向量的数乘运算+课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）+必修第二册

6.2.3向量的数乘运算

第六章6.2平面向量的运算学习目标1.了解向量数乘的概念．2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.

3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法，培养数学抽象、数学运算核心素养．知识点一向量的数乘运算问题导思问题1.如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍．新知构建定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的______，记作λa模|λa|＝|λ||a|方向λa(a≠0)的方向：特别地，当λ＝0时，λa＝___．当λ＝－1时，(－1)a＝－a向量数乘λ>0λ<00微提醒(1)数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加．(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0.例1设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是A．a与λa的方向相同B．a与－λa的方向相反√规律方法对数乘向量的三点说明1．λa中的实数λ叫做向量a的系数．2．向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍．3．当λ＝0或a＝0时，λa＝0，注意是0，而不是0.

对点练1．(多选)对于非零向量a，下列说法正确的是A．2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同C．若λ＝0，则λa等于零√√√返回知识点二向量的线性运算问题导思问题2.类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？提示：数乘向量满足乘法对加法的分配律．新知构建1．数乘运算的运算律设λ，μ为实数，则有：(1)λ(μa)＝_____；(2)(λ＋μ)a＝________；(3)λ(a＋b)＝________；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的线性运算向量的__________________运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________．λμ

aλa＋μ

aλa＋λb加、减、数乘λμ1a±λμ2b例2(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于A．－a B．－bC．－c D．以上都不对√原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.故选C.(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．4b－3a由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.规律方法向量线性运算的基本方法1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．A．2a－b B．2b－aC．b－a D．a－b√(2)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.返回知识点三向量共线定理问题导思问题3.如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)?提示：共线，存在．提示：x＋y＝1，证明如下：因为A，B，C三点共线，则x＝1＋λ，y＝－λ，所以x＋y＝1.新知构建1．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_______．b＝λa微思考共线向量定理中为什么规定a≠0?提示：向量共线定理中规定a≠0的原因：(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；(2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线；(3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．2.向量共线定理的推论例3设a，b是不共线的两个向量．求证：A，B，C三点共线；所以A，B，C三点共线．(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．解：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.返回课堂小结知识(1)向量的数乘及运算律．(2)向量共线定理．(3)三点共线的常用结论．方法数形结合、分类讨论．易错误区忽视零向量这一个特殊向量．规律方法1．证明或判断三点共线的方法2．利用向量共线求参数的方法已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．

规律方法用已知向量表示其他向量的两种方法1．直接法2．方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

随堂演练√2．(多选)下列运算正确的是A．(－3)·2a＝－6aB．2(a＋b)－(2b－a)＝3aC．(a＋2b)－(2b＋a)＝0D．2(3a－b)＝6a－2b根据向量数乘运算和加、减运算律知A，B，D正确；对于C，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0