九年级数学沪科版上册 第21章 教案

22.1.4二次函数y=a(x—hT的图象和性质

教学目标：

1.知识与技能

使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)?的图象。

2.过程与方法

让学生经历二次函数y=a(x—hT性质探究的过程，理解函数y=a(x

—h)2的性质，理解二次函数y=a(x—h”的图象与二次函数y=ax2

的图象的关系。

重点难点：

重点：会用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象，理解二次函数y=a(x

一hF的性质，理解二次函数y=a(x—h尸的图象与二次函数y=ax，的图象的关

系是教学的重点。

难点：理解二次函数y=a(x—h)2的性质，理解二次函数y=a(x—h)?的图

象与二次函数y=ax?的图象的相互关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=-52,y=一；x2—l的图象，并回答:

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

(3)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x—l)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称

轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系？

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？

(画出二次函数y=2(x-l)2和二次函数y=2x?的图象，并加以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2与y=2(x—l)?的图象

吗？

教学要点

1.让学生完成下表填空。

X・・・-3-2-10123・・・

y=2xz

y=2(x—I)2

2.让学生在直角坐标系中画出图来:

3.教师巡视、指导。

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗？

教学要点

1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象，完成以下填空:

开口方向对称轴顶点坐标

y=2x2

y=2(x—I)2

2.让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数

y=2(x—I)?与y=2x’的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y

=2(x一1尸的图象可以看作是函数y=2x?的图象向右平移1个单位得到的，它

的对称轴是直线x=l,顶点坐标是(1,0)。

问题4：你可以由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x—D?的性质吗？

教学要点

1.教师引导学生回顾二次函数y=2x?的性质，并观察二次函数y=2(x—l)2

的图象；

2.让学生完成以下填空：

当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增

大而增大；当乂=时，函数取得最_____值丫=O

二—、做/1J.一做/I/,

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+l)2与函数y=2x?的图象，

并比较它们的联系和区别吗？

教学要点

1.在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

2.请两位同学上台板演，教师讲评；

3.让学生发表不同的意见，归结为：函数y=2(x+l)2与函数

y=2x?的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数

y=2(x+l)2的图象可以看作是将函数y=2x?的图象向左平移1个单位得到

的。它的对称轴是直线x=-l,顶点坐标是(一1,0)。

问题6；你能由函数y=2x，的性质，得到函数y=2(x+lT的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x<—1时，函数值y随x的增大

而减小；当x>-l时，函数值y随x的增大而增大；当x=-1时，函数取得

最小值，最小值y=0o

问题7：在同一直角坐标系中，函数y=-；(x+2)z图象与函数丫=一《2的图象

O0

有何关系？

(函数y=-J(x+2)2的图象可以看作是将函数y=一〈x2的图象向左平移2

个单位得到的。)

问题8：你能说出函数y=—；(x+2)z图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=一；(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x=-2,顶点坐标是

(—2,0))o

问题9：你能得到函数y=；(x+2)2的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当xV—2时，函数值y随x的增大而

增大；

当x＞一2时，函数值y随工的增大而减小；当x=-2时，函数取得最大值，最

大值y=0o

四、课堂练习：P37练习。

五、小结：

1.在同一直角坐标系中，函数y=a(x—h),的图象与函数y=ax?的图象有什么

联系和区别？

2.你能说出函数y=a(x—hl图象的性质吗？

3.谈谈本节课的收获和体会。

六、作业

1.P19习题22.15题。

2.选用课时作业优化设计。

教学时间课题22.1二次函数(第6课时)课型新授课

知识1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax?+bx+c的图象。

教和2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐

学能力标。

目过程让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点

标和坐标以及性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。

方法

情感

态度

价值观

用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称

教学重点

轴、顶点坐标

理解二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x

教学难点bb4ac—b2

—_2a、(—2a,4a)

教学准备教师多媒体课件学生“五个一”

课堂教学程序设计设计意图

一、提出问题

1.你能说出函数y=—4(x—2尸+1图象的开口方向、对称轴和顶点

坐标吗？

(函数y=—4(x—2产+1图象的开口向下，对称轴为直线x=2,顶点

坐标是(2,1)。

2.函数丫=一4仅一2产+1图象与函数y=-4x?的图象有什么关系？

(函数y=-4(x—2产+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向

右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3.函数y=-4(x—2产+1具有哪些性质？

(当x<2时，函数值y随x的增大而增大，当x>2时，函数值y随x

的增大而减小；当x=2时，函数取得最大值，最大值y=l)

