全优课堂·数学·选择性必修第三册(人教A版)·课件 7.4.2 第1课时 超几何分布

第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.2超几何分布第1课时超几何分布学习目标素养要求1.理解超几何分布的概念数学抽象2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率数学运算3.能利用超几何分布概率模型解决简单的实际问题数学建模自学导引一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*

，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．超几何分布1．超几何分布是统计学上一种离散型概率分布．它描述了从有限N个物件(其中包含M个指定种类的物件)中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数(不放回)，称为超几何分布．2．超几何分布中的参数是M，N，n，超几何分布记作X～H(n，M，N)．什么样的概率问题适合超几何分布？提示：在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“阳性，阴性”等．1．辨析记忆(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成． (

)(2)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布．

(

)(3)二项分布的参数是N，n

，M，超几何分布中的参数是n，p．

(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×【答案】B3．(教材例题改编)某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________．课堂互动(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量服从超几何分布的是 (

)A．X表示取出的最大号码B．X表示取出的最小号码C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分D．X表示取出的黑球个数题型1超几何分布的概念【答案】CD【解析】对于A，当X表示取出的最大号码，如X＝6表示从黑球编号为1，2，3，4，5中取3个黑球，而X＝8表示从6个黑球和编号为7的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理B中的随机变量不服从超几何分布．对于C，X的可能取值为4，5，6，7，8，X＝4表示取出4个白球；X＝5表示取出3个白球1个黑球；X＝6表示取出2个白球2个黑球；X＝7表示取出1个白球3个黑球；X＝8表示取出4个黑球；因此X服从超几何分布．由超几何分布的概念知D符合．故选CD．判断一个随机变量是否服从超几何分布(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．1．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有 (

)A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数XB．有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数XC．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数XD．某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生的人数X【答案】CD【解析】A，B是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故A，B不符合题意；C，D符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布．(1)(2024年南京检测)设袋子中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，今从中任取5个球，令X＝“任取的5个球中红球的个数”，则P(X＝2)＝

(

)题型2超几何分布模型的概率(2)(2024年廉江月考)已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．①求取出的4个球均为红球的概率；②求取出的4个球中恰有1个红球的概率．【答案】(1)C超几何分布模型的概率(1)首先明确随机变量是否服从超几何分布，把握等可能、不放回两个特点；其次是明确公式中的参数，即N，M，n的值各是什么；最后代入公式计算概率．(2)含有“至少”的事件可以考虑求其对立事件的概率；含有“或”的事件应该考虑其中的两个事件是否互斥，若互斥则可利用互斥事件和的概率求值．①求n的值；②若一次抽取4个城市，(ⅰ)假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；(ⅱ)若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率．【答案】(1)5一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．题型3超几何分布的分布列【例题迁移1】

(改变问法)在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．【例题迁移2】

(变换条件)将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．3．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生和女生中分别随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．素养训练1．(题型1)(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有 (

)A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量XD．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X【答案】ABD【答案】C3．(题型2)(2023年西安期末)某科研合作项目成员由11个欧洲人，4个美洲人和5个亚洲人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一洲的概率为________.4．(题型2)一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取