的概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)．7．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是________．【答案】eq\f(3,8)【解析】试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是eq\f(3,8)．8．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是_______；若有放回地任取两个数，则两个数都是偶数的概率是________．【答案】eq\f(3,10)eq\f(4,25)【解析】从5个数字中不放回地任取两个数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，所以所求概率p＝eq\f(3,10)．从5个数字中有放回地任取两个数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)共4个，故概率p＝eq\f(4,25)．9．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为________．【答案】eq\f(2,5)【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．10．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：(1)2只球都是红球的概率；(2)2只球同色的概率；(3)“恰有1只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？解：记两只白球分别为a1，a2；两只红球分别为b1，b2；两只黄球分别为c1，c2．从中随机取2只球的所有结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共15种结果．(1)2只球都是红球为(b1，b2)，共1种，故2只球都是红球的概率p1＝eq\f(1,15)．(2)2只球同色的为(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3种，故2只球同色的概率p2＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)．(3)恰有1只是白球为(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8种，其概率p3＝eq\f(8,15)；2只球都是白球为(a1，a2)，共1种，故概率p4＝eq\f(1,15)．所以“恰有1只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．B级——综合运用练11．有一列数由奇数组成：1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3，5，第三组有3个数为7，9，11，…，依此类推，则从第10组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为()A．eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(1,5) D．eq\f(3,5)【答案】B【解析】由已知可得前9组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，则第10组第一个数为45×2＋1＝91，第10组有10个数分别为91，93，95，97，99，101，103，105，107，109，其中恰为3的倍数的数为93，99，105．故所求概率p＝eq\f(3,10)．故选B．12．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一个数k∈A，则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为________．【答案】eq\f(1,4)【解析】集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一个数k∈A，基本事件总数n＝8，幂函数f(x)＝xk为偶函数，则k＝－2，2，即包含的基本事件个数m＝2，∴所求概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)．13．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个样本点？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解：(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10个样本点．(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)＝eq\f(3,10)．故摸出2只球都是白球的概率为eq\f(3,10)．C级——创新拓展练14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(7,18) D．eq\f(4,9)【答案】D【解析】记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，则事件A包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率p＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9)．故选D．第十章10.110.1.4A级——基础过关练1．(多选)下列说法正确的有()A．必然事件的概率为1B．不可能事件的概率为0C．若事件A与B为随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)D．若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)【答案】ABD【解析】由概率的性质知A，B，D正确．对于C，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，故错误．2．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为eq\f(4,5)，那么所选3人中都是男生的概率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(4,5) D．eq\f(1,6)【答案】A【解析】设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都是男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5)．3．(2024年益阳期末)不透明的口袋内装有编号为1，2，3的卡片各若干张，从中随机取出一张，若编号为1的概率为0.5，编号为2的概率为0.3，则编号为奇数的概率为()A．0.3 B．0.5C．0.7 D．0.8【答案】C【解析】设“编号为1，2，3”分别为事件A1，A2，A3，“编号为奇数”为事件C．因为P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，所以P(A3)＝1－0.5－0.3＝0.2，所以P(C)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)＝0.5＋0.2＝0.7．4．(2024年茂名开学考)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.2C．0.1 D．0.3【答案】D【解析】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3．故选D．5．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是偶数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,6) D．1【答案】C【解析】(方法一)A包含向上点数是2，4，6的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，4，6的情况，故P(A∪B)＝eq\f(5,6)．(方法二)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,6)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)．故选C．6．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.9 B．