课时作业-第4节-余弦定理和正弦定理及其应用

第4节余弦定理和正弦定理及其应用知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练利用正弦、余弦定理解三角形1,3,4与面积有关的解三角形问题2,7,8解三角形的实际应用5,91016综合611,12,13,14151.(2021·安徽安庆模拟)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,则abA.32 B.4C.2 D.3解析:由bsin2A=asinB,得2sinBsinAcosA=sinAsinB,得cosA=12又c=2b,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2·12=3b2得ab=32.(2021·河北唐山模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h等于(D)A.152 B.112 C.315解析:由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=9+16-42×3×4=2124=783.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B等于(BC)A.30° B.45° C.135° D.150°解析:根据正弦定理asinA=bsinB得,sinB=bsinAa=2×14.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,则bA.6 B.5 C.4 D.3解析:因为asinA-bsinB=4csinC,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc5.(多选题)某人向正东走了xkm后向右转了150°,然后沿新方向走3km,结果离出发点恰好3km,那么x的值是(AB)A.3 B.23 C.3 D.6解析:如图,AB=x,BC=3,AC=3,∠ABC=30°.由余弦定理得3=x2+9-2×3·x·cos30°.解得x=23或x=3.故选AB.6.(多选题)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是(ABD)A.若cosA=cosB,则△ABC为等腰三角形B.若△ABC为锐角三角形,有A+B>π2C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形解析:对于A,若cosA=cosB,则A=B,所以△ABC为等腰三角形,故正确;对于B,若A+B>π2,则π2>A>对于C,由余弦定理可得b=82+10对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,则根据正弦定理得a2+b2<c2,cosC=a27.在△ABC中,C=60°,且asinA=2,则△ABC的面积S的最大值为解析:由C=60°及csinC=asin由余弦定理得3=b2+a2-ab≥ab(当且仅当a=b时,取等号),所以S=12absinC≤12×3×32所以△ABC的面积S的最大值为33答案:38.(2021·陕西西安质检)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosB=13,b=4,S△ABC=42,则△ABC的周长为解析:由cosB=13,得sinB=223,由三角形的面积公式可得12acsinB=12ac则ac=12,①由b2=a2+c2-2accosB,可得16=a2+c2-2×12×13,则a2+c2联立①②可得a=c=23,所以△ABC的周长为43+4.答案:43+49.如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角,小王沿河岸向前走了1200m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,求电视塔CD的高度.解:在△ACM中,∠MCA=60°-15°=45°,∠AMC=180°-60°=120°,由正弦定理得AMsin∠MCA=ACsin∠AMC,即120022=所以CD=6006×33=6002即电视塔CD的高度为6002m.10.(多选题)(2021·重庆高三第三次质量调研)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°,距离126海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为123海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向.下列选项正确的有(ABD)A.AD=24B.CD=12C.∠CDA=60°或120°D.∠CDA=60°解析:如图,在△ABD中,∠B=45°,由ADsin45°=ABsin60°=12632=242,AD=24,A正确;在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos30°=(123)2+242-2×123×24×32=144,所以CD=12,B正确;在△ACD中,由正弦定理得CDsin30°=11.(多选题)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcosA,则下列结论中正确的是(ABD)A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0<cosA<12 D.0<sinB<解析:因为c-b=2bcosA,所以由余弦定理得c-b=2b·b2+c2-a22bc,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c-b=2bcosA,所以由正弦定理得sinC-sinB=2sinBcosA,即sin(A+B)-sinB=2sinBcosA,所以sinAcosB-sinBcosA=sinB,所以sin(A-B)=sinB,由于C是钝角,所以A-B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°12.如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为解析:因为sin∠BAC=22所以sin(π2+∠BAD)=2所以cos∠BAD=22得BD=AB(32)答案:313.在①(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB);②2ccosC=acosB+bcosA;③△ABC的面积为12已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.

(1)求C;(2)若D为AB的中点,且c=2,CD=3,求a,b的值.解:(1)选择①,根据正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b因为C∈(0,π),所以C=π3选择②,根据正弦定理有sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,所以sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC.因为C∈(0,π),所以sinC≠0,从而有cosC=12,故C=π选择③,因为12casinB=1所以asinB=asinA+bsinB-csinC,即ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cosC=a2+b2-又因为C∈(0,π),所以C=π3(2)在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,即b2=1+3-23cos∠ADC.在△BCD中,BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,即a2=1+3-23cos∠BDC.因为∠ADC+∠BDC=π,所以cos∠ADC=-cos∠BDC,所以a2+b2=8.由C=π3及c=2,得a2+b2从而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA+(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.解:(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+因为sinA≠0,所以sinA+由A+B+C=180°,可得sinA+C2故cosB2=2sinB2cos因为cosB2≠0,所以sinB2=12(2)由题设及(1)知△ABC的面积为S△ABC=34由(1)知A+C=120°,由正弦定理得a=csinAsinC=sin(由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.结合A+C=120°,得30°<C<90°,所以12<a<2,从而38<S△ABC<因此,△ABC面积的取值范围是(38,315.已知△ABC中,AC=2,BC=6,△ABC的面积为32,若线段BA的延长线上存在点D,使∠BDC=π4,则CD=解析:因为AC=2,BC=6,△ABC的面积为32=12AC·BC·sin∠ACB=12×2×6·所以∠ACB=π6或5π若∠ACB=5π6,则∠BDC=π可得∠BAC+∠ACB>π4+5π6>π,与三角形内角和定理矛盾,所以∠ACB=所以在△ABC中,由余弦定理得AB=AC2+BC2所以AB=AC,所以B=π6所以在△BDC中,由正弦定理可得CD=BC·sinBsin∠BDC答案:316.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解:设∠AMN=θ,在△AMN中,MNsin60°=因为MN=2,所以AM=433sin(120在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ).AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP=163sin2(120°-θ)+4-2×2×4