15

4.不画出图象，你能直接说出函数y=—32+x—5的图象的开口方

向、对称轴和顶点坐标吗？

151

[因为y=-5X2+X—/=—5(x—1)2—2,所以这个函数的图象开口向

下，对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-2)]

15

5.你能画出函数y=—/2+x—5的图象，并说明这个函数具有哪些

性质吗？

二、解决问题

1s

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y=-/2+x—5的图象

的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的

15

方法作出函数y=—?2+x—5的图象，进而观察得到这个函数的性质。

说明：（1）列表时，应根据对称轴是x=l,以1为中心，对称地选取自变

量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

（2）直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y

轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使

画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；

当xVl时，函数值y随x的增大而增大；当x>l时，函数值y随x

的增大而减小；

当x=l时，函数取得最大值，最大值y=-2

--*njLt\l,

二、做一做

1.请你按照上面的方法，画出函数y=$2—4x+10的图象，由图象

你能发现这个函数具有哪些性质吗？

教学要点

⑴在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

⑵叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2.通过配方变形，说出函数y=-2x2+8x—8的图象的开口方向、对

称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少？

教学要点

⑴在学生做题时，教师巡视、指导；（2）让学生总结配方的方法；⑶

让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这

个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。

那么，对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c（aW0）,如何确定它的图象的

开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；

Ccbbrbrrb

y=ax2+bx+c=a（x2+p（）+c=a[x2+p（+（^）2—（^）2]+c=a[x2+~

22

b9bb74ac—b

x+（W）]+c-石『（x+公）+F-

当a>0时，开口向上，当aVO时，开口向下。对称轴是x=-b/2a,

b4ac—b2

顶点坐标是（一前，—^―）

四、课堂练习：P12练习。

五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会?

作业必做教科书P14：6

设计选做教科书P15：12

教学

反思

21.1二次函数

教学目标

【知识与技能】

以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点.

【过程与方法】

能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取

值范围.

【情感、态度与价值观】

联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思

想.

重点难点

【重点】

二次函数的概念.

【难点】

能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取

值范围.

教学过程

一、问题引入

1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的？

[一次函数的表达式是y=kx+b(kWO),反比例函数的表达式是y=(kWO)]

2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间

有什么关系？

(正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)

3.物体自由下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系？

(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.)

上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些

性质？它的图象是什么？它与以前学过的函数、方程等有哪些关系？

这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题)

二、新课教授

师:我们再来看几个问题.

问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼

苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米？

这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩

形水面的一边长为xm,那么，矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为S

m2,则有S=x(20-X)=-X2+20X.

问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;

如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才

能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少？

设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具，因此,

每人每天只装配(190-lOx)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表

示为

y=(190-1Ox)(15+x)=10X2+40X+2850.

这两个问题中，函数关系式都是用自变量的二次式表示的.

二次函数的定义：一般地，形如y=ax4bx+c(a、b、c是常数,aWO)的函数叫

做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做

常数项.

二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变

量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中，0<x<20,因为矩形的两边之和是

20m.

三、典型例题

【例1】判断下列函数是否为二次函数?如果是，指出其中常数a、b、c的

值.

(l)y=l-3x2;(2)y=x(x-5);

(3)y=x-x+l;(4)y=3x(2-x)+3x)

(5)y=;(6)y=;

(7)y=x'+2x-l.

解:(1)、(2)是二次函数.(1)中,a=-3,b=0,c=l;(2)中，a=l,b=-5,c=0.

【例2】当k为何值时，函数y=(k-l)+l为二次函数？

2

解:令k+k=2,得ki=-2,k2=l.

当ki=-2时,k_]=_2-]=_3W0;

当k2=l时,k-l=l-l=O.

所以当k=-2时，函数y=-3x2+l为二次函数.

[例3]写出下列各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.

(1)正方体的表面积SSm?)与棱长a(cm)之间的函数关系式；

(2)圆的面积y(cm?)与它的周长x(cm)之间的函数关系式；

(3)菱形的两条对角线长的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一条对角线长

x(cm)之间的函数关系式.

解：(l)S=6a；是二次函数；(2)y=,是二次函数;(3)S=x(26~x),是二次函数.

四、巩固练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数？

(l)y=3x-l;(2)y=5x-2x;(3)y=-2x2+x-l;(4)y=4-x3;(5)y=;(6)y=3x2+;(7)y=x2.