0.3C．0.6 D．0.4【答案】D【解析】设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件eq\x\to(A)是“该射手在一次射击中不小于8环”．∵事件eq\x\to(A)包括射中8环，9环，10环，这三个事件是互斥的，∴P(eq\x\to(A))＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4．7．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________．【答案】eq\f(2,5)【解析】因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，所以P(A)＋P(B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)．又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋eq\f(1,2)P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(A)＝eq\f(2,5)．8．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．(1)若B⊆A，则P(A∪B)＝________；(2)若A，B互斥，则P(A∪B)＝________．【答案】(1)0.4(2)0.6【解析】(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4．(2)因为A，B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．9．袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.4和0.35，那么黑球有________个．【答案】25【解析】由题意，可得任取一球是黑球的概率为1－(0.4＋0.35)＝0.25，所以黑球有100×0.25＝25(个)．10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10种．令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件．(1)P(D)＝eq\f(1,10)．(2)P(E)＝eq\f(3,5)，P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq\f(7,10)．B级——综合运用练11．(多选)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，则()A．他只属于音乐小组的概率为eq\f(1,13)B．他只属于英语小组的概率为eq\f(8,15)C．他属于至少2个小组的概率为eq\f(3,5)D．他属于不超过2个小组的概率为eq\f(13,15)【答案】CD【解析】由题图知参加兴趣小组的人数为6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60，只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8，故只属于音乐小组的概率为eq\f(8,60)＝eq\f(2,15)；只属于英语小组的概率为eq\f(6,60)＝eq\f(1,10)；“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为eq\f(11＋10＋7＋8,60)＝eq\f(3,5)；“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”，故他属于不超过2个小组的概率是p＝1－eq\f(8,60)＝eq\f(13,15)．故选CD．12．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目．其中，选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一题．甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是________；甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．【答案】eq\f(3,5)eq\f(9,10)【解析】把3道选择题记为x1，x2，x3，2道判断题记为p1，p2．总的事件数为20．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题”的概率为eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5)．“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)．13．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为4，5．从这五张卡片中任取两张，如果每张卡片被抽取的机会相等，分别计算下列事件的概率：(1)事件A＝“这两张卡片颜色不同”；(2)事件B＝“这两张卡片标号之和小于7”；(3)事件C＝“这两张卡片颜色不同且标号之和小于7”；(4)事件D＝“这两张卡片标号之和不小于7”．解：从五张卡片中任取两张，对应的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共有10个样本点．(1)A＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)}，共有6个样本点，所以P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)．(2)B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)}，共有6个样本点，所以P(B)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)．(3)C＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)}，共有3个样本点，所以P(C)＝eq\f(3,10)．(4)由题意得，事件D与事件B是对立事件，所以P(D)＝1－P(B)＝eq\f(2,5)．C级——创新拓展练14．(2024年济南二模)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡【答案】A【解析】∵在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，则概率是eq\f(7,10)的事件是“2张全是移动卡”的对立事件，∴概率是eq\f(7,10)的事件是“至多有一张移动卡”．故选A．第十章10.2A级——基础过关练1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A．互斥事件 B．相互独立事件C．对立事件 D．不相互独立事件【答案】D【解析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D．2．若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，则事件A与B的关系是()A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立【答案】C【解析】因为P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，所以P(A)＝eq\f(1,3)，又因为P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,9)，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选C．3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是()A．eq\f(14,25) B．eq\f(12,25)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,5)【答案】A【解析】由题意知P(甲)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，P(乙)＝eq\f(7,10)，所以p＝P(甲)·P(乙)＝eq\f(14,25)．故选A．4．(多选)已知事件A，B相互独立，且P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，则()A．P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3) B．