历年全国各地中考数学真题压轴题训练-函数专题选择题部分100题

历年全国各地中考数学真题压轴题训练—函数专题选择题部分（解析版）

1.（2019•浙江中考真题）已知。力是非零实数,|«|>\b\,在同一平面直角坐标系中，二次函数%与一

次函数ax+b的大致图象不可能是（）

v2=

C.

【答案】D

【解析】

【分析】

采用赋值法，选取符合图形条件的未知数的值，再采用排除法即可确定答案.

【详解】

解答本题可采用赋值法.取。=21=1,可知A选项是可能的；取a=2/=-1,可知B选项是可能的；取

a=-2/=-1,可知C选项是可能的，那么根据排除法，可知D选项是不可能的.

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点.

2.（2013•重庆中考真题）如图，在直角坐标系中，正方形0ABC的顶点0与原点重合，顶点A。C分别在x轴、y

轴上，反比例函数y=£（kHO,x>0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N,NDLx轴，垂足为D,连接

X

0M>ON、MN»

下列结论：

①aOCN0△OAM；

②ON=MN；

③四边形DAMN与△MON面积相等；

④若NM0N=45°,MN=2,则点C的坐标为（0,0+1卜

其中正确的个数是【】

【答案】Co

【解析】设正方形0ABC的边长为a,

kk

则A(a,0),B(a,a),C(0,a),M(a,-),N(-,a)o

aa

k

YCN=AM二0C=0A=a,NOCN=N0AM=90°,

a

AAOCN^AOAM(SAS)o结论①正确。

根据勾股定理,

ON和MN不一定相等。结论②错误。

°AODN一°AOAM

•q=&Q_Q=q

**°AMON-°AODN丁"四边形DAMN°AOAM一"四边形DAMN0结论③正确。

如图，过点。作0HLMN于点H,则

VAOCN^AOAM,.\0N=0M,ZC0N=ZA0Mo

VZM0N=45°,MN=2,

；.NH=HM=1,ZC0N=ZN0H=ZH0M=ZA0M=22.5°。

AAOCN^AOHN(ASA)。；.CN=HN=1。

.k,

・・一=lnk=a。

a

^-|a2n4a2=2(a2-a

由MN=a2-km,2=Ia?—2a—1—0o

试卷第2页，总92页

解得：a=W…（舍去负值）。

...点C的坐标为（0,0+1）。结论④正确。

结论正确的为①③④3个。故选C。

3.（2015•辽宁中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c（aNO）图象的一部分，对称轴是直线x=-2.关于下列结论：

①abVO；②t）2-4ac>0；③9a-3b+cV0；④b-4a=0；⑤方程ax?+bx=O的两个根为XFO,x2=-4,其中正确的结

A.①③④B.②④⑤C.①②⑤D.②③⑤

【答案】B

【解析】

试题分析：由抛物线的开口方向判断a与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然后根据对称轴及

抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：：抛物线开口向下，

：_—=-2,

2a

b=4a,ab>0,

.••①错误，④正确，

:抛物线与X轴交于-4,0处两点，

Ab2-4ac>0,方程ax2+bx=0的两个根为xi=O,X2=-4,

②⑤正确，

":当x=-3时y>0,即9a-3b+c>0,

•••③错误，

故正确的有②④⑤.

故选B.

考点：二次函数图象与系数的关系.

4.（2018•重庆中考真题）如图，菱形ABCD的边ADLy轴，垂足为点E,顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正

半轴上，反比例函数y=上（原0,x>0）的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值

X

为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知，可得菱形边长为5,设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值.

【详解】

过点D做DF_LBC于E

由已知，BC=5,

•••四边形ABCD是菱形，

.\DC=5,

VBE=3DE,

.•.设DE=x,则BE=3x,

DF=3x,BF=x,FC=5-x,

在RtADFC中，

DF2+FC2=DC2,

(3x)2+(5-x)2=52,

解得x=l,

ADE=1,FD=3,

设OB=a,

则点D坐标为(1,a+3),点C坐标为(5,a),

•.•点D、C在双曲线上，

lx(a+3)=5a,

试卷第4页，总92页

,3

••a-，

4

3

.•.点C坐标为(5,-)

4

..15

..k=—.

4

故选C.

【点睛】

本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质.解题关键是通过勾股定理构造方程.