【答案】(1)(2)(3)(7)是二次函数

2.y=(m+l)-3x+l是二次函数，则m的值为.

【答案】2

3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与底面半径r之间的关系

式.

【答案】S=4nr2

五、课堂小结

本节课主要学习了以下内容：

1.二次函数的概念:形如y=ax?+bx+c(a、b、c是常数,a#0)的函数叫做二次

函数.

2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的

取值范围.

教学反思

本节课从实际问题入手,结合学生已有的知识经验,观察、归纳出二次函数的

概念以及二次函数的一般表达式y=ax、bx+c(a、b、c是常数,aWO),并使学生从

中体会函数的思想.在本节课的教学过程中，学生经常列不出二次函数关系式,对

于实际问题会忘记给出自变量的取值范围,这些问题要通过加强训练来解决.

21.2.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质---

y=a(x+h)2+k型

教学目标

【知识与技能】

使学生理解并掌握函数y=a(x+h)，k的图象与函数y=ax?的图象之间的关系；

会确定函数y=a(x+h”+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【过程与方法】

让学生经历函数y=a(x+h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x+h)2+k

的性质，培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.

重点难点

【重点】

确定函数y=a(x+h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数

y=a(x+h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x+h)2+k的性

质.

【难点】

正确理解函数y=a(x+h¥+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数

y=a(x+h)2+k的性质.

教学过程

一、问题引入

1.函数y=x'l的图象与函数y=x?的图象有什么关系？

(函数y=x2+l的图象可以看成是将函数y=x?的图象向上平移一个单位得到

的.)

2.函数y=-(x+l)2的图象与函数y=-x?的图象有什么关系？

(函数y=-(x+l)2的图象可以看成是将函数y=-x?的图象向左平移一个单位得

到的.)

3.函数y=-(x+l)2-l的图象与函数y=-x?的图象有什么关系？函数

y=-(x+l)2-l有哪些性质？

(函数y=-(x+D?T的图象可以看作是将函数y=-x?的图象向左平移一个单位,

再向下平移一个单位得到的，开口向下,对称轴为直线x=-l,顶点坐标是

(-1,-1).)

二、新课教授

问题1:你能画出函数y=-x；y=-(x+1)2,y=-(x+l)2-l的图象吗?

师生活动：

教师引导学生作图，巡视，指导.

学生在直角坐标系中画出图形.

教师对学生的作图情况作出评价,指正其错误，出示正确图形.

解：(1)歹表：

Xy=-x2y=-(x+l)2y=-(x+l)2-l

・・・・・・・・・・・・

-3--2-3

-2-2--

-1一0-1

00-一

1--2-3

2-2--

3--8-9

・・・・・・・・・・・・

(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点；

(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+l)*y=-(x+l)2-l

的图象.

问题2:观察图象，回答下列问题.

函数开口方向对称轴顶点坐标

y=-x2向下x=0(0,0)

y=-(x+l)2向下X=-l(-1,0)

y=-(x+l)2-l向下X=-l(-1,-1)

问题3:从上表中，你能分别找到函数丫=-«+1)2-1,丫=-&+1)2与函数丫=--的图

象之间的关系吗？

师生活动：

教师引导学生认真观察上述图象.

学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.

教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.

函数y=-(x+l)2-l的图象可以看成是将函数y=-(x+l)2的图象向下平移1个

单位得到的.

函数y=-(x+l尸的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得

到的.

故抛物线y=-(x+l)2-l是由抛物线y-x?沿x轴向左平移1个单位长度得到

抛物线y=-(x+l)；再将抛物线y=-(x+l)2向下平移1个单位得到的.

除了上述平移方法外，你还有其他的平移方法吗？

师生活动：

教师引导学生积极思考,并适当提示.

学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.

教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.

抛物线y=-(x+l)2-l是由抛物线片-(向下平移1个单位长度得到抛物线

y=-x2-l,再将抛物线y=-x2-l向左平移1个单位得到的.

问题4:你能发现函数y=-(x+l)2-l有哪些性质吗？

师生活动：

教师组织学生讨论,互相交流.

学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.

教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.

当x<-l时，函数值y随x的增大而增大;当x>-l时，函数值y随x的增大而

减小；当x=-l时，函数取得最大值,最大值y=-l.

三、典型例题

【例】要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶

端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到

最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？

图(1)图⑵

师生活动：

教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.