P(Aeq\x\to(B))＝eq\f(1,3)C．P(A＋B)＝eq\f(2,3) D．P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,2)【答案】ACD【解析】因为事件A，B相互独立，且P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，所以P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故A正确；P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,6)，故B错误；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，故C正确；P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故D正确．故选ACD．5．国庆节期间，甲去北京旅游的概率为eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,5)．假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A．eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,60)【答案】B【解析】因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，所以他们不去北京旅游的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，故至少有1人去北京旅游的概率为1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5)．故选B．6．有一道数学难题，学生A解出的概率为eq\f(1,2)，学生B解出的概率为eq\f(1,3)，学生C解出的概率为eq\f(1,4)．若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为()A．1 B．eq\f(1,4)C．eq\f(11,24) D．eq\f(17,24)【答案】C【解析】一道数学难题，恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率为eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；②B解出，A，C解不出，概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)；③C解出，A，B解不出，概率为eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)．所以恰有1人解出的概率为eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,12)＝eq\f(11,24)．7．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．【答案】0.26【解析】所求概率p＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26．8．有甲、乙、丙三个箱子，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球．现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率是________．【答案】eq\f(2,3)【解析】由题意，甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球，丙箱中有4个红球，现从三个箱子中任选一箱，从中任意摸出一球，则摸到红球的概率为eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×1＝eq\f(2,3)．9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq\f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为________．【答案】eq\f(3,5)【解析】设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝eq\f(16,25)，所以p＝eq\f(3,5)．10．甲、乙、丙分别对一个目标射击，甲射击命中目标的概率是eq\f(1,2)，乙命中目标的概率是eq\f(1,3)，丙射击命中目标的概率是eq\f(1,4)，现在三人同时射击目标：(1)求目标被击中的概率；(2)求三人中至多有1人击中目标的概率．解：(1)由题意，甲命中目标的概率是eq\f(1,2)，乙命中目标的概率是eq\f(1,3)，丙命中目标的概率是eq\f(1,4)，可得目标不被击中的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，所以由对立事件的概率公式，可得目标被击中的概率为1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)．(2)由题意，可分为两类．①三人都未击中，其概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)；②三人中恰有1人击中，其概率为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)．所以三人中至多有1人击中目标的概率为eq\f(1,4)＋eq\f(11,24)＝eq\f(17,24)．B级——综合运用练11．(多选)(2024年深圳月考)袋中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则()A．P(A∪B)＝1 B．P(B∪C)＝eq\f(13,25)C．A与B相互独立 D．B与C相互独立【答案】BCD【解析】由题意可知，第一次抽取和第二次抽取是相互独立的，故A与B相互独立，故C正确；事件A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，C＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，B∩C＝{(2，4)，(4，2)}，则P(A)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(2,5)，P(C)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5)，P(BC)＝eq\f(2,25)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)－eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(19,25)，故A错误；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)－P(BC)＝eq\f(13,25)，故B正确；P(BC)＝P(B)P(C)＝eq\f(2,25)，故B与C相互独立，故D正确．故选BCD．12．乒乓球比赛的11分制赛则规定：每局比赛先得11分的参赛者为胜方，若出现10平比分，则以先多得2分者为胜方；在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为eq\f(2,5)，乙发球时乙得分的概率为eq\f(1,2)，各球的结果相互独立．在某局出现10平比分后，若甲先发球，则甲以12∶10获胜的概率为________，甲以13∶11获胜的概率为________．【答案】eq\f(1,5)eq\f(1,10)【解析】依题意，当甲以12∶10获胜时，所求事件的概率为p＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,5)；当甲以13∶11获胜时，还需进行四场比赛，发球方分别是甲、乙、甲、乙，获胜的可能情况有①第一场甲输，第二场甲赢，第三场甲赢，第四场甲赢；②第一场甲赢，第二场甲输，第三场甲赢，第四场甲赢，故所求事件的概率为p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,10)．13．(2024年常州期末)为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为eq\f(1,2)，乙每次投篮命中的概率为eq\f(1,3)，且两人每次投篮的结果均互不干扰．(1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．