1,

5.(2019•四川中考真题)如图，抛物线y=—必一4与x轴交于A、B两点,P是以点C(0,3)为圆心，2为半

-4

径的圆上的动点，。是线段的中点，连结OQ.则线段。。的最大值是()

A.3B.C.-D.4

22

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抛物线解析式可求得点A(-4,0),B(4,0),故。点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=，BP,故

2

OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值.

【详解】

:抛物线y=—炉一4与x轴交于A、B两点

-4

AA(-4,0),B(4,0),即OA=4.

在直角三角形COB中

BC=Voc2+OB2=百+42=5

：Q是AP上的中点，。是AB的中点

；.OQ为AABP中位线，即OQ=：BP

又：P在圆C上，且半径为2,

.•.当B、C、P共线时BP最大，即0Q最大

此时BP=BC+CP=7

17

OQ=-BP=-.

22

【点睛】

本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离,

解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况.

6.（2017•贵州中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc>0；（2）4ac<b2；③2a+b>0；

④其顶点坐标为（；，-2）；⑤当xV：时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c>0,正确的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】B

【解析】

解：由图象可知，抛物线开口向上，则。>0,顶点在y轴右侧，则〃<0,与y轴交于负半轴，则c<0,

故①正确，函数图象与x轴有两个不同的交点，则b2-4ac>0,即4ac<b2,故②正确，由图象可知，-2=士2=1,

2a22

a-b+c=0

贝Ij26=-2a,2a+6=-6>0,故③正确，由抛物线过点（-1,0）,（0,-2）,（2,0）,可得：（c=-2,

4a+2。+c=0

a=l

ioioi

解得：〈b=y—x~-x—2=(x—)2—,顶点坐标是(一，--),故④错误，当一时，y随x

c24242

c=-2

的增大而减小，故⑤正确，当A1时，y=a+b+c<Q,故⑥错误，由上可得，正确是①②③⑤，故选B.

点睛：本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答.

7.（2014•江苏中考真题）在平面直角坐标系X0Y中，直线经过点A（-3,0）,点B（0,6），点P的坐标为（1,

0）,与y轴相切于点o,若将。p沿％轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点小），当。P，与直线相交时,

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横坐标为整数的点P，共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

试题分析：先求出。P的半径，继而求得相切时P'点的坐标，根据A(-3,0),可以确定对应的横坐标为整数时对

应的数值.

试题解析：如图所示，

:点P的坐标为(1,0),OP与y轴相切于点O,

/.©P的半径是1,

若。P与AB相切时，设切点为D,由点A(-3,0),点B(0,石)，

AOA=3,OB=B

由勾股定理得：AB=2豆，ZDAM=30°,

设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M(即对应的P9,

AMDXAB,MD=1,又因为NDAM=30。，

；.AM=2,M点的坐标为(-1,0),即对应的P，点的坐标为(-1,0),

同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为(-5,0),

所以当。P'与直线1相交时，横坐标为整数的点P'的横坐标可以是-2,-3,-4共三个.

故选C.

考点：L直线与圆的位置关系；2.一次函数的性质.

8.(2019•江苏中考真题)如图，Z\ABC中，AB=AC=2,ZB=30°,4ABC绕点A逆时针旋转a(0<a<120°)得

到AA5'C',3C'与BC,AC分别交于点D,E.设CD+DE=x,AAEC'的面积为》，则》与为的函数图象大致

为()

A

C

【答案】B

【解析】

【分析】

连接B，C,作AHLBC,垂足为H,由已知以及旋转的性质可得AB，=AB=AC=AC=2,ZAB'C'=ZC'=30°,继而可

求出AH长，B'。的长，由等腰三角形的性质可得/ABC=NACB一再根据NABD=NACD=30。，可得

ZDB,C=ZDCB,,从而可得BD=CD,进而可得B，E=x,由此可得CE=2G-x,再根据三角形面积公式即可求得y

与x的关系式，由此即可得到答案.

