高中数学四作业同角三角函数的基本关系式（第二课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业(七）1．（tanx＋eq\f（1，tanx)）cos2x等于(）A．tanx B．sinxC．cosx D.eq\f(1，tanx）答案D解析（tanx＋eq\f（1，tanx）)cos2x＝(eq\f（sinx，cosx)＋eq\f(cosx，sinx））cos2x＝eq\f(cos2x，sinx·cosx）＝eq\f(1,tanx).2.eq\r（1－sin22)－eq\r（1－cos22）＝（）A．cos2－sin2 B．－cos2－sin2C．－cos2＋sin2 D．cos2＋sin2答案B解析2弧度角为钝角，∴sin2>0,cos2〈0。故选B。3．已知A为三角形内角,且sinAcosA＝－eq\f（1，8)，则cosA－sinA的值为（）A．－eq\f(\r(3)，2) B．±eq\f（\r（3),2）C．±eq\f(\r(5）,2） D．－eq\f(\r（5），2）答案D解析∵cosA·sinA＝－eq\f（1，8），∴eq\f（π，2)〈A<π。∴cosA〈0，sinA>0.又∵(cosA－sinA)2＝1－2sinAcosA＝eq\f（5，4）,∴cosA－sinA＝－eq\f（\r(5）,2)。4．已知tanx＝2,则sin2x＋1＝(）A．0 B。eq\f(9,5)C。eq\f(4，3） D.eq\f(5，3)答案B解析sin2x＋1＝eq\f（2sin2x＋cos2x,sin2x＋cos2x）＝eq\f（2tan2x＋1，tan2x＋1)＝eq\f（9,5）,故选B。5．已知5sinα＋2cosα＝0，则eq\r(（1－sin2α）（1－cos2α））的值是（）A。eq\f(10，29) B。eq\f(\r（10),29）C.eq\f（20，29) D．±eq\f（10，29）答案A解析∵tanα＝－eq\f（2，5)〈0，∴α在第二或第四象限．∴sinαcosα〈0。∴eq\r（（1－sin2α)（1－cos2α))＝eq\r(cos2αsin2α）＝|sinα·cosα|＝－sinαcosα＝－eq\f(sinαcosα，sin2α＋cos2α）＝－eq\f(tanα,tan2α＋1）＝eq\f（10,29）。6．若α为第三象限角，则eq\f（1，cosα·\r(1＋tan2α))＋eq\f（2tanα，\r(\f(1,cos2α）－1)）的值是(）A．1 B．－1C．3 D．－3答案A解析原式＝－1＋2＝1.7．若eq\f（cosθ,\r（1＋tan2θ）)＋eq\f(sinθ,\r（1＋\f（1，tan2θ)))＝－1，则θ()A．在第二象限 B．在第三象限C．在第四象限 D．在第一象限答案B解析若原等式成立,则必须－cos2θ－sin2θ＝－1。8．已知tanα＝2，则eq\f(1，1＋sinα)＋eq\f(1,1－sinα)的值为(）A．6 B．10C．5 D．8答案B解析原式＝eq\f（2，1－sin2α）＝eq\f(2，cos2α)＝eq\f(2（sin2α＋cos2α），cos2α）＝2（tan2α＋1)＝10.9．若sin2α＋sinα＝1，则cos4α＋cos2α的值为（)A．0 B．1C．2 D．3答案B解析∵sin2α＋sinα＝1，∴sinα＝cos2α。又∵cos4α＋cos2α＝cos2α(1＋cos2α)，将cos2α＝sinα代入上式，得cos4α＋cos2α＝sinα（1＋sinα)＝sin2α＋sinα＝1。10．化简eq\f（sinα,1＋sinα)－eq\f（sinα，1－sinα)的结果为________．答案－2tan2α解析eq\f（sinα，1＋sinα）－eq\f（sinα，1－sinα)＝eq\f(sinα（1－sinα）－sinα（1＋sinα），（1＋sinα）(1－sinα））＝eq\f（－2sin2α,1－sin2α)＝eq\f(－2sin2α，cos2α)＝－2tan2α。11．已知eq\f（1，tanθ)＋eq\f(1,sinθ)＝5,则sinθ＝________．答案eq\f(5,13）解析由已知化弦得eq\f（cosθ,sinθ）＋eq\f(1，sinθ）＝5,所以cosθ＝5sinθ－1,两边平方得1－sin2θ＝25sin2θ－10sinθ＋1，解得sinθ＝eq\f(5,13)或0(舍去）．12．若cosA＝eq\f(4，5），且A是三角形中的一个角，则eq\f(5sinA＋8,15cosA－7）＝________．