解：(1)根据题意，总次数为3时，乙获胜的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18)，总次数为4时，乙获胜的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,36)，所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为eq\f(1,18)＋eq\f(1,36)＝eq\f(1,12)．(2)比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(49,162)．C级——创新拓展练14．如图为类似“杨辉三角”图形的竖直平面内的一些通道，图中线条均表示通道，一钢珠从入口E处自上而下沿通道自由落下，则其落到B处的概率是________．【答案】eq\f(3,8)【解析】首先分清从E处出发到达B处的具体途径，然后继续求解．钢珠从E处落下，①有eq\f(1,2)的概率落到EF，经FH后有eq\f(1,2)的概率落到HJ，经JM后有eq\f(1,2)的概率落到MN，最后落到B处，即p1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)；②有eq\f(1,2)的概率落到EF，经FH后有eq\f(1,2)的概率落到HK，经KO后有eq\f(1,2)的概率落到ON，最后落到B处，即p2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)；③有eq\f(1,2)的概率落到EG，经GI后有eq\f(1,2)的概率落到IK，经KO后有eq\f(1,2)的概率落到ON，最后落到B处，即p3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)．所以p＝p1＋p2＋p3＝eq\f(3,8)．第十章10.310.3.1、2A级——基础过关练1．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A．0.56，0.56 B．0.56，0.5C．0.5，0.56 D．0.5，0.5【答案】B【解析】在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率为eq\f(560,1000)＝0.56，概率为0.5．故选B．2．(2024年成都新津区月考)下列说法一定正确的是()A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B．一个骰子掷一次得到2的概率是eq\f(1,6)，则掷6次一定会出现一次2C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D．随机事件发生的概率与试验次数无关【答案】D【解析】“百发百中“说明投中的可能性比较大，但有可能出现三投不中的可能，即A错误；“eq\f(1,6)”是事件发生的可能性，掷6次也可能不出现一次2，即B错误；买彩票中奖的概率为万分之一，也是事件发生的可能性，买一万元的彩票也可能一元不中，即C错误；随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关，D正确．故选D．3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]频数234542则样本数据落在区间[10，40)上的频率为()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65【答案】B【解析】在区间[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为eq\f(9,20)＝0.45．4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为()A．222石 B．224石C．230石 D．232石【答案】B【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为eq\f(30,270)＝eq\f(1,9)，所以2018石米中夹谷约为2018×eq\f(1,9)≈224(石)．故选B．5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：9328124585696834312573930275564887301135据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为()A．0.50 B．0.45C．0.40 D．0.35【答案】A【解析】两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为eq\f(10,20)＝0.50．故选A．6．(2024年青海期末)某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为15%，则下列说法正确的是()A．某人抽奖100次，一定能中奖15次B．某人抽奖200次，至少能中奖3次C．某人抽奖1次，一定不能中奖D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖【答案】D【解析】中奖的概率为15%，与抽的次数无关，只是有15%中奖的可能性．分析各选项可知，A，B，C错误，D正确．7．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，被抽选的4个中有2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是__________________________．【答案】选出的4人中，只有1个男生【解析】用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示选出的4人中，有1个男生3个女生．8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：满意状况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是________．【答案】eq\f(11,15)【解析】由题意得，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200＋2100＝3300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15)．由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为eq\f(11,15)．9．某生物实验室研究利用某种微生物来治理污水，每10000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8000个，根据概率的统计定义，现需要6000个成品菌种，大概要准备________个微生物菌种．【答案】7500【解析】现需要6000个成品菌种，设大概要准备n个微生物菌种，∵每10000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8000个，∴eq\f(8000,10000)＝eq\f(6000,n)，解得n＝7500．10．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为eq\f(13,15)．(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为eq\f(7,8)．以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为eq\f(7,8)．B级——综合运用练11．袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球，有三个游戏规则如表所示：游戏1游戏2游戏3袋中装有3个黑球和2个白球袋中装有2个黑球和2个白球袋中装有3个黑球和1个白球从袋中取出2个球从袋中取出2个球从袋中取出2个球若取出的两个球同色，则甲胜若取出的两个球同色，则甲胜若取出的两个球同色，则甲胜若取出的两个球不同色，则乙胜若取出的两个球不同色，则乙胜若取出的两个球不同色，则乙胜其中不公平的游戏是()A．游戏2 B．游戏3C．游戏1和游戏2 D．游戏1和游戏3【答案】C【解析】对于游戏1，取出两球同色的概率为eq\f(2,5)，取出不同色的概率为eq\f(3,5)，不公平；对于游戏2，取出两球同色的概率为eq\f(1,3)，取出不同色的概率为eq\f(2,3)，不公平；对于游戏3，取出两球同色即全是黑球，概率为0.5，取出不同色的也为0.5，公平．故选C．12．