【详解】

连接B9,作AHLB'C,垂足为H,

VAB=AC,ZB=30°,

.\ZC=ZB=30°,

,?AABC绕点A逆时针旋转a（0<a<120。）得至!JAAB'C,

：.AB'=AB=AC=AC'=2,/AB'C'=/C'=30°,

1

；.AH=—AC'=1,

2

,,CH=yjAC'2—AH2—，

：.B'C，=2CH=2/，

VAB^AC,

ZAB,C=ZACB,,

VZAB,D=ZACD=30°,

NABCNABD=/ACB，-NACD,

即NDBC=/DCB。

.•.B'D=CD,

：CD+DE=x,

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，BD+DE=x,即B，E=x,

...C'E=B'C'-B'E=26-X,

11]

y=~C'E*AH=-X（2^/3-x）X1=——x+V3,

观察只有B选项的图象符合题意,

故选B.

【点睛】

本题考查的是几何综合题，涉及了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数的应用等知识，正

确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

9.（2012•北京中考真题）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点

C,共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他

与教练的距离为y（单位:米）,表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的（）

A.点MB.点NC.点PD.点Q

【答案】D

【解析】

【详解】

解：A、假设这个位置在点则从A至2这段时间，了不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误;

以假设这个位置在点N,则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项

错误;

假设这个位置在点尸，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒

时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；

D,经判断点。符合函数图象，故本选项正确；

故选D.

10.（2018•甘肃中考真题）如图，抛物线y=^x?-7x+竺与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其下方的部分

22

记作C],将C1向左平移得到C2，C?与X轴交于点B、D,若直线y：n^x+m与C]、C,共有3个不同的交点，

2

则m的取值范围是（）

J'A

DB-、

C2C,

455291295451

A.-----<m<——B.------<m<——C.------<m<——D.-----<m<——

82828282

【答案】c

【解析】

【分析】

;gx+m与抛物线C2相切时m的值以及直

先求出点A和点B的坐标，然后再求出C?的解析式，分别求出直线y=

线y=Lx+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.

2

【详解】

1,45

■抛物线y=-x?—7x+—与x轴交于点A、B,

22

.」r45c

・・—x—7xd------0，

22

.,.xi=5,X2=9,

.-.B（5,0）,A（9,0）

1,

•••抛物线向左平移4个单位长度后的解析式y=万（x-3）2-2,

当直线y=gx+m过B点，有2个交点，

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..0c=—5Fm,

2

5

m=——,

2

当直线y=；x+m与抛物线C2相切时，有2个交点,

.二］x+m=；(x一一2,

x2-7x+5-2m=0，

・••相切,

.'.△=49—20+8m=0，

29

m=-----

8

如图,

・••若直线丫=3*+111与C1、C?共有3个不同的交点,

295

-----<m<—,

8-------2

故选C.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关

键.

11.（2018•浙江中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M,N的坐标分别为（-1,2）,（2,1）,若抛物

线丫=2*2-*+2（a#））与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）

11

A.a<-l^-<a<-B.-<a<-

4343

-1

C.a<—a>—D.ag-1或a>—

434

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可;

【详解】

:抛物线的解析式为y=ax2-x+2.

观察图象可知当a<0时，x=-l时，yW2时，满足条件，即a+3W2,即a£l；

当a>0时，x=2时，y>l,且抛物线与直线MN有交点，满足条件，

1

/.一,

4

,/直线MN的解析式为y=-1x+|,

'_15

y-----xH—

由j33,消去y得到，3ax2-2x+l=0,

y=〃公—x+2

VA>0,

1

/.aV—，

3

满足条件，

43

综上所述，满足条件的a的值为a£l或

43

故选A.

【点睛】

本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会

用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

12.（2018•广东中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，

向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1帆.其行走路线如图所示，第1次移动到Ai,第2次移动到42,…，

第"次移动到则△04M2018的面积是（）

试卷第12页，总92页

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由OA4n=2n知OA2oi7=-----+1=1009,据此得出A2A2018=1009-1=1008,据此利用三角形的面积公式计算可得.

2

【详解】

由题意知OA4n=2n,

.".OA20i6=2016-2=1008,即A2016坐标为(1008,0),

...A2018坐标为(1009,1),

则A2A2oi8=lOO9-l=lOO8(m),

„11

••S&OA2A2018=万义A2A2oi8xAiA2=-x1008x1=504(m-).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此

可得.

