简单复合函数的求导法则课件北师大选修

简单复合函数的求导法则课程简介目标理解简单复合函数的求导法则，并能熟练运用该法则求解复合函数的导数。内容本课程将讲解复合函数的概念、定义以及求导法则，并通过示例和练习帮助学生理解和掌握该知识点。什么是复合函数？复合函数是指一个函数的输出作为另一个函数的输入。简单来说，复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。例如，函数f(x)=sin(x^2)就是一个复合函数，它是由两个函数sin(x)和x^2组合而成。复合函数的定义定义当一个函数的输出值作为另一个函数的输入值时，就形成了复合函数。简单来说，复合函数就是将两个或多个函数嵌套在一起，形成一个新的函数。表达式复合函数通常用f(g(x))表示，其中f和g都是函数，x是自变量。这意味着先计算g(x)的值，然后将g(x)的值代入f函数中进行计算。函数的基本运算加法两个函数的和，如f(x)+g(x)减法两个函数的差，如f(x)-g(x)乘法两个函数的积，如f(x)*g(x)除法一个函数除以另一个函数，如f(x)/g(x)复合函数的求导公式链式法则如果y=f(u)且u=g(x)则dy/dx=dy/du*du/dx公式解释链式法则表明复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。导数的性质导数的几何意义导数表示曲线在某一点的斜率，反映了曲线在该点的变化趋势。导数的代数意义导数是函数的变化率，描述了函数在某一点的变化速度。导数的应用导数在物理、经济、工程等领域有广泛的应用，帮助我们解决优化、运动、变化等问题。示例1：求f(x)=lnx的导数1步骤1根据导数的定义，可得f'(x)=lim(h->0)[ln(x+h)-ln(x)]/h2步骤2利用对数的性质，将分子化简：ln(x+h)-ln(x)=ln[(x+h)/x]=ln(1+h/x)3步骤3将化简后的式子代入导数定义中，得f'(x)=lim(h->0)ln(1+h/x)/h4步骤4利用极限的性质，将分子分母同时除以h，得f'(x)=lim(h->0)[ln(1+h/x)]/(h/x)*(1/x)5步骤5利用lim(u->0)ln(1+u)/u=1，可得f'(x)=1/x示例2：求f(x)=sin(3x)的导数1链式法则f'(x)=cos(3x)*(3x)'=3cos(3x)2求导结果f'(x)=3cos(3x)示例3：求f(x)=(x+1)^2的导数11.将f(x)写成u(v(x))的形式令u(x)=x^2，v(x)=x+1，则f(x)=u(v(x))22.求u(x)和v(x)的导数u'(x)=2x，v'(x)=133.利用复合函数求导公式f'(x)=u'(v(x))*v'(x)=2(x+1)*1=2x+2复合函数求导的一般步骤1.外函数求导将复合函数看成一个整体，对该整体进行求导。2.内函数求导对复合函数的内部函数进行求导。3.相乘将外函数的导数和内函数的导数相乘。举例1：求f(x)=sin(3x+1)的导数1第一步：识别内层函数内层函数为3x+1。2第二步：识别外层函数外层函数为sin(u)，其中u代表内层函数。3第三步：求外层函数的导数sin(u)的导数为cos(u)。4第四步：求内层函数的导数3x+1的导数为3。5第五步：将导数相乘f'(x)=cos(u)*3=3cos(3x+1)举例2：求f(x)=ln(x^2-1)的导数1复合函数求导f(x)=ln(x^2-1)2外层函数求导ln(u)'=1/u3内层函数求导(x^2-1)'=2xf'(x)=1/(x^2-1)*2x=2x/(x^2-1)举例3：求f(x)=(x^2+2)^3的导数1外层函数u=x^2+22内层函数y=u^33复合函数求导f'(x)=3(x^2+2)^2*2x复合函数求导法则的特点1链式法则复合函数求导的关键是链式法则，它将复合函数的导数分解为各个子函数的导数的乘积。2层层分解求导过程从外层函数开始，逐层向内进行，直到求得所有子函数的导数。3应用广泛复合函数求导法则在微积分中有着广泛的应用，例如求解函数的极值、拐点、以及函数的积分等。复合函数的计算技巧总结链式法则记住复合函数求导的核心是链式法则，它将导数分解为各个函数的导数的乘积。识别内外函数准确识别复合函数中的内外函数是求导的关键，它决定了链式法则的应用方式。逐步求导将复合函数分解成多个简单函数，逐步求导，最终得到复合函数的导数。练习1：求f(x)=ln(x^2+1)的导数步骤1首先，将复合函数分解为两个基本函数：u(x)=x^2+1和v(u)=ln(u)。步骤2分别求出这两个基本函数的导数：u'(x)=2x和v'(u)=1/u。步骤3根据复合函数的求导法则，f'(x)=v'(u(x))*u'(x)=1/(x^2+1)*2x。练习2：求f(x)=sin(x^3+x)的导数第一步：确定内函数和外函数内函数为u(x)=x^3+x，外函数为f(u)=sin(u)。第二步：求内函数和外函数的导数u'(x)=3x^2+1，f'(u)=cos(u)。第三步：将外函数的导数代入内函数f'(x)=f'(u(x))*u'(x)=cos(x^3+x)*(3x^2+1)。练习3：求f(x)=(3x+1)^2的导数1第一步：识别复合函数确定外层函数和内层函数。2第二步：应用复合函数求导法则运用链式法则求导。3第三步：化简结果整理并简化最终的导数。练习4：求f(x)=e^(x^2-1)的导数1f'(x)2e^(x^2-1)3(x^2-1)'42x因此，f(x)=e^(x^2-1)的导数为2xe^(x^2-1)练习5：求f(x)=ln(2x+3)^4的导数运用复合函数求导法则将函数f(x)分解为两个函数：g(x)=ln(x)和h(x)=(2x+3)^4，其中f(x)=g(h(x))。分别求导g'(x)=1/x，h'(x)=8(2x+3)^3。复合函数求导公式f'(x)=g'(h(x))*h'(x)=1/(2x+3)^4*8(2x+3)^3=8/(2x+3).小结与拓展复合函数求导法则复合函数求导法则是一个重要的数学工具，它可以帮助我们求出复合函数的导数。该法则简单易懂，在实际应用中也十分实用。拓展应用复合函数求导法则的应用范围非常广泛，它不仅可以用于求导，还可以用于解决微积分中的很多问题，比如求极限、求积分等等。鼓励学习不断进步坚持不懈学习是一个持续的过程，需要持之以恒的努力。勇于探索不要害怕尝试新的知识和技能，不断拓展自己的学习领域。乐于分享与他人交流学习心得，共同进步。课后思考题复合函数的导数公式推导过程如何？如何将复合函数求导法则应用到实际问题中？答疑环节本节课，我们将dànhchobạnmộtchútthờigianđểđặtcâuhỏi.Hãyth