学生积极思考、解答.

指名板演,教师讲评.

解:如图(2)建立的直角坐标系中，点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，因此可

设这段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-l)2+3(0WxW3).

由这段抛物线经过点⑶0)可得0=a(3-1)?+3,

解得a=-,

因此y=-(x-l)2+3(0WxW3),

当x=0时,y=2.25,也就是说,水管的长应为2.25m.

四、巩固练习

1.画出函数y=2(x-l)2-2的图象并将它与函数y=2(x-D?的图象作比较.

【答案】函数y=2(x-l『的图象可以看成是将函数y=2x?的图象向右平移一

个单位得到的,再将y=2(x-l)2的图象向下平移两个单位长度即得函数

y=2(x-l)?-2的图象.

2.说出函数y=-(x-l)，2的图象与函数y=-x2的图象的关系，由此进一步说出

这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【答案】函数y=-(x-l)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移

一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=l,顶点坐

标是(1,2).

五、课堂小结

本节知识点如下：

一般地,抛物线y=a(x+h)2+k与y=ax，的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2

向上(或下)向左(或右)平移,可以得到抛物线y=a(x+h)2+k.平移的方向和距离要

根据h、k的值来确定.

抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：

⑴当a〉0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

(2)对称轴是乂小；

(3)顶点坐标是(h,k).

教学反思

本节内容主要研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基

础上我们清楚地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有密切的联系,我们只需对y=ax?的

图象做适当的平移就可以得到y=a(x-h)2+k的图象由y=ax?得到y=a(x-h)2+k有

两种平移方法：

方法一：

2向左(或右)平移Ihl个单位/口\2向上(或下)平移屋I个单位

y=ax---------------------------------->y=a(x-h)----------------------------------*-

y=a(x-h)2+k

方法二：

2向上(或下)平移履I个单位向左(或右)平移Ml个单位

y=ax----------------------------------*y=ax+k----------------------------------►

y=a(x-h)'+k

在课堂上演示平移的过程,让学生切身体会到两种平移方法的区别和联系,

这里利用几何画板软件效果会更好.

21.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

y=a(x+h)?型

教学目标

【知识与技能】

使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.

【过程与方法】

让学生经历探究二次函数y=a(x+h)2性质的过程,理解函数y=a(x+h尸的性质,

理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax?的图象的关系，培养学生观察、

分析、猜测、归纳解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.

重点难点

【重点】

会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象，理解二次函数y=a(x+h)2的性质,

理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.

【难点】

理解二次函数y=a(x+h尸的性质，理解二次函数y=a(x+h尸的图象与二次函数

y=ax?的图象的相互关系.

教学过程

一、问题引入

1.抛物线y=2x?+l、y=2xLl的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？

2.二次函数y=-(x+l)2的图象与二次函数y=-x2的图象的开口方向、对称轴

以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系？

二、新课教授

问题1：你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题？

(画出二次函数y=-(x+l)2和二次函数y=-Y的图象,并加以观察.)

问题2:你能在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x?与y=-(x+l)2的图象吗?

师生活动：

教师引导学生作凰巡视、指导.

学生在直角坐标系中画出图形.

教师对学生的作图情况作出评价,指正错误，出示正确的图形.

解：⑴列表：

X•・・-3-2-10123・・・

y=-x2・・・--2-0--2-・・・

y=-(x+l)2・・・-2-0--2--8・・・

(2)描点:用表格中的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点；

(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=-(和y=-(x+l)z的图象.

问题3:当函数值y取同一数值时,这两个函数的自变量之间有什么关系?反

映在图象上,相应的两点之间的位置又有什么关系？

师生活动：

教师引导学生观察上表，当y依次取0、［-2、-时，两个函数的自变量之间

有什么关系？

学生归纳得到，当函数值取同一数值时，函数y=-(x+l)2的自变量比函数

y=-x,的自变量小1.

教师引导学生观察函数y=-(x+l)2和函数y=-Y的图象,先研究点(T,-)和点

(0,-)、点(-1,0)和点(0,0)、点(1,-2)和点(2,-2)的位置关系.

学生归纳得到:反映在图象上,函数y=-(x+l)2的图象上的点都是由函数

y=-x2的图象上的相应点向左移动了一个单位.

问题4:函数y=-(x+l)2和y=-x2的图象有什么联系？

学生由问题3的探索,可以得到结论：函数y=-(x+l)2的图象可以看成是将函

数y=-x?的图象向左平移一个单位得到的.