13.(2019•河南中考真题)已知抛物线y=—f+〃x+4经过(―2,〃)和(4,〃)两点，则n的值为()

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

h

根据(-2,〃)和(4,〃)可以确定函数的对称轴x=l,再由对称轴的x=—即可求解；

2

【详解】

解：抛物线y=—V+法+4经过(一2,九)和(4,〃)两点，

可知函数的对称轴x=l,

:.b=2；

y——x~+2,x+4,

将点(-2,〃)代入函数解析式，可得〃=4；

故选B.

【点睛】

本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键.

14.(2018•浙江中考真题)若抛物线丁=必+以+6与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线，已

知某定弦抛物线的对称轴为直线x=l,将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点

()

A.(-3,-6)B.(—3,0)C.(—3,—5)D.(―3,—1)

【答案】B

【解析】

分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出

平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论.

详解：•••某定弦抛物线的对称轴为直线x=l,

该定弦抛物线过点(0,0)、(2,0),

,该抛物线解析式为y=x(x-2)=x2-2x=(x-1)2-l.

将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=(x-1+2)2-1-3=(x+1)2-4.

当x=-3时，y=(x+1)2-4=0,

得到的新抛物线过点(-3,0).

故选：B.

点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的

性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键.

15.(2019•四川中考真题)二次函数丁=以2+法+。(。/0)的部分图象如图所示，图象过点(T0),对称轴为直

线x=L下列结论：①0历<0；②8Vc；③3a+c=0；④当y>0时，—l<x<3其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

试卷第14页，总92页

【答案】D

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然后根据对称轴及抛物线与x

轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】

解:①对称轴位于x轴的右侧，则a,b异号，即"<0.

抛物线与y轴交于正半轴，则cX).

abc<0.

故①正确；

②..•抛物线开口向下，

a<0.

b

•；抛物线的对称轴为直线x=-=1,

2a

-2a

•.♦尸T时，y=o,

u~b+c=O,

而b-—2a,

c--—3a,

b~c—-—2a+3a=a<0,

即次c,

故②正确；

③时，y=o,

u-b+cz=0,

而b~~-2a,

c--—3a,

3a+c=O.

故③正确；

④由抛物线的对称性质得到：抛物线与X轴的另一交点坐标是（3,0）.

.•.当y>0时，-lVx<3

故④正确.

综上所述，正确的结论有4个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系.解题的关键在于

y=32+fev+c的图像的开口方向、对称轴、与y轴的交点的决定因素.

16.（2019•山东中考真题）如图，正方形ABC。的边长为2cm,动点P,。同时从点A出发，在正方形的边上,

分别按AfOfC,Af5.C的方向，都以1勿/s的速度运动，到达点。运动终止，连接尸。，设运动时间

为AAPQ的面积为ye”??，则下列图象中能大致表示》与x的函数关系的是（）

【解析】

【分析】

根据题意结合图形，分情况讨论：①0WxW2时，根据50股=：4。-42，列出函数关系式，从而得到函数图象;

②2W九W4时，根据=S正方形ABC。—SACP,0—S/vtBO'-SAAP'D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四

个选项即可得解.

【详解】

①当0WxW2时，

试卷第16页，总92页

•••正方形的边长为2cm,

2

-y=S^PQ=^AQ-AP=^x■,

②当2WxW4时，

y=3十0

P'Q'

=2X2-1(4-X)2-1X2X(X-2)-1X2X(X-2)

=­x"+2x,

2

所以，y与*之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合,

故选A.

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键.

17.（2018•广西中考真题）如图，一段抛物线y=-x?+4（-2<x<2）为Ci,与x轴交于Ao,Ai两点，顶点为Di；

将Ci绕点Ai旋转180。得到C2,顶点为D2；CI与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线1与新图象交于点

（））（）

PlXl,yi,P2（x2,y2»与线段D1D2交于点P3X3,y3>设Xl,X2,X3均为正数，t=Xl+X2+X3,则t的取值范

【分析】首先证明X1+X2=8,由2gx3s4,推出IOWX1+X2+X3SI2即可解决问题.

【详解】翻折后的抛物线的解析式为y=（X-4）2-4=x2-8x+12,

:设XI,X2,X3均为正数，

.,.点Pi（xi，yi）,P2（X2,y2）在第四象限,

根据对称性可知：Xl+X2=8,

V2<X3<4,

/.10<X]+X2+X3<12,

即10<t<12,

故选D.

【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用

二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.

18.(2016•湖北中考真题)如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体

积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是()

【答案】A

【解析】

试题分析：观察可得，只有选项A符合实际，故答案选A.