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数(如下表)，则标记3的面落在桌面上的频数是________；若再抛掷一次，估计标记3的面落在桌面上的概率为________．四面体的面1234频数1923x36【答案】220.22【解析】标记3的面落在桌面上的频数为100－19－23－36＝22，则频率为eq\f(22,100)＝0.22，故其概率的估计值为0.22．13．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；(2)请你估计袋中红球的个数．解：(1)因为20×400＝8000，所以摸到红球的频率为eq\f(6000,8000)＝0.75．因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75．(2)设袋中红球有x个，根据题意得eq\f(x,x＋5)＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．所以估计袋中红球有15个．C级——创新拓展练14．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20℃，25℃)内，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数36253818将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x＝()A．100 B．300C．400 D．600【答案】B【解析】由表可知，最高气温低于25℃的频率为eq\f(3＋6,90)＝0.1，∴若6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1，∴x＝300．故选B．第十章习题课A级——基础过关练1．(2024年抚顺模拟)甲、乙两名同学分别从“武术”“排球”“游泳”“体操”四个社团中随机选择一个社团加入，则这两名同学加入的是同一个社团的概率是()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)【答案】B【解析】基本事件总数n＝4×4＝16，事件A＝“两名同学加入同一个社团”包含的基本事件总数m＝4，∴P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)．故选B．2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)【答案】A【解析】甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，且每个样本点出现的可能性相等，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得p＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)．故选A．3．某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为()A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)【答案】A【解析】6个主题记为a，b，c，d，e，f，若每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲有6种选择，乙也有6种选择，故总样本点有6×6＝36(种)，若甲、乙抽到的主题相同，则样本点共有aa，bb，cc，dd，ee，ff共6种，所以甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6)．故选A．4．已知向量a＝(x＋1，1)，b＝(－8，x2＋15)，在集合{0，1，2，3，4，5，6}中随机取值作为x，则a⊥b的概率为()A．eq\f(1,7) B．eq\f(2,7)C．eq\f(3,7) D．eq\f(4,7)【答案】A【解析】当a⊥b时，a·b＝－8(x＋1)＋x2＋15＝x2－8x＋7＝0，解得x＝1或x＝7．所以集合{0，1，2，3，4，5，6}中随机取值作为x，则a⊥b的概率为eq\f(1,7)．5．(多选)下列关于各事件发生的概率判断正确的有()A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为eq\f(2,3)B．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是eq\f(1,4)C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为eq\f(1,3)D．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为eq\f(3,5)【答案】ABC【解析】对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人，则该试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)}，共3个样本点，其中，甲被选中的样本点有2个，故甲被选中的概率为p＝eq\f(2,3)，故A正确；对于B，样本空间Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)}，共4个样本点，而能构成三角形的基本事件只有(3，5，7)一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是p＝eq\f(1,4)，故B正确；对于C，该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故C正确；对于D，因为A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq\f(3,7)，故D错误，故选ABC．6．(2024年林芝期末)在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程ax2＋2bx＋1＝0有2个不相等的实数根的概率为()A．eq\f(4,9) B．eq\f(5,9)C．eq\f(5,12) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，所有可能的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12种情况，若方程ax2＋2bx＋1＝0有2个不相等的实数根，则4b2－4a＞0，即b2＞a，满足条件的(a，b)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，3)共8种，故概率p＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)．故选D．7．(2024年滁州期末)有一个质地均匀的正四面体骰子，其4个面分别标有数字1，2，3，4．先后抛掷这枚骰子两次，则底面上的数字之和等于5的概率为________．【答案】eq\f(1,4)【解析】将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4)先后抛掷2次，观察底面上的数字的数字，基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，则两次数字之和等于5包含的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，∴两次数字之和等于5的概率为p＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)．8．从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成logab(a＞0，且a≠1)，则恰好能使得logab＜1的概率是________．【答案】eq\f(3,5)【解析】用(a，b)表示随机选取的2个不同的数字，则试验的样本空间是Ω＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，共包含25个样本点，记能使得logab＜1(a＞0，且a≠1)为事件A，则A＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，共包含15个样本点，故所求概率p＝eq\f(15,25)＝eq\f(3,5)．9．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配成1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是________．【答案】eq\f(2,5)【解析】由题意知样本空间为Ω＝{(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，(1.72，1