问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？

学生观察两个函数的图象得：函数y=Yx+l)2的图象开口方向向下，对称轴是

直线x=-l,顶点坐标是(T,0);函数y=-x?的图象开口方向向下,对称轴是直线

x=0,顶点坐标是(0,0).

问题6:你能由函数y=-(x+D,的图象得到函数y=-(x+l)2的一些性质吗？

生:当x>-l时，函数值y随x的增大而减小；当x<-l时，函数值y随x的增大

而增大；当x=T时，函数取得最大值,最大值y=0.

问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=-(xT)2与函数y=-六的图象,再作

比较，说说它们有什么联系和区别.

师生活动：

教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.

学生画图并仔细观察,细心研究.

教师让学生发表意见，归纳为：函数y=-(xT)2与函数y=-(的图象的开口方

向相同,对称轴、顶点坐标不同.函数y=Yx-l)2的图象可以看成是将函数y=-x2

的图象向右平移一个单位得到的.

问题8：你能说出函数y=-(x-l)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及

这个函数的性质吗？

师生活动：

教师引导学生观察y=-(x-l)2的图象，并引导学生思考其性质.

学生分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言,达成共识：函数

y=-(x-l)2的图象的开口向下,对称轴为直线x=l,顶点坐标是(1,0).当x<l时，函

数值y随x的增大而增大;当x>l时，函数值y随x的增大而减小；当x=l时，函数

取得最大值,最大值y=0.

三、巩固练习

1.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2,y=(x+1)2,y=(xT尸的图象.

(1)填表：

2

Xy=xy=(x+l)2y=(x-1)2

....・・・・・・・・・

....・・・・・・・・・

⑵描点，连线:

【答案】略

2.观察第1题中所画的图象,并填空：

(1)抛物线y=(x+1)2的开口方向是—,对称轴是—,顶点坐标是—;抛

物线yXx+l)?是由抛物线y=x?向—平移一个单位长度得到的；

⑵对于y=(x-l)2,当x>l时，函数值y随x的增大而—;当x<l时，函数值

y随x的增大而—；

(3)对于函数y=x2,当x=—时，函数取得最—值,为—;

对于函数y=(x+l)\当x=—时，函数取得最—值,为—；

对于函数y=(x-l)2,当x=—时，函数取得最—值,为—.

【答案】⑴向上x=-l(-1,0)左1(2)增大减小(3)0小0-1zb01小

0

四、课堂小结

结论如下：

1.函数y=ax2(a#0)和函数y=a(x-h)"a#0)的图象形状相同，只是位置不同,

把y=a(的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到

y=a(x-h)2的图象.

2.抛物线y=a(x-h)2(aW0)的性质.

(1)抛物线y=a(x-h)2(aW0)的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,0).

(2)当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展；

当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.

(3)当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧，y随x

的增大而增大;当x=h时,y有最小值.

当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧，y随x的

增大而减小；当x=h时,y有最大值.

教学反思

通过本节课的学习，要求大家理解并掌握函数y=axTaWO)和函数

y=a(x-h)2(aW0)的图象形状相同，只是位置不同，把y=ax?的图象沿x轴向左(当

h<0时)或向右(当h>0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h或的图象；能够理解a、

h对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结

合的思想,为今后的学习打下良好的基础.本节课的处理是在教师的引导下,学生

进行观察、归纳、总结，充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于

提高学生分析问题和解决问题的能力.

21.2.1二次函数丫=2*2的图象和性质

教学目标

【知识与技能】

使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象，理解并掌握抛物线的有关概念及

其性质.

【过程与方法】

使学生经历探索二次函数y=a(的图象及性质的过程,获得利用图象研究函

数性质的经验，培养学生分析、解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

使学生经历探索二次函数y=a(的图象和性质的过程，培养学生观察、思考、

归纳的良好思维品质.

重点难点

【重点】

使学生理解抛物线的有关概念及性质，会用描点法画出二次函数y=ax?的图

象.

【难点】

用描点法画出二次函数y=a(的图象以及探索二次函数的性质.

教学过程

一、问题引入

1.一次函数的图象是什么？反比例函数的图象是什么？

(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)

2.画函数图象的一般步骤是什么？

一般步骤：(1)列表(取几组X,y的对应值)；⑵描点(根据表中X,y的数值在

坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).

3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质？

(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性

质.)