考点:函数图象.

19.(2018•辽宁中考真题)如图，在AABC中，ZC=90°,AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以0cm/s的速度沿

AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以km/s的速度沿折线AC-CB方向运动到点B.设AAPQ的面

积为y(cm2).运动时间为x(s),则下列图象能反映y与x之间关系的是()

试卷第18页，总92页

yy

4.54.5

【答案】D

【解析】

【分析】

在AABC中，ZC=90°,AC=BC=3cm,可得AB=3行，ZA=ZB=45°,分当0<xS3（点Q在AC上运动，点P在

AB上运动）和当3WxW6时（点P与点B重合，点Q在CB上运动）两种情况求出y与x的函数关系式，再结合图

象即可解答.

【详解】

在^ABC中，ZC=90°,AC=BC=3cm,可得AB=3在，NA=NB=45。，当0<xS3时，点Q在AC上运动，点P在

AB上运动（如图1）,由题意可得AP=0x,AQ=x,过点Q作QNLAB于点N,在等腰直角三角形AQN中，

求得QN=1x,所以y=?AP.QN=Lx血x义显x=-%2（0<x<3）,即当0<xW3时，y随x的变化关系是二

22222

次函数关系，且当x=3时,y=4.5；当3<x<6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2）,由题意可得PQ=6-x,AP=3

行,过点Q作QNLBC于点N,在等腰直角三角形PQN中，求得QN=^（6-x）,所以y=；APQN=

22

—X3^/2X（6-x）=--%+9（3<X<6）,即当3Wx$6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由

222

此可得，只有选项D符合要求，故选D.

【点睛】

本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解

析式对应其图象，由此即可解答.

20.(2018•黑龙江中考真题)如图，二次函数尸ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0)、点B(3,0)、点C(4,yi),

若点D(X2,y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为-4a；

②若-1WX2",则0<y2<5a；

③若yz>yu则X2>4；

④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为-1和,

3

其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2-2ax-3a,配成顶点式得y=a(x-1)2-4a,则可对①进行判断；计算x=4

时，y=ax5xl=5a,则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于

b=-2a,c=-3a,则方程cx2+bx+a=0化为-3ax2-2ax+a=0,然后解方程可对④进行判断.

【详解】

由二次函数y=ax?+bx+c的图象经过点A(-1,0)、点B(3,0),

可得抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2-2ax-3a,

*.*y=a(x-1)2-4a,

・••当x=l时，二次函数有最小值-4a,所以①正确；

当x=4时，y=ax5xl=5a,

・••当-1<X2<4,贝!J-4a<y2<5a,所以②错误；

・・•点C(4,5a)关于直线x=l的对称点为(-2,5a),

・••当y2>yi,则X2>4或x—2,所以③错误;

Vb=-2a,c=-3a,

，方程cx2+bx+a=0化为-3ax2-2ax+a=0,

试卷第20页，总92页

整理得3x?+2x-1=0,解得xi=-l,x2=-,所以④正确,

3

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法、二次函数与一元二次方程等，综合性较强，熟练掌握待

定系数法以及二次函数的相关知识是解题的关键.

21.(2019•辽宁中考真题)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)和点(3,0),则下列说法正确的是()

A.bc<0B.a+b+c>0C.2a+b=0D.4ac>b2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用抛物线开口方向得到a>0,利用对称轴在y轴的右侧得到b<0,利用抛物线与x轴的交点在x轴下方得到c<

0,则可对A进行判断；利用当x=l时，y<0可对B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-

—=1,则可对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断.

2a

【详解】

解：・・,抛物线开口向上，

Aa>0,

•・•对称轴在y轴的右侧，

1•a和b异号，

.,.b<0,

•・,抛物线与x轴的交点在x轴下方，

.\c<0,

Abc>0,所以A选项错误；

\•当x=l时,y<0,

a+b+c<0,所以B选项错误；

•・•抛物线经过点(-1,0)和点(3,0),

・••抛物线的对称轴为直线x=l,

即--=1,

2a

.,.2a+b=0,所以C选项正确;

•.•抛物线与x轴有2个交点，

A=b2-4ac>0,

即4ac<b2,所以D选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a/)),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大