答案eq\f(11,5）解析∵cosA＝eq\f（4,5)，A为三角形中的一个角,∴sinA＝eq\f（3，5）,∴eq\f（5sinA＋8,15cosA－7)＝eq\f（11,5)。13．（1)若角α是第二象限角，化简tanαeq\r(\f(1,sin2α）－1).(2）化简:eq\f(\r(1－2sin130°cos130°）,sin130°＋\r（1－sin2130°）).解析（1)α是第二象限角，tanα·eq\r（\f(1,sin2α）－1）＝eq\f(sinα，cosα)·eq\f(－cosα，sinα）＝－1.（2)eq\f（\r(1－2sin130°cos130°），sin130°＋\r（1－sin2130°）)＝eq\f（\r(（sin130°－cos130°)2),sin130°－cos130°）＝eq\f（sin130°－cos130°,sin130°－cos130°）＝1.14．已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13），α∈（0，π)，求tanα。分析利用(sinα±cosα)2＝sin2α±2sinαcosα＋cos2α＝1±2sinαcosα求解．解析∵sinα＋cosα＝eq\f（7，13),①∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f（49，169)。即2sinαcosα＝－eq\f(120，169).∵α∈(0，π），∴sinα〉0，cosα〈0.∴sinα－cosα＝eq\r（（sinα－cosα)2)＝eq\r（1－2sinαcosα）＝eq\f（17,13)。②由①②解得sinα＝eq\f（12，13)，cosα＝－eq\f(5，13）。∴tanα＝－eq\f（12,5）.15．求证：eq\f（tanα·sinα，tanα－sinα）＝eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα).分析解答本题可由右向左证，也可两边同时化切为弦来证明，也可证明tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立．证明证法一:右边＝eq\f（tan2α－sin2α，（tanα－sinα)·tanα·sinα）＝eq\f（tan2α－tan2αcos2α，（tanα－sinα）·tanαsinα）＝eq\f(tan2α(1－cos2α）,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f（tan2αsin2α，(tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，∴原等式成立．证法二:左边＝eq\f（tanα·sinα,tanα－tanαcosα）＝eq\f(sinα，1－cosα)，右边＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα）＝eq\f(1－cos2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(sin2α，sinα（1－cosα））＝eq\f(sinα,1－cosα），∴左边＝右边，原等式成立．1．如果tanθ＝2，那么1＋sinθcosθ的值是()A。eq\f(7，3) B。eq\f（7,5）C.eq\f(5,4） D。eq\f（5，3)答案B解析1＋sinθcosθ＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋sinθcosθ，sin2θ＋cos2θ）＝eq\f(1＋tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ）＝eq\f（1＋22＋2,1＋22）＝eq\f（7，5).2．求证:eq\f（1－2cos2α，sinαcosα）＝tanα－eq\f(1，tanα).证明左边＝eq\f(sin2α＋cos2α－2cos2α,sinαcosα)＝eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(sinα，cosα）－eq\f(cosα，sinα)＝tanα－eq\f(1，tanα)＝右边．3．是否存在一个实数k，使方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦．解析设这两个锐角为A，B，∵A＋B＝90°，∴sinB＝cosA，所以sinA，cosA为8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\