二、新课教授

【例1】画出二次函数y=x'的图象.

解：(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.

X・・・-3-2-10123・・・

y・・・9410149・・・

⑵描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).

(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x?的图象,如图所示.

思考:观察二次函数y=x?的图象，思考下列问题：

(1)二次函数y=x'2的图象是什么形状？

(2)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？

(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么？

师生活动：

教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合

解决上面的3个问题.

学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.

函数y=x?的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实

际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x?的图象可以简称为抛物线y=x2.

由图象可以看出，抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x?的对称轴:抛物线

y=x?与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线丫=(的最低点.实

际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是

抛物线的最低点或最高点.

【例2】在同一直角坐标系中，画出函数y=x?及y=2x?的图象.

解:分别填表，再画出它们的图象.

X・・・-4-3-2-101234•••

y=x2・・・84.520.500.52-1.58•・・

X・・・-2-1.5-1-0.500.511.52・・・

y=2x2・・・84.520.500.524.58•••

思考：函数y=x2、y=2x?的图象与函数y=x?的图象有什么共同点和不同点？

师生活动：

教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x>丫=2(的图象.

学生动手画凰观察、讨论并归纳，回答探究的思路和结果,教师评价.

抛物线y=x?、y=2x?与抛物线y=x2的开口均向上，顶点坐标都是(0,0),函数

y=2x?的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.

探究1：画出函数y=-x\y=-x\产-2x?的图象，并考虑这些图象有什么共同

点和不同点。

师生活动：

学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x\y=-2x?的图象，观察、讨

论并归纳.

教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.

学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.

抛物线y=-x2、y=-x\y=-2x,开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x’'

的图象开口最窄,y=-x，的图象开口最大.

探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax?和y=-ax2

呢？

师生活动：

学生在平面直角坐标系中画出函数y=x?和y=-x?的图象,观察、讨论并归纳.

教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.

学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.

抛物线y=x\y=-x?的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax?和丫=-&/的

图象也关于x轴对称.

教师引导学生小结(知识点、规律和方法).

一般地,抛物线y=ax?的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=ax2

的开口向上,顶点是抛物线的最低点，当a越大时,抛物线的开口越小；当a<0时，

抛物线y=ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，当a越大时，抛物线的开口越

大.

从二次函数y=ax?的图象可以看出：如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小，

当x>0时,y随x的增大而增大；如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大，当x>0

时,y随x的增大而减小.

三、巩固练习

1.抛物线y=-4x2-4的开口向,顶点坐标是,对称轴是,当x=—

时,y有最____值,是.

【答案】下(0,-4)x=00大-4

2.当m#时,y=(m-l)x2-3m是关于x的二次函数.

【答案】1

3.已知抛物线y=-3x?上两点A(x,-27),B(2,y),则x=,y=.

【答案】-3或3-12

4.抛物线y=3x?与直线y=kx+3的交点坐标为⑵b),则k=,b=.

【答案】12

5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(T,-2),则抛物线的

表达式为—.

【答案】y=-2x2

6.在同一坐标系中，图象与y=2x?的图象关于x轴对称的是()

A.y=x2B.y=x2

C.y=-2x2D.y=-x2

【答案】C

7.抛物线y=4x?、y=-2x\y=x?的图象，开口最大的是()

A.y=x2B.y=4x2

C.y=-2x2D.无法确定

【答案】A

8.对于抛物线y=x?和y=-Y在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是（）

A.两条抛物线关于x轴对称

B.两条抛物线关于原点对称

C.两条抛物线关于y轴对称

D.两条抛物线的交点为原点

【答案】C

四、课堂小结

1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称，自变量x的取值范围是一

切实数.

2.二次函数y=ax2的性质：抛物线y=ax?的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0

时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点，当a越大时,抛物线的开口越

小；当a<0时,抛物线y=ax?开口向下,顶点是抛物线的最高点，当a越大时,抛物

线的开口越大.

3.二次函数y=a（的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.

教学反思

本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物

线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成：（1）例1是基

础；（2）在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度

的影响；（3）例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影

响；（4）最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.

21.2.6二次函数表达式的确定

教学目标

【知识与技能】

使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式

的方法;使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的

方法.

【过程与方法】

体会数学在生活中的作用，培养学生的动手操作能力.

【情感、态度与价值观】

让学生体验二次函数的关系式的应用，提高学生对数学重要性的意识.

重点难点

【重点】

已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数

y=ax2+bx+c的关系式.