小.当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的

位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.常数项c决定抛

物线与y轴交点个数：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x

轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

22.(2018•辽宁中考真题)已知抛物线y=ax?+bx+c(0<2a<b)与x轴最多有一个交点.以下四个结论：

①abc>0；

②该抛物线的对称轴在x=-1的右侧；

③关于x的方程ax2+bx+c+l=0无实数根；

其中，正确结论的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】

由a>0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x轴最多有一个交点可c>0,由此可判断①，根据抛物线的对称轴公

b__

式x=—-可判断②，由ax2+bx+cK)可判断出ax2+bx+c+Gl>0,从而可判断③，由题意可得a-b+c>0,继而可

2a

得a+b+c>2b,从而可判断④.

【详解】

①•・•抛物线y=ax?+bx+c(0<2a<b)与x轴最多有一个交点，

・••抛物线与y轴交于正半轴，

Ac>0,

/.abc>0,故①正确；

@V0<2a<b,

.b

—>],

2a

试卷第22页，总92页

--v-1,

2a

・,・该抛物线的对称轴在x=-1的左侧，故②错误；

③由题意可知：对于任意的x,都有y=ax2+bx+cK）,

ax2+bx+c+l>l>0,即该方程无解，故③正确；

④'.,抛物线y=ax?+bx+c（0<2a<b）与x轴最多有一个交点，

当x=-1时，y>0,

/.a-b+c>0,

a+b+c>2b,

Vb>0,

a+b+c

------------>2,故④正确，

b

综上所述，正确的结论有3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.

23.（2015•江苏中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点

A出发，沿A—D-E—FTG—B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B）,则AABP的面

积S随着时间t变化的函数图象大致是（）

【答案】B

【解析】

解：当点P在AD上时，△A2P的底不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间/的增大而增大;

当点尸在DE上时,的底不变，高不变，所以的面积S不变;

当点P在EF上时,△ABP的底不变,高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小;

当点尸在FG上时,的底AB不变，高不变，所以的面积S不变;

当点尸在GB上时,AABP的底AB不变，高减小，所以△A3P的面积S随着时间t的减小而减小;

故选B.

24.（2019•湖北中考真题）抛物线丁=以2+法+。的对称轴是直线1=-1,且过点（1,0）.顶点位于第二象限,

其部分图像如图所示，给出以下判断：

①">0且。<0；

@4a-2b+c>0；

（3）8a+c>0；

@c=3a-3bt

⑤直线v=2x+2与抛物线y=ax2+6x+c两个交点的横坐标分别为%、%，则%+西•％=-5.其中正确的

个数有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对称轴的位置及图象与y轴的交点位置可对①进行判断；由图象过点（1,0）及对称轴可得图象与x轴的另一

个交点坐标，由抛物线开口方向可得a<0,可得x=-2时y>0,可对②进行判断；由对称轴方程可得b=2a,由图象过

点（1,0）可知a+b+c=0,即可得出3a+c=0,可对③④进行判断；ax2+bx+c=2x+2nJWax2+（b-2）x+c-2=0,根据

一元二次方程根与系数的故选可对⑤进行判断，综上即可得答案.

【详解】

:对称轴在y轴左侧，图象与y轴交于y轴正半轴，

.*.ab>0,c>0,故①错误，

•.,图象过点（1,0）,对称轴为x=-l,

图象与x轴的另一个交点为（-3,0）,

:抛物线的开口向下，

.\a<0,

；.x=-2时，4a-b+c>0,故②正确，

b

,•*对称轴x=------=-1，

b=2a,

试卷第24页，总92页

・.,x=l时，a+b+c=O,

.,.3a+c=0,

8a+c=5a<0,故③错误，

*/3a+c=0,

c=-3a,

3a-3b=3a-3x2a=-3a=c,故④正确,

ax2+bx+c=2x+2,

整理得：ax2+（b-2）x+c-2=0,

•；直线y=2x+2与抛物线y^ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为西、々，

b—2c—2—2a+2+（―3a）—24A十丁日

..X1+X2+X1'X2=-------------+----------=--------------------------------------=-5,故⑤正确，

aaa

综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a/））,当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，

抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y

轴左侧；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0,

c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴

有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

25.（2018•广东中考真题）如图，点尸是菱形ABC。边上的一动点，它从点A出发沿在Af3fCfD路径匀

速运动到点。