【难点】

已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.根据不同条件选择不同的方

法求二次函数的关系式.

教学过程

一、问题引入

1.一次函数的表达式是什么？如何求出它的表达式？

(一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,利用

待定系数法求出系数k、b.)

2.已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个二次函数的表达式？

本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式.(板书)

二、新课教授

问题1.如果一个二次函数的图象经过(T,10),(1,4),(2,7)三点，能求出这

个二次函数的表达式吗？如果能,求出这个二次函数的表达式.

解:设所求二次函数的表达式为y=ax?+bx+c.由已知函数图象经过

(-1,10),(1,4),(2,7)三点，得到关于a、b、c的三元一次方程组

解这个方程组，得：

a=2,b=-3,c=5.

所求二次函数的表达式是y=2x-3x+5.

归纳1:求二次函数y=ax'+bx+c的表达式，关键是求出a、b、c的值.由已知

条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程

组，求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.

问题2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个

二次函数的关系式.

分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x-h)2+k的形式称为顶点

式，(h,k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,

可以设函数关系式为:y=a(x-8)?+9,由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代

入所设函数关系式,即可求出a的值.

归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,

只需要再找一个条件求出a的值即可.

三、典型例题

【例1】有一个二次函数，当x=0时,y=-l;当x=-2时，y=0;当x=时，y=0.求

这个二次函数的表达式.

解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意,得

解方程组，得

答:所求二次函数的表达式为y=x+x-l.

【例2】已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过⑶1)和(0,-5)两点,求二

次函数的关系式.

解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点

(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可

以得解这个方程组,得

所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.

解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过

⑶1)和(0,-5)两点，可以得到：

解这个方程组,得

所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.

【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+l交于B、C两点.

(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；

(2)记抛物线的顶点为A,求4ABC的面积.

解：⑴如图，画出直线y=x+l与抛物线y=x-4x+8.

(2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0).

解方程组

得B、C两点的坐标分别为B(2,2)、C(7,4.5).

过B、C两点分别作x轴的垂线，垂足分别为氏、G,则

S△ABC=

=(BBI+CG)B£-ABI•BB-AC,•CC,

=(2+4.5)X5-X2X2-X3X4.5

=7.5.

小结:让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是

已知该函数的顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大.

四、巩固练习

1.已知二次函数当x=-3时，有最大值T,且当x=0时，y=3,求二次函数的关系

式.

【答案】解法一:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点

(0,3),所以c=3.又由于二次函数当x=-3时,有最大值T,可以得到:解这个方程

组，得

所以,所求二次函数的关系式为y=x2+x+3.

解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-l.

因为二次函数的图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-l,解得a=,所以,所求二

次函数的关系式为y=(X+3)2-1,即y=x+x+3.

2.已知二次函数y=x?+px+q的图象的顶点坐标是⑸-2),求二次函数的关系

式.

【答案】依题意，得

解得:p=T0,q=23,

所以,所求二次函数的关系式是y=x-10x+23.

五、课堂小结

1.求二次函数的关系式,常见的有几种类型？

两种类型：

(1)一般式:y=ax'+bx+c;

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k).

2.如何确定二次函数的关系式？

让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通

常需要三个已知条件.在具体解题时,应根据具体的已知条件灵活选用合适的形

式，运用待定系数法求解.

教学反思

本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法：

归纳1:求二次函数y=ax?+bx+c的表达式，关键是求出a、b、c的值.由已知

条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程

组，求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.

归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设方程为y=a(x-h)2+k,只需要

再找一个条件求出a的值即可.

要根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式,体会一题多解的乐趣,

激发学生的学习欲望.本节课的处理仍然是在教师的引导下，让学生探索、归纳，

得到新知.

21.3.1二次函数与一元二次方程间的关系

教学目标

【知识与技能】

掌握二次函数y=ax，bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程

ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似

解.

【过程与方法】

经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数、方程之间的联系.

【情感、态度与价值观】

进一步培养学生的综合解题能力，掌握解决问题的方法，培养探究精神.

重点难点

【重点】

用函数图象求一元二次方程的近似解.

【难点】

用数形结合的思想解方程.

教学过程

一、创设情境，导入新知

师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点？

生甲：一个.

生乙:不对，当直线与X轴平行时,没有交点.

生丙:还有一种情况,当直线与X轴重合时,有无数个交点.

师：同学们考虑得很周到！当一